Expressions fractionnaires

Calculer la valeur de la fraction rationnelle $\frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 + 1}$ pour $x = -2$.

Vérifier, à l'aide du produit en croix, si les fractions rationnelles $\frac{x-3}{x+1}$ et $\frac{x^2-9}{x^2+4x+3}$ sont égales.

On considère l'expression littérale $F(x) = \dfrac{3x^2 - 5x}{x^2 - 1} - 3$.

1. a) Estimer : avant de calculer avec papier et crayon, analyser mentalement ce qui se passe lorsque la variable $x$ prend une très grande valeur positive (par exemple $x = 100\,000$). Vers quelle valeur pensez-vous que tende le quotient $\dfrac{3x^2-5x}{x^2-1}$ si l'on ignore les termes de plus bas degré ? À partir de cette déduction, estimer en justifiant vers quelle valeur tendra $F(x)$ pour de très grands nombres et si vous vous attendez à ce que le résultat soit légèrement positif ou légèrement négatif.
2. b) Vérifier : réduire la différence au même dénominateur, effectuer les opérations du numérateur et simplifier $F(x)$ en une unique fraction rationnelle irréductible.
3. c) Remplacer $x = 100$ dans la fraction simplifiée obtenue à la question b), calculer sa valeur décimale et justifier si elle confirme l'estimation formulée à la question a).

Simplifier la fraction rationnelle suivante en mettant en facteur un facteur commun au numérateur et au dénominateur : $\frac{4x^3 - 2x^2}{6x^2 - 2x}$

Simplifier la fraction rationnelle suivante en appliquant les identités remarquables : $\frac{x^2 - 25}{x^2 - 10x + 25}$

Lucie doit simplifier la fraction rationnelle $\dfrac{x^2+4x}{x^2+6x+8}$ lors d'un contrôle et écrit sur sa feuille :

1. a) Identifier l'erreur conceptuelle commise par Lucie dans sa première étape et expliquer en détail pourquoi il n'est pas mathématiquement valide de barrer le terme $x^2$. Donner un contre-exemple numérique simple (avec une fraction de nombres concrets et des sommes) qui montre que barrer des termes d'une somme conduit à un résultat erroné.
2. b) Effectuer correctement la simplification en factorisant le numérateur et le dénominateur, et indiquer quelles valeurs de $x$ n'appartiennent pas à l'ensemble de définition de la fraction initiale.

Simplifier la fraction rationnelle suivante en factorisant au préalable le numérateur et le dénominateur : $\frac{x^3 - 4x^2 + 4x}{x^3 - 2x^2 - 4x + 8}$

Trouver une fraction rationnelle $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ qui vérifie simultanément les trois conditions suivantes :

1) Sa forme irréductible est $\dfrac{2}{x-5}$.

2) Les seules valeurs qui n'appartiennent pas à son ensemble de définition (valeurs interdites) sont $x = 5$ et $x = -3$.

3) Les polynômes $P(x)$ et $Q(x)$ doivent être entièrement développés dans la réponse finale (sans produits indiqués ni facteurs entre parenthèses).

Expliquer pas à pas comment vous avez déduit le numérateur et le dénominateur à partir des restrictions de l'ensemble de définition données.

La base d'un panneau solaire rectangulaire mesure $x+5$ mètres et sa hauteur mesure $x-5$ mètres. Le côté d'un panneau solaire carré mesure $x$ mètres. Écrire la fraction rationnelle qui représente le quotient de l'aire du panneau rectangulaire par l'aire du panneau carré. Calculer la valeur de cette fraction pour $x = 10$ mètres.

Multiplier les fractions rationnelles suivantes et donner le résultat sous la forme la plus simplifiée possible : $\frac{x}{x+2} \cdot \frac{x^2-4}{x^2}$

Effectuer la division de fractions rationnelles et simplifier : $\frac{2x+2}{x-1} : \frac{4x+4}{x^2-1}$

Un robinet d'eau chaude met $x$ heures à remplir une baignoire, tandis que le robinet d'eau froide met $x+3$ heures. Écrire une fraction rationnelle simplifiée qui représente la part de la baignoire remplie en une heure lorsque les deux robinets sont ouverts en même temps.

Le coût total en euros de fabrication de $x$ vélos est donné par le polynôme $C(x) = 3x^2 + 150x$. Les recettes totales en euros de la vente de ces $x$ vélos sont exprimées par le polynôme $I(x) = 5x^2 + 200x$. Écrire la fraction rationnelle irréductible qui représente le rapport entre les recettes et les coûts.

Effectuer la somme de fractions rationnelles suivante et simplifier le résultat : $\frac{3x+2}{x-2} + \frac{-x-6}{x-2}$

Effectuer l'opération suivante et simplifier le résultat : $\frac{x^2+5x}{x+3} - \frac{x^2-9}{x+3}$

Effectuer les opérations suivantes en réduisant au même dénominateur et simplifier le résultat : $\frac{2}{x-1} + \frac{x}{x+1} - \frac{2x}{x^2-1}$

Effectuer et simplifier au maximum l'expression suivante : $\frac{x^2-1}{x^2+2x+1} \cdot \left( \frac{2x}{x-1} - \frac{x+1}{x} \right)$