Fonctions définies par morceaux

Soit la fonction définie par morceaux suivante :

$f(x) = \begin{cases} 2x+1 & \text{si } x < 0 \\ x^2-3 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$

Calculer la valeur de la fonction aux points $x = -2$, $x = 0$ et $x = 3$.

Observer la courbe de la fonction $f(x)$ et déterminer son ensemble de définition et son ensemble image.

Exprimer la fonction valeur absolue $f(x) = |3x - 6|$ comme une fonction définie par morceaux.

Un parking du centre-ville facture un tarif de $2$ € pour la première heure de stationnement (ou fraction d'heure). Au-delà de la première heure, il facture $1,50$ € par heure supplémentaire, le temps en plus étant facturé proportionnellement aux minutes exactes de stationnement. Écrire la fonction définie par morceaux $C(x)$ qui représente le coût total en fonction du nombre d'heures $x$ pendant lesquelles la voiture reste dans le parking.

Un opérateur de téléphonie mobile propose un forfait data qui fonctionne de la manière suivante : on paie un forfait mensuel fixe de $15$ € qui inclut les $5$ premiers Go de téléchargement. Si cette limite est dépassée, chaque gigaoctet supplémentaire (ou fraction proportionnelle) est facturé $2$ €.

Écrire la fonction $C(x)$ qui représente le coût mensuel en fonction des gigaoctets $x$ consommés, et calculer combien paiera un client qui a consommé $3$ Go et un autre qui a consommé $8,5$ Go.

Déterminer le point de raccordement de la fonction suivante et déterminer si elle est continue en ce point :

$f(x) = \begin{cases} 3x-2 & \text{si } x < 2 \\ 5-x & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$

Représenter graphiquement dans votre cahier la fonction définie par morceaux suivante :

$f(x) = \begin{cases} -2 & \text{si } x \le 1 \\ 2x-4 & \text{si } x > 1 \end{cases}$

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Déterminer la valeur du paramètre $k$ pour que la fonction définie par morceaux suivante soit continue sur tout son ensemble de définition :

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & \text{si } x \le 2 \\ kx + 3 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

Observer la courbe suivante de la fonction $p(x)$ et déterminer son expression analytique complète. À partir de celle-ci, indiquer son ensemble de définition, son ensemble image et classer les discontinuités qu'elle présente.

Pour exprimer la fonction $g(x) = |2x - 6| + 1$ comme une fonction définie par morceaux, Alexandre écrit dans son devoir :

Alexandre affirme que le changement de morceau se produit toujours en $x = 0$ parce que c'est là que les nombres passent de négatifs à positifs.

1. a) Expliquer en justifiant l'erreur conceptuelle d'Alexandre. Quelle expression doit réellement changer de signe pour séparer les morceaux de la valeur absolue et pour quelle valeur de $x$ le changement a-t-il lieu ?
2. b) Écrire l'expression correcte de $g(x)$ par morceaux et vérifier, en calculant les limites à gauche et à droite au point de changement de morceau, que la fonction ne présente aucun saut (elle est continue).

Exprimer la fonction $f(x) = |x - 2| + 3x$ comme une fonction définie par morceaux sans utiliser la valeur absolue et calculer les valeurs de $f(0)$ et $f(5)$.

Exprimer la fonction $f(x) = |x + 3| - |2x - 4|$ comme une fonction définie par morceaux, en éliminant les valeurs absolues, et simplifier l'expression de chacun des morceaux obtenus.

Associer la description suivante à la structure d'une fonction définie par morceaux : « On allume un four et sa température augmente de façon constante pendant 10 minutes jusqu'à atteindre 200 °C. Elle est maintenue à cette température pendant 40 minutes pour cuire une pizza puis le four est éteint, sa température redescendant jusqu'à la température ambiante (20 °C) de façon constante en 30 minutes. »

Écrire les intervalles de temps qui définiraient les trois morceaux de la fonction température $T(t)$.

La facture d'électricité d'un logement comporte un abonnement fixe de $10$ € par mois. De plus, les $100$ premiers kWh consommés sont facturés $0,12$ €/kWh. Si l'on dépasse $100$ kWh, l'excédent de consommation est facturé $0,15$ €/kWh. Écrire la fonction $F(x)$ qui donne le montant total de la facture en fonction des kWh $x$ consommés.

Dans un pays fictif, l'impôt sur le revenu se calcule de la manière suivante : sur les $10\,000$ premiers euros de revenus, on ne paie pas d'impôt ($0$ %). Sur la part qui dépasse $10\,000$ € et jusqu'à $20\,000$ €, on paie $10$ %. Sur la part qui dépasse $20\,000$ €, on paie $20$ %.

Écrire la fonction définie par morceaux $I(x)$ qui calcule l'impôt à payer en fonction des revenus $x$.