Équations, inéquations du premier degré et expression d'une variable
Lucas hésite entre deux formules pour sa salle de sport à Bordeaux : payer 7 € la séance, ou prendre un abonnement. À partir de combien de séances par mois l'abonnement devient-il intéressant ? Pour répondre, il faut savoir résoudre une inéquation. C'est le but de cette page.
Résoudre une équation du premier degré
Une équation est une égalité contenant une inconnue $x$. Résoudre l'équation dans $\mathbb{R}$, c'est trouver toutes les valeurs de $x$ qui rendent l'égalité vraie : c'est l'ensemble des solutions $S$.
Pour cela, on transforme l'équation en une équation équivalente (qui a les mêmes solutions), jusqu'à isoler $x$.
Pourquoi ? L'égalité est comme une balance en équilibre : ce qu'on fait d'un côté, on le fait de l'autre.
Avec des fractions, on peut multiplier par un dénominateur commun. Pour $\dfrac{x}{3} + 2 = \dfrac{x}{2}$, on multiplie par $6$ : $2x + 12 = 3x$, donc $x = 12$.
Résoudre dans $\mathbb{R}$ : a) $3x - 7 = 11$ b) $5 - 2x = 4x + 17$ c) $\dfrac{x}{3} + 2 = \dfrac{x}{2}$
Résoudre dans $\mathbb{R}$ :
- a) $3x - 7 = 11$
- b) $5 - 2x = 4x + 17$
- c) $\dfrac{x}{3} + 2 = \dfrac{x}{2}$
Résoudre une inéquation du premier degré
Une inéquation compare deux expressions avec $<$, $\leqslant$, $>$ ou $\geqslant$. Sa résolution se fait comme celle d'une équation, avec une seule précaution.
Pourquoi ? On a $2 < 5$. En multipliant par $-1$, les nombres passent de l'autre côté de $0$ : $-2 > -5$.
On représente $S$ sur une droite graduée : la partie « autorisée » est colorée.
Résoudre dans $\mathbb{R}$ et donner l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle : a) $2x + 5 < 13$ b) $-3x + 6 \geqslant 12$ c) $4 - x \leqslant 2x + 1$
Résoudre dans $\mathbb{R}$ et donner l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle :
- a) $2x + 5 < 13$
- b) $-3x + 6 \geqslant 12$
- c) $4 - x \leqslant 2x + 1$
Un artisan de Toulouse fabrique des objets. Le coût de production de $x$ objets est $C(x) = 12x + 450$ et la recette est $R(x) = 27x$, en euros. a) Résoudre l'inéquation…
Un artisan de Toulouse fabrique des objets. Le coût de production de $x$ objets est $C(x) = 12x + 450$ et la recette est $R(x) = 27x$, en euros.
- a) Résoudre l'inéquation $R(x) > C(x)$ et interpréter.
- b) L'artisan veut un bénéfice d'au moins 1 000 €. Combien d'objets doit-il vendre ?
- c) Un concurrent propose la recette $R'(x) = 25x + 60$. Pour quelles valeurs de $x$ la recette de l'artisan est-elle strictement supérieure à celle du concurrent ?
Modéliser par une équation ou une inéquation
Pour résoudre un problème, on suit une méthode :
-
choisir l'inconnue (« Soit $x$ le nombre de séances ») ;
-
mettre en équation ou en inéquation ;
-
résoudre ;
-
conclure par une phrase, en vérifiant que la réponse a un sens (un nombre de séances est un entier naturel).
On retrouve la réponse de l'accroche : Lucas a intérêt à prendre l'abonnement dès 6 séances par mois.
Un abonnement à une salle de sport à Bordeaux coûte 15 € par mois plus 4 € par séance. Un tarif sans abonnement coûte 7 € par séance. a) Exprimer le coût mensuel pour…
Un abonnement à une salle de sport à Bordeaux coûte 15 € par mois plus 4 € par séance. Un tarif sans abonnement coûte 7 € par séance.
- a) Exprimer le coût mensuel pour $x$ séances dans chaque formule.
- b) À partir de combien de séances par mois l'abonnement est-il plus avantageux ?
Exprimer une variable en fonction des autres
En sciences, on utilise des formules : $U = RI$, $d = vt$, $V = \pi r^2 h$. Exprimer $I$ en fonction de $U$ et $R$, c'est isoler $I$ : on applique les mêmes règles que pour une équation, en traitant les autres lettres comme des nombres.
Un exemple concret : sur Paris-Lille (220 km), $d = vt$ donne $v = \dfrac{d}{t}$. Pour $t = 1\text{ h }20\text{ min} = \dfrac{4}{3}\text{ h}$ : $v = 220 \times \dfrac{3}{4} = 165\ \text{km/h}$.
Exprimer la variable demandée en fonction des autres : a) $U = RI$ : exprimer $I$. b) $d = vt$ : exprimer $t$. c) $V = \pi r^2 h$ : exprimer $h$.
Exprimer la variable demandée en fonction des autres :
- a) $U = RI$ : exprimer $I$.
- b) $d = vt$ : exprimer $t$.
- c) $V = \pi r^2 h$ : exprimer $h$.
On donne la relation $ax + by = c$ avec $a = 2$, $b = 3$ et $c = 12$. a) Exprimer $y$ en fonction de $x$. b) Calculer $y$ lorsque $x = 3$ et lorsque $x = -3$. c) Pour…
On donne la relation $ax + by = c$ avec $a = 2$, $b = 3$ et $c = 12$.
- a) Exprimer $y$ en fonction de $x$.
- b) Calculer $y$ lorsque $x = 3$ et lorsque $x = -3$.
- c) Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $y \geqslant 0$ ?
Un train roule à la vitesse constante $v$ entre Paris et Lille, distants de 220 km. La relation entre la distance $d$ (en km), la vitesse $v$ (en km/h) et la durée $t$…
Un train roule à la vitesse constante $v$ entre Paris et Lille, distants de 220 km. La relation entre la distance $d$ (en km), la vitesse $v$ (en km/h) et la durée $t$ (en h) est $d = vt$.
- a) Exprimer $v$ en fonction de $d$ et $t$.
- b) Calculer la vitesse moyenne si le trajet dure 1 h 20 min.
- c) Quelle durée maximale doit avoir le trajet pour que la vitesse moyenne soit d'au moins 200 km/h ?
Encadrer et comparer
Quand on connaît seulement un encadrement de $a$ et de $b$, on peut encadrer $a + b$, $-2b$, $a \times b$…
Pour un produit, il faut être prudent : ici $b$ est négatif et $a$ positif, donc $a \times b$ est négatif. Le produit le plus petit est $5 \times (-3) = -15$ et le plus grand $2 \times (-1) = -2$. Il faut justifier : $-3 \leqslant b \leqslant -1$ donne, en multipliant par $a > 0$, $-3a \leqslant ab \leqslant -a$, puis $-15 \leqslant -3a$ et $-a \leqslant -2$.
Comparer par la différence
Pour comparer deux nombres $A$ et $B$, on étudie le signe de $A - B$ :
-
$A - B \geqslant 0 \iff A \geqslant B$ ;
-
$A - B \leqslant 0 \iff A \leqslant B$.
Soit $a$ et $b$ deux réels tels que $2 \leqslant a \leqslant 5$ et $-3 \leqslant b \leqslant -1$. a) Encadrer $a + b$. b) Encadrer $-2b$ puis $a - 2b$. c) Encadrer…
Soit $a$ et $b$ deux réels tels que $2 \leqslant a \leqslant 5$ et $-3 \leqslant b \leqslant -1$.
- a) Encadrer $a + b$.
- b) Encadrer $-2b$ puis $a - 2b$.
- c) Encadrer $a \times b$ en justifiant.
Soit $a$ et $b$ deux réels strictement positifs. a) Démontrer que $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \geqslant 2$ en étudiant la différence $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} - 2$.…
Soit $a$ et $b$ deux réels strictement positifs.
- a) Démontrer que $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \geqslant 2$ en étudiant la différence $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} - 2$.
- b) Comparer $\dfrac{a+1}{b+1}$ et $\dfrac{a}{b}$ en étudiant leur différence, selon que $a < b$ ou $a > b$.
- c) Dans quel cas y a-t-il égalité en a) ?
L'essentiel
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Une équation ou une inéquation se résout en transformant les deux membres de la même façon, jusqu'à isoler $x$ ; on écrit l'ensemble des solutions $S$, souvent sous forme d'intervalle.
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Multiplier ou diviser une inégalité par un nombre négatif inverse son sens.
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Pour un problème : choisir l'inconnue, mettre en (in)équation, résoudre, conclure dans le contexte.
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Pour exprimer une variable en fonction des autres, on l'isole avec les mêmes règles (en vérifiant que l'on ne divise pas par $0$).
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On additionne des inégalités membre à membre, mais on ne les soustrait pas ; on compare deux nombres en étudiant le signe de leur différence.