Implication, réciproque, contre-exemple et négation

On considère l'implication : « Si un nombre entier se termine par 0, alors il est divisible par 5. »

1. a) Énoncer la réciproque de cette implication.
2. b) L'implication de départ est-elle vraie ? Justifier.
3. c) La réciproque est-elle vraie ? Si elle est fausse, donner un contre-exemple.

Pour chacune des implications suivantes, indiquer si elle est vraie, énoncer sa réciproque et indiquer si la réciproque est vraie (donner un contre-exemple le cas échéant) :

1. a) « Si un quadrilatère est un losange, alors ses diagonales sont perpendiculaires. »
2. b) « Si $x = 3$, alors $x^2 = 9$. »
3. c) « Si un triangle $ABC$ vérifie $AB^2 + AC^2 = BC^2$, alors il est rectangle en $A$. »

Soit $A$ l'ensemble des réels $x$ tels que $x^2 = 4$ et $B$ l'ensemble des réels $x$ tels que $x = 2$.

1. a) Comparer $A$ et $B$ : l'implication « $x \in B \Rightarrow x \in A$ » est-elle vraie ? Et sa réciproque ?
2. b) L'équivalence « $x^2 = 4 \Leftrightarrow x = 2$ » est-elle vraie ? Justifier.
3. c) Par quelle condition sur $x$ peut-on compléter « $x^2 = 4$ et … » pour obtenir une équivalence avec $x = 2$ ?

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse. Si elle est fausse, donner un contre-exemple :

1. a) « Pour tout réel $x$, $x^2 > x$. »
2. b) « Pour tout entier naturel $n$, $n^2 + n$ est pair. »
3. c) « Pour tous réels $a$ et $b$, $(a+b)^2 = a^2 + b^2$. »

Un site de vente propose la promotion : « Tout client dont le panier dépasse 50 € bénéficie de la livraison gratuite. »

1. a) Marie a payé sa livraison. Que peut-on conclure sur son panier ? Justifier.
2. b) Hugo a bénéficié de la livraison gratuite. Peut-on affirmer que son panier dépasse 50 € ? Justifier.
3. c) Écrire la négation de la phrase « Tout client dont le panier dépasse 50 € bénéficie de la livraison gratuite. »

Écrire la négation de chacune des propositions suivantes :

1. a) « Tous les élèves de la classe de seconde 4 du lycée Voltaire portent des lunettes. »
2. b) « Il existe un nombre entier $n$ tel que $n^2 = 50$. »
3. c) « Pour tout réel $x$, $x^2 \geqslant 0$. »

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 4x + 5$.

1. a) Écrire avec des quantificateurs la proposition « $f$ ne s'annule jamais sur $\mathbb{R}$ » puis sa négation.
2. b) Démontrer que, pour tout réel $x$, $f(x) = (x-2)^2 + 1$.
3. c) En déduire que la proposition de la question a) est vraie.

Soit $n$ un entier naturel. On considère l'affirmation : « Si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair. »

1. a) Énoncer la contraposée de cette affirmation.
2. b) Démontrer la contraposée.
3. c) En déduire que l'affirmation est vraie, puis énoncer sa réciproque et démontrer qu'elle est vraie.

Démontrer par disjonction des cas que, pour tout entier relatif $n$, le nombre $n(n+1)(n+2)$ est divisible par 2, puis que $n^3 - n$ est divisible par 3 (on distinguera selon le reste de la division de $n$ par 3).