Expressions littérales

Identifier le coefficient, la partie littérale et le degré du monôme suivant : $M(x,y) = -\frac{2}{3}x^4y^2$.

Calculer la valeur du polynôme $P(x) = 3x^2 - 5x + 2$ pour $x = -2$.

Indiquer lesquelles des expressions littérales suivantes sont des polynômes et justifier la réponse :

• $A(x) = 3x^2 - \frac{5}{x}$

• $B(x) = \sqrt{2}x^3 - x$

• $C(x) = 4x^{1/2} + 1$

Dans un centre de contrôle environnemental du Massif central, on modélise la concentration d'un polluant dans l'air (en $\mu\text{g}/\text{m}^3$) au cours d'une journée de $8$ heures par le polynôme $C(t) = -0,25 t^3 + 2,4 t^2 - 3,5 t + 18$, où $t$ représente le temps en heures écoulé depuis 8 h 00 ($0 \leq t \leq 8$). On souhaite connaître la concentration à 12 h 00 ($t = 4$).

1. a) Avant de calculer exactement, faire une estimation en arrondissant les coefficients décimaux à l'entier le plus proche (en cas d'égalité, comme pour $-3,5$, arrondir à $-4$) et déterminer mentalement si la valeur de $C(4)$ sera supérieure ou inférieure à la concentration initiale $C(0) = 18\,\mu\text{g}/\text{m}^3$. Justifier la prévision.
2. b) Calculer la valeur exacte de $C(4)$ en respectant les priorités opératoires et la règle des signes.
3. c) Déterminer l'erreur absolue commise dans l'estimation ($|\text{valeur exacte} - \text{valeur estimée}|$) et expliquer, d'après les signes des monômes du polynôme, quels termes ont fait augmenter le polluant et lequel a freiné sa croissance.

Effectuer la somme et la différence de monômes semblables suivantes et simplifier le résultat : $3x^2y - 5x^2y + 8x^2y$.

Effectuer la multiplication des monômes suivants : $(-3a^2b^3) \cdot (4ab^4)$.

Effectuer la division de monômes suivante et indiquer le coefficient, la partie littérale et le degré du monôme obtenu : $\frac{-24x^5y^4z}{6x^2y^3}$.

Exprimer sous forme littérale l'énoncé suivant : « Le cube d'un nombre moins le carré d'un autre nombre, différent du premier ».

Déterminer la valeur de $k$ pour que la valeur du polynôme $P(x) = 2x^3 - kx + 4$ en $x = 1$ soit égale à $5$.

Déterminer les valeurs des paramètres $a$ et $b$ du polynôme $P(x) = ax^2 + bx - 5$ sachant que sa valeur pour $x = 1$ est $-2$ et pour $x = -1$ est $-4$.

Écrire l'expression littérale qui représente le périmètre d'un rectangle dont la base mesure $3x$ et la hauteur mesure $x + 2$.

Un opérateur téléphonique facture un abonnement fixe mensuel de $15$ euros, plus $0,12$ euros par minute d'appel $m$ et $0,05$ euros par mégaoctet consommé $d$. Écrire l'expression littérale de la facture mensuelle et calculer son montant pour un mois où l'on a consommé $100$ minutes et $500$ mégaoctets.

On souhaite construire une boîte sans couvercle à partir d'une plaque de carton rectangulaire de $40$ cm de long sur $30$ cm de large. Pour cela, on découpe des carrés de côté $x$ dans chacun des quatre coins et l'on replie les rabats vers le haut. Écrire l'expression littérale du volume de la boîte en fonction de $x$ et calculer ce volume pour $x = 5$ cm.

L'énergie cinétique d'un corps en mouvement est donnée par l'expression $E_c = \frac{1}{2}mv^2$, où $m$ est la masse en kilogrammes et $v$ la vitesse en mètres par seconde. Calculer l'énergie cinétique d'un véhicule de $800$ kg roulant à $20$ m/s.

Dans un circuit électrique, la résistance équivalente $R_{eq}$ de trois résistances $R_1$, $R_2$ et $R_3$ branchées en dérivation s'obtient à partir de la formule $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}$. Exprimer $R_{eq}$ en fonction des autres grandeurs et l'écrire sous la forme d'une seule fraction en fonction de $R_1$, $R_2$ et $R_3$.

Calculer la valeur de l'expression littérale $P(x,y) = \frac{x^2 - 2xy + y^2}{x - y}$ pour $x = \frac{1}{2}$ et $y = -\frac{3}{2}$. Indice : simplifier l'expression avant de remplacer les valeurs.

Démontrer algébriquement que la différence entre les carrés de deux nombres impairs consécutifs est toujours un multiple de $8$. (Rappel : un nombre impair peut s'écrire sous la forme $2n+1$.)

On souhaite calculer la valeur de l'expression littérale rationnelle $E(x, y) = \dfrac{20x^5y^3 - 8x^3y^5 + 16x^4y^4}{4x^2y^2}$ pour les valeurs $x = 2,5$ et $y = -2$. Pour cela, deux élèves proposent des méthodes différentes :

• Méthode de Serge : remplacer directement les valeurs $x = 2,5$ et $y = -2$ au numérateur et au dénominateur, calculer les puissances d'exposants $5$, $4$ et $3$, effectuer les multiplications et les additions, puis diviser le numérateur obtenu par le dénominateur.

• Méthode d'Alice : diviser d'abord chaque terme du numérateur par le monôme du dénominateur en appliquant les règles de division des monômes pour obtenir un polynôme simplifié, puis remplacer les valeurs numériques uniquement dans l'expression obtenue.

1. a) Développer complètement la méthode d'Alice jusqu'à obtenir le polynôme réduit et calculer sa valeur pour les valeurs indiquées.
2. b) Analyser le nombre d'opérations avec des puissances d'exposant élevé et de multiplications décimales qu'exige la méthode de Serge par rapport à celle d'Alice. Justifier de façon critique laquelle des deux méthodes est la plus adaptée lors d'une épreuve sans calculatrice pour minimiser le temps et le risque d'erreur.
3. c) La méthode d'Alice serait-elle valable si les valeurs attribuées étaient $x = 0$ ou $y = 0$ ? Justifier la réponse à partir de la définition de l'expression initiale.