Exercices: Combinaisons linéaires de vecteurs. Bases

Soit les vecteurs $\vec{u} = (2, -3)$ et $\vec{v} = (-4, 6)$. Justifier mathématiquement s'ils peuvent former une base de l'espace vectoriel $\mathbb{R}^2$.

Calculer les coordonnées du vecteur résultant de la combinaison linéaire $3\vec{a} - 2\vec{b}$, sachant que $\vec{a} = (1, 4)$ et $\vec{b} = (-2, 5)$.

Déterminer la valeur du paramètre $m$ pour que les vecteurs $\vec{p} = (m, 4)$ et $\vec{q} = (3, -2)$ soient linéairement dépendants.

Exprimer le vecteur $\vec{c} = (5, -2)$ comme combinaison linéaire des vecteurs de la base canonique $\vec{i} = (1, 0)$ et $\vec{j} = (0, 1)$.

Vérifier si l'ensemble de vecteurs $B = \{(-1, 2), (2, 1)\}$ forme une base orthogonale du plan.

Sachant que $\vec{w} = 2\vec{u} + k\vec{v}$, avec $\vec{u} = (1, -1)$, $\vec{v} = (0, 3)$ et $\vec{w} = (2, 7)$, déterminer la valeur du scalaire $k$.

Vérifier si les vecteurs $\vec{u} = (3, 0)$ et $\vec{v} = (0, -2)$ forment une base orthogonale de $\mathbb{R}^2$.

Justifier si trois vecteurs non nuls du plan, par exemple $\vec{u} = (1, 1)$, $\vec{v} = (-1, 2)$ et $\vec{w} = (3, 0)$, peuvent être simultanément linéairement indépendants.

Un élève, Marc, doit déterminer si les vecteurs $\vec{u} = (2, -1)$ et $\vec{v} = (-6, 3)$ forment une base du plan $\mathbb{R}^2$. Dans sa copie, il écrit :

« Calculons le produit scalaire : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \cdot (-6) + (-1) \cdot 3 = -12 - 3 = -15$. Comme le produit scalaire n'est pas nul, les vecteurs ne sont pas orthogonaux et, par conséquent, n'ont pas la même direction ; cela signifie qu'ils sont linéairement indépendants et forment une base de $\mathbb{R}^2$ ».

Identifier l'erreur conceptuelle commise par Marc, expliquer avec rigueur pourquoi son raisonnement est faux et rédiger la justification mathématique correcte pour déterminer si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ forment ou non une base.

On considère les vecteurs $\vec{u} = (2, 1)$ et $\vec{v} = (-1, 2)$, qui forment une base $B = \{\vec{u}, \vec{v}\}$ de $\mathbb{R}^2$, et le vecteur cible $\vec{w} = (3, 4)$.

1. a) Sans résoudre aucun système d'équations, estimer en justifiant le signe des scalaires $a$ et $b$ dans la combinaison linéaire $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$ et argumenter lequel des deux coefficients devrait avoir la plus grande valeur absolue en observant les quadrants vers lesquels pointe chaque vecteur.
2. b) Poser le système d'équations linéaires, calculer exactement les coordonnées $(a, b)_B$ de $\vec{w}$ dans cette base et vérifier si le résultat numérique concorde avec l'estimation précédente.

Deux remorqueurs tirent un bateau en panne avec des forces $\vec{F}_1 = (300, 400)$ N et $\vec{F}_2 = (400, -300)$ N. Un troisième remorqueur se joint à eux en appliquant une force $\vec{F}_3 = (1000, 500)$ N. Exprimer la force $\vec{F}_3$ comme combinaison linéaire des vecteurs $\vec{F}_1$ et $\vec{F}_2$, en déterminant les coordonnées de $\vec{F}_3$ dans la base $B = \{\vec{F}_1, \vec{F}_2\}$.

Dans le moteur physique d'un jeu vidéo, le mouvement d'un personnage est défini dans une base $B = \{\vec{u}, \vec{v}\}$, où $\vec{u} = (2, 1)$ et $\vec{v} = (-1, 3)$. Si le personnage doit se déplacer au point indiqué par le vecteur $\vec{d} = (8, -3)$ par rapport à la base canonique, quelles seront les coordonnées du vecteur déplacement dans la base $B$ ?

Soit le parallélogramme $ABCD$ de la figure. Exprimer les vecteurs correspondant aux diagonales $\vec{AC}$ et $\vec{BD}$ comme combinaison linéaire des vecteurs des côtés $\vec{u} = \vec{AB}$ et $\vec{v} = \vec{AD}$.

Une entreprise de logistique utilise deux types de camionnettes. La capacité de chargement de la camionnette de type A est représentée par le vecteur $\vec{a} = (3, 2)$, ce qui correspond à 3 palettes de fruits et 2 de légumes. Celle de type B est représentée par $\vec{b} = (1, 4)$. Un centre commercial passe une commande exacte de 11 palettes de fruits et 14 de légumes, représentée par $\vec{p} = (11, 14)$. Déterminer les scalaires de la combinaison linéaire $\vec{p} = x\vec{a} + y\vec{b}$ afin de savoir combien de trajets de chaque camionnette sont nécessaires.

Déterminer un vecteur $\vec{v}$ tel que l'ensemble $B = \{\vec{u}, \vec{v}\}$ forme une base orthonormée, sachant que $\vec{u} = \left(\frac{3}{5}, \frac{-4}{5}\right)$. La solution est-elle unique ? Justifier la réponse.

Un drone sous-marin se déplace dans un environnement soumis à des courants marins. Son système de navigation autonome utilise une base formée des vecteurs $\vec{c}_1 = (1, 2)$ et $\vec{c}_2 = (-2, 3)$. Le drone enregistre un déplacement $\vec{w}$ dont les coordonnées dans cette base sont $(4, -1)_B$. Calculer les coordonnées du vecteur $\vec{w}$ dans la base canonique.

Déterminer les valeurs de $a$ et $b$ pour que les vecteurs $\vec{u} = (a, 3)$ et $\vec{v} = (-2, b)$ forment une base orthogonale, sachant de plus que la norme du vecteur $\vec{u}$ est exactement $5$.

Dans le plan ci-contre sont représentés les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$. Déterminer les coordonnées, dans la base canonique, du vecteur résultant $\vec{z} = 2\vec{u} - \vec{v}$.

Dans le centre de contrôle des Sauveteurs en mer à Biarritz, un opérateur surveille un drone de sauvetage dans le golfe de Gascogne. En raison des conditions environnementales locales, le pilote automatique décompose les mouvements selon deux directions de référence : celle du vent dominant d'est $\vec{v}_L = (4, 1)$ et celle du courant marin de surface $\vec{v}_C = (-1, 3)$ (les deux vitesses étant exprimées en $\text{m/s}$ par rapport à des axes canoniques orthonormés).

1. a) Justifier par le calcul que $B = \{\vec{v}_L, \vec{v}_C\}$ forme une base de $\mathbb{R}^2$ et vérifier s'il s'agit d'une base orthogonale.
2. b) Le drone doit atteindre une vitesse résultante par rapport au sol de $\vec{v}_{req} = (11, 6)\text{ m/s}$. Modéliser cette situation en exprimant $\vec{v}_{req}$ comme combinaison linéaire de $\vec{v}_L$ et $\vec{v}_C$ afin d'obtenir ses coordonnées dans la base $B$.
3. c) Les propulseurs du drone ne peuvent fournir qu'un facteur de poussée dans la direction du courant compris entre $-1$ et $2$ unités. Au vu des coordonnées obtenues, interpréter si la manœuvre est physiquement réalisable avec cette configuration.

On souhaite exprimer le vecteur $\vec{w} = (2, 11)$ comme combinaison linéaire des vecteurs de la base $B = \{\vec{u} = (3, 4), \vec{v} = (-4, 3)\}$ afin de déterminer ses coordonnées $(a, b)_B$.

Deux méthodes sont envisagées :

• Méthode 1 (algébrique générale) : poser le système $a(3, 4) + b(-4, 3) = (2, 11)$ et le résoudre par substitution, comparaison ou combinaison linéaire.

• Méthode 2 (utilisation de l'orthogonalité) : vérifier que $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ et appliquer que, dans une base orthogonale, en effectuant le produit scalaire des deux membres de $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$ avec chaque vecteur de la base, on obtient directement $a = \frac{\vec{w} \cdot \vec{u}}{|\vec{u}|^2}$ et $b = \frac{\vec{w} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|^2}$.

1. a) Effectuer les calculs complets avec les deux méthodes et vérifier qu'elles conduisent au même résultat.
2. b) Comparer les deux procédés : justifier lequel est le plus avantageux en termes de rapidité et de moindre risque d'erreur de calcul, et expliquer pourquoi la méthode 2 échouerait si la base n'était pas orthogonale.

Démontrer par le calcul que, si $B = \{\vec{u}, \vec{v}\}$ est une base des vecteurs du plan, alors l'ensemble $B' = \{\vec{u} + \vec{v}, \vec{u} - \vec{v}\}$ forme aussi une base. Si un vecteur $\vec{w}$ a pour coordonnées $(3, 5)$ dans la base $B$, déterminer ses coordonnées dans la nouvelle base $B'$.

Pour garantir la stabilité d'un nœud dans une structure réticulée plane, les vecteurs directeurs de deux barres concourantes doivent être linéairement indépendants. Les vecteurs de conception sont $\vec{d}_1 = (k+1, 3)$ et $\vec{d}_2 = (2, k)$. Déterminer pour quelles valeurs du paramètre $k$ le nœud est instable (les vecteurs ne forment pas une base). Ensuite, en supposant $k=0$, exprimer le vecteur de charge externe $\vec{P} = (4, -6)$ comme combinaison linéaire de $\vec{d}_1$ et $\vec{d}_2$.

Dans l'hexagone régulier $ABCDEF$ de centre $O$ représenté sur la figure, on définit les vecteurs de base $\vec{u} = \vec{AB}$ et $\vec{v} = \vec{AF}$. Exprimer les vecteurs $\vec{AC}$, $\vec{AD}$, $\vec{AE}$ et $\vec{BC}$ comme combinaisons linéaires de la base $B = \{\vec{u}, \vec{v}\}$.

Dans l'étude d'un réseau cristallin bidimensionnel, on définit deux bases du plan : la base primitive $B_1 = \{\vec{a}_1, \vec{a}_2\}$ et une base secondaire $B_2 = \{\vec{b}_1, \vec{b}_2\}$. Sachant que $\vec{b}_1 = 2\vec{a}_1 - \vec{a}_2$ et $\vec{b}_2 = \vec{a}_1 + 3\vec{a}_2$, déterminer les coordonnées dans la base $B_1$ d'un défaut ponctuel dont le vecteur position dans la base $B_2$ est $\vec{d} = (-1, 2)_{B_2}$.

Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls tels que l'angle qu'ils forment soit de $60^\circ$, avec $|\vec{u}| = 2$ et $|\vec{v}| = 3$. On définit le vecteur $\vec{w} = m\vec{u} + n\vec{v}$. Déterminer la relation qui doit exister entre les paramètres $m$ et $n$ pour que le vecteur $\vec{w}$ soit orthogonal au vecteur $\vec{u}$.

Le bras d'un robot industriel se déplace dans un plan défini par une base $B = \{\vec{e}_1, \vec{e}_2\}$ orthogonale mais non orthonormée, où $|\vec{e}_1| = 2$ et $|\vec{e}_2| = 4$. Une commande de trajectoire lui indique de se déplacer selon le vecteur $\vec{v} = 3\vec{e}_1 - \frac{1}{2}\vec{e}_2$. Calculer la norme exacte du vecteur déplacement $\vec{v}$ et le cosinus de l'angle qu'il forme avec le vecteur de la base $\vec{e}_1$.

Déterminer tous les vecteurs $\vec{x} = (x_1, x_2)$ qui, exprimés comme combinaison linéaire de la base $B = \{(1, -1), (2, 1)\}$, ont des coordonnées $(a, b)_B$ telles que $a = b$ et dont, de plus, la norme dans la base canonique est exactement $\sqrt{45}$.

Étant donnés les points $A(1, 2)$, $B(4, -1)$ et $C(x, y)$, déterminer les coordonnées du point $C$ sachant que les vecteurs $\vec{u} = \vec{AB}$ et $\vec{v} = \vec{AC}$ forment une base du plan dans laquelle le vecteur $\vec{w} = (0, -6)$ a pour coordonnées $(2, -1)_B$.

Un dessinateur technique doit configurer un repère oblique $B = \{\vec{u}, \vec{v}\}$ dans le plan de travail. Les contraintes suivantes sont connues :

1. Le premier vecteur de la base est de la forme $\vec{u} = (1, k)$ et le second vecteur est de la forme $\vec{v} = (m, 1)$, avec $k, m \in \mathbb{R}$.

2. Les vecteurs doivent être orthogonaux entre eux, de sorte que la base $B$ soit orthogonale.

3. Un point d'ancrage situé à la position canonique $\vec{w} = (5, 5)$ doit avoir exactement pour coordonnées $(a, b)_B = (3, -1)$ dans la base $B$.

1. a) Poser et résoudre le système d'équations permettant de déterminer les valeurs numériques de $k$ et $m$.
2. b) Déterminer si la base obtenue $B = \{\vec{u}, \vec{v}\}$ est orthonormée. Dans la négative, construire à partir d'elle une base orthonormée $B' = \{\vec{u}', \vec{v}'\}$ en conservant les mêmes sens et calculer les nouvelles coordonnées de $\vec{w}$ dans $B'$.
3. c) Démontrer que la norme du vecteur $\vec{w}$ est la même, qu'on la calcule avec ses composantes canoniques ou avec la formule euclidienne usuelle appliquée à ses coordonnées dans la base orthonormée $B'$, et expliquer brièvement pourquoi cela n'est pas le cas avec ses coordonnées dans la base $B$.

Dans une base du SAMU de montagne dans les Pyrénées, l'équipe de navigation aérienne étudie les trajectoires d'un hélicoptère de secours. Deux vents de vallée habituels sont décrits par les vecteurs $\vec{v}_1 = (2, 1)$ et $\vec{v}_2 = (k, 3)$, mesurés en nœuds.

1. a) Déterminer la valeur du paramètre réel $k$ pour laquelle les vecteurs $\vec{v}_1$ et $\vec{v}_2$ sont linéairement dépendants. Expliquer quelle limitation géométrique et opérationnelle cela représenterait pour la navigation de l'hélicoptère si $k$ prenait cette valeur critique.
2. b) Pour $k = -1$, démontrer que $B = \{\vec{v}_1, \vec{v}_2\}$ est une base de $\mathbb{R}^2$ et déterminer les coordonnées dans cette base du vecteur de manœuvre $\vec{w} = (5, 6)$.
3. c) Un copilote formule l'hypothèse générale suivante : « Si l'on ajoute aux deux vecteurs de n'importe quelle base $B = \{\vec{v}_1, \vec{v}_2\}$ de $\mathbb{R}^2$ un même vent de rafale non nul $\vec{r} = (1, 2)$, le nouvel ensemble obtenu $B' = \{\vec{v}_1 + \vec{r}, \vec{v}_2 + \vec{r}\}$ restera toujours une base de $\mathbb{R}^2$ ». Démontrer si l'affirmation du copilote est vraie ou fausse en étudiant algébriquement la dépendance linéaire de $B'$ en fonction de $k$ et en fournissant, le cas échéant, un contre-exemple explicite.