Distributions marginales

On donne le tableau à double entrée suivant pour les variables $X$ et $Y$ :

Écrire le tableau de la distribution marginale de la variable $X$.

Dans le tableau à double entrée suivant, les totaux marginaux (les sommes des lignes et des colonnes) sont manquants.

Recopier le tableau et compléter les valeurs marginales manquantes.

On a relevé les couples de valeurs $(x_i ; y_i)$ suivants en observant 5 individus :

$(1 ; 5)$, $(2 ; 5)$, $(1 ; 6)$, $(3 ; 5)$, $(2 ; 6)$

À partir de ces données, construire le tableau de la distribution marginale de la variable $Y$.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

La distribution marginale d'une variable à deux caractères pour sa composante $X$ est donnée par le tableau suivant :

Calculer la moyenne marginale $\bar{x}$.

La distribution marginale de la variable $Y$ dans une étude statistique est la suivante :

Sachant que sa moyenne marginale est $\bar{y} = 0,8$, calculer la variance marginale $\sigma_Y^2$.

Un biologiste étudie une espèce d'amphibien et relève sa masse $X$ (en kg) et sa longueur $Y$ (en cm). Les résultats sont regroupés dans le tableau à double entrée suivant :

Calculer les moyennes marginales $\bar{x}$ et $\bar{y}$ des deux variables.

Un magasin enregistre le prix de base $X$ (en euros) et le nombre d'unités vendues $Y$ de différents articles. La distribution marginale des prix de base $X$ obtenue à partir du tableau à double entrée est :

Sachant que le prix de vente final au public ($X'$) se calcule en appliquant une taxe fixe de 5 euros plus une augmentation de 20 % sur le prix de base (c'est-à-dire $X' = 1,20X + 5$), calculer la moyenne et l'écart type marginal des prix finaux $X'$ sans avoir à transformer chacune des valeurs individuellement.

Dans une usine de composants mécaniques, on contrôle la longueur en centimètres ($X$) d'une pièce et sa résistance à l'usure ($Y$). À partir de la distribution marginale de $X$, le service qualité a déjà obtenu que la moyenne est $\bar{x} = 12\text{ cm}$ et que son écart type est $\sigma_x = 0,4\text{ cm}$ (donc sa variance est $\sigma_x^2 = 0,16\text{ cm}^2$).

Pour adapter les plans à une norme internationale, il faut exprimer la longueur en millimètres et ajouter une marge fixe d'assemblage de 5 mm, en appliquant la transformation linéaire $X' = 10 \cdot X + 5$.

Pour déterminer la nouvelle moyenne marginale $\bar{x}'$ et la nouvelle variance marginale $\sigma_{x'}^2$, deux méthodes sont proposées :

• Méthode 1 : Transformer chaque valeur individuelle d'origine $x_i$ en calculant $x'_i = 10 \cdot x_i + 5$, refaire tout le tableau des effectifs marginaux et appliquer dès le début les formules générales avec des sommes.

• Méthode 2 : Employer directement les propriétés algébriques des changements d'origine et d'échelle sur les paramètres déjà connus : $\bar{x}' = a\bar{x} + b$ et $\sigma_{x'}^2 = a^2 \cdot \sigma_x^2$.

1. a) Appliquer la méthode 2 pour calculer numériquement $\bar{x}'$ et $\sigma_{x'}^2$.
2. b) Comparer les deux méthodes et justifier laquelle est la plus efficace lorsqu'on travaille avec des bases de données réelles de milliers d'enregistrements. Les deux chemins aboutissent-ils exactement au même résultat ?
3. c) Expliquer en détail pourquoi le terme $+5$ modifie la valeur de la moyenne, mais ne produit aucun changement dans le calcul de la variance marginale.

Dans un essai clinique, on relie la dose d'un médicament $X$ (en mg) au nombre de jours de guérison $Y$ :

Calculer le coefficient de variation marginal de la variable $Y$ afin d'analyser sa dispersion relative.

On étudie la quantité d'engrais $X$ (en kg/ha) et le rendement de la récolte $Y$ (en tonnes/ha) sur différentes parcelles :

Calculer la variance marginale de $X$ et la variance marginale de $Y$. Laquelle des deux variables présente la plus grande dispersion absolue ?