Puissances d'exposant entier

Calculer la valeur numérique des puissances d'exposant négatif suivantes, en exprimant le résultat sous forme de fraction irréductible ou de nombre entier : $3^{-2}$, $(-2)^{-3}$, $5^{-1}$ et $(-1)^{-4}$.

Lors d'un contrôle de seconde, Sonia commet trois erreurs très courantes en calculant avec des puissances d'exposant entier :

1) Elle écrit que $(-3)^{-2} = -\frac{1}{9}$, en justifiant que « le signe moins de l'exposant rend le résultat final négatif ».

2) Elle écrit que $5^{-1} = -5$, en affirmant que « élever à la puissance $-1$ revient à changer le signe du nombre ».

3) Elle écrit que $\left(-\frac{2}{5}\right)^{-3} = \left(\frac{5}{2}\right)^3 = \frac{125}{8}$, en arguant que « quand on inverse la fraction pour supprimer l'exposant négatif, le signe moins de la base disparaît aussi ».

Pour chacun des trois cas :

1. a) Expliquer quelle est l'erreur conceptuelle commise par Sonia et quelle propriété elle a appliquée à tort.
2. b) Présenter le développement correct étape par étape et calculer le résultat numérique final sous forme de nombre entier ou de fraction irréductible.

Analyser et discuter en justifiant le signe de l'expression mathématique $(-a)^{-n}$ selon deux facteurs : le nombre réel $a$ est strictement positif ou négatif, et l'entier $n$ est pair ou impair. Élaborer un schéma ou un tableau des quatre cas possibles issus de cette combinaison et l'accompagner d'un exemple numérique concret pour chacun d'eux.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Exprimer les puissances de base fractionnaire suivantes avec un exposant positif, puis calculer leur valeur exacte : $\left(\frac{2}{5}\right)^{-3}$ et $\left(-\frac{1}{4}\right)^{-2}$.

On donne les expressions numériques suivantes :

1. a) Sans calculer au préalable la valeur numérique exacte d'aucune d'elles, faire une estimation justifiée en répondant aux questions suivantes :

• Lesquelles de ces puissances donneront un résultat strictement supérieur à $1$ ?

• Lesquelles donneront un résultat compris entre $0$ et $1$ ?

• L'une d'elles donnera-t-elle un résultat négatif ? Justifier votre déduction à partir du signe de la base, de la parité de l'exposant et de la signification de l'exposant négatif comme inverse.

1. b) Calculer maintenant la valeur exacte de chacune sous forme de fraction irréductible ou de nombre entier et vérifier si vos estimations initiales étaient correctes.

Démontrer mathématiquement que, pour tout nombre réel $a \neq 0$ et tout nombre entier $n$, l'égalité $\left(\frac{1}{a}\right)^{-n} = a^n$ est vérifiée. Utiliser pour la démonstration la définition d'une puissance d'exposant négatif et les propriétés des opérations sur les fractions.

Appliquer les propriétés du produit de puissances de même base pour exprimer le résultat sous la forme d'une seule puissance : $7^4 \cdot 7^{-6} \cdot 7^5$.

Simplifier l'expression suivante en effectuant les opérations au numérateur et au dénominateur, et exprimer le résultat final sous la forme d'une unique puissance : $\frac{5^{-3} \cdot 5^6}{5^2}$.

Réduire l'expression suivante à une seule puissance en appliquant la propriété de la puissance d'une puissance : $\left((-2)^3\right)^{-4}$.

Utiliser la propriété du produit de puissances de même exposant pour exprimer le calcul suivant sous la forme d'une unique puissance : $4^{-3} \cdot 2^{-3} \cdot 5^{-3}$.

Simplifier la fraction suivante en exprimant le numérateur et le dénominateur comme puissances d'un même nombre premier, et donner le résultat sous la forme d'une unique puissance : $\frac{8^4}{4^5}$.

Effectuer les opérations nécessaires pour exprimer le produit suivant sous la forme d'une seule puissance de base $3$ : $9^2 \cdot 27^{-1} \cdot 3^4$.

Simplifier l'expression suivante en factorisant au préalable les bases composées et en appliquant les propriétés des puissances d'exposant entier. Laisser le résultat sous la forme d'un produit de puissances de nombres premiers :

$\frac{12^3 \cdot 18^{-2}}{6^4 \cdot 2^{-5}}$

Calculer et simplifier au maximum l'expression suivante, en exprimant le résultat final sous forme de fraction irréductible :

$\left( \frac{3}{2} \right)^{-2} \cdot \left( \frac{4}{9} \right)^{-1} : \left( \frac{1}{2} \right)^{-3}$

Lors d'un contrôle de mathématiques, un élève a résolu une opération en écrivant que $2^{-3} \cdot 5^{-3} = 10^{-6}$. Expliquer en détail quelle est l'erreur conceptuelle de l'élève, énoncer la propriété correcte qu'il aurait dû utiliser et calculer le vrai résultat sous forme de fraction.

Simplifier l'expression suivante avec des fractions et des exposants négatifs, en appliquant les propriétés étape par étape et en donnant le résultat final sous forme de fraction irréductible sans exposants négatifs :

$\left[ \left( \frac{2}{3} \right)^{-2} \cdot \left( \frac{9}{4} \right)^{-1} \right]^{-3}$

Simplifier au maximum l'expression littérale suivante, où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels non nuls. Appliquer les propriétés des puissances et laisser le résultat final exprimé uniquement avec des exposants positifs :

$\frac{(a^{-2} \cdot b^3)^{-3} \cdot (a \cdot b^{-1} \cdot c^2)^4}{(a^3 \cdot c^{-5})^{-2}}$

Simplifier l'expression littérale suivante, où $m$ et $n$ sont des nombres entiers quelconques. Après simplification, vérifier et justifier si le résultat final dépend des valeurs prises par $m$ et $n$ :

$\frac{4^{n+1} \cdot 10^{m-n}}{2^{m+n+2} \cdot 5^{m-n}}$

Pour simplifier l'expression littérale suivante :

(avec $x \ne 0$ et $y \ne 0$), deux élèves proposent deux méthodes de travail différentes :

• Méthode 1 (inversion initiale) : Réécrire chaque puissance d'exposant négatif en passant les facteurs du numérateur au dénominateur et inversement ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$), afin de ne travailler qu'avec des exposants positifs dès la première étape.

• Méthode 2 (calcul direct sur les exposants entiers) : Appliquer directement la puissance d'un produit et la puissance d'une puissance en multipliant les exposants avec leur signe, regrouper les puissances de même base en additionnant et soustrayant des exposants entiers, et n'exprimer avec des exposants positifs qu'à la fin si nécessaire.

1. a) Développer la simplification étape par étape avec la Méthode 2, en montrant explicitement les opérations sur les signes des exposants. Donner le résultat final exprimé uniquement avec des exposants positifs.
2. b) Justifier pourquoi la Méthode 1, bien que mathématiquement valable, est peu efficace et génère un risque d'erreur bien plus grand pour des expressions comportant des puissances imbriquées comme celle-ci.
3. c) Modifier exclusivement deux des exposants numériques apparaissant dans l'expression initiale $E$ afin que le résultat final de la simplification soit exactement $1$. Justifier lesquels vous choisissez et par quelles valeurs vous les remplacez.

On considère la fonction algébrique suivante, définie pour tout exposant entier $n \in \mathbb{Z}$ :

1. a) Démontrer formellement que la valeur numérique de $F(n)$ est constante (elle ne dépend absolument pas de la valeur de $n$, qu'elle soit positive, nulle ou négative). Pour cela, factoriser par une puissance adéquate de base $3$ au numérateur et au dénominateur, puis simplifier. Exprimer la constante obtenue sous forme de fraction irréductible.
2. b) Un élève affirme : « Si l'on choisit $n = -100$, les puissances ont des exposants très négatifs et valent donc pratiquement zéro ; par conséquent, $F(-100)$ devrait tendre vers zéro et ne pas valoir la même chose que pour $n = 5$ ». Réfuter avec précision mathématique cet argument, en distinguant la grandeur absolue des termes et le quotient relatif entre eux.
3. c) Problème inverse : Déterminer quelle valeur entière positive doit avoir la base $b$ ($b > 1$) pour que l'expression analogue :

prenne exactement la valeur numérique $\frac{5}{12}$ pour tout $n \in \mathbb{Z}$.

Dans un jeu vidéo de stratégie, le nombre de soldats de votre faction double chaque heure de jeu. Si vous avez $150$ soldats au début de la partie, écrire une expression mathématique à l'aide de puissances donnant le nombre de soldats au bout de $h$ heures. Combien y aura-t-il de soldats après $6$ heures ?

Dans un laboratoire de chimie, on filtre une substance toxique contenue dans un liquide. Chaque filtre installé dans le circuit réduit la quantité de toxines à son tiers. Si la quantité initiale de toxines est de $81$ grammes, exprimer à l'aide d'une puissance d'exposant négatif la quantité de toxines restante après le passage par $5$ filtres successifs et calculer sa valeur exacte.

Un tournoi de tennis se joue par élimination directe (à chaque match, le perdant est éliminé et le gagnant passe au tour suivant). Si $2^7$ joueurs participent au premier tour, combien de matchs auront été joués au total à la fin du tournoi, lorsqu'il ne reste qu'un unique vainqueur ? Exprimer votre raisonnement à l'aide d'opérations sur les puissances.

Dans une salle blanche de l'Institut de microélectronique de Barcelone (IMB-CNM, CSIC), on surveille la présence d'impuretés microscopiques pouvant rendre les puces inutilisables. Un capteur détecte une particule de poussière ambiante de type $X$ dont la masse est $2^{-8}\text{ mg}$, et une particule ultrafine de type $Y$ dont la masse est $8^{-3}\text{ mg}$.

1. a) Exprimer la masse de l'impureté $Y$ sous la forme d'une unique puissance de base $2$ d'exposant entier.
2. b) Laquelle des deux particules a la plus grande masse ? Justifier la réponse en raisonnant sur la signification d'un exposant entier négatif, sans calculer l'écriture décimale d'aucune des deux.
3. c) Combien d'impuretés de type $Y$ faut-il exactement pour égaler la masse d'une seule particule de type $X$ ? Poser l'opération sous forme de quotient de puissances de base $2$, appliquer les propriétés des puissances d'exposant entier et exprimer le résultat sous forme de nombre entier.

Une entreprise place un capital de $5000$ euros dans un fonds de placement offrant un taux d'intérêts composés annuel de $4\%$. La formule correcte pour calculer le capital final au bout de $t$ ans est $C = 5000 \cdot (1,04)^t$. Si, à cause d'une erreur informatique, le système calcule le capital avec un exposant négatif, $C_{\text{erroné}} = 5000 \cdot (1,04)^{-t}$, quelle serait la signification financière de ce calcul erroné ? Déduire en outre quelle relation mathématique exacte existe entre le capital correct au bout de $5$ ans et le capital erroné calculé pour ces mêmes $5$ ans.

On construit une figure fractale appelée « triangle de Sierpinski » en partant d'un triangle équilatéral plein de couleur bleue dont l'aire initiale est $1$ unité. À chaque itération (étape), on divise chaque triangle bleu en quatre triangles équilatéraux plus petits et on retire le triangle central (qui reste vide/noir). Observer la figure illustrant les premières étapes. Déterminer l'expression mathématique, sous forme de puissance, de l'aire bleue restante après $n$ itérations. À partir de cette expression, quelle sera l'aire bleue exacte après $6$ itérations ?

L'intensité d'un faisceau lumineux traversant un certain type de verre teinté est réduite aux $\frac{3}{4}$ de sa valeur incidente. Si l'on superpose $n$ de ces verres identiques, l'intensité de la lumière qui parvient à les traverser est $I = I_0 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^n$, où $I_0$ est l'intensité initiale. Exprimer la fraction de lumière perdue (et non celle qui passe) après la traversée de $3$ verres, en utilisant des puissances d'exposant entier pour les calculs. D'après le résultat, déterminer si le dispositif bloque plus ou moins de la moitié de la lumière d'origine.

Déterminer la valeur de l'entier $x$ pour laquelle l'équation exponentielle suivante est vérifiée, en exprimant tous les termes comme puissances d'une même base :

$5^{x+2} \cdot 25^{-1} = 125^3$

On souhaite construire une égalité mathématique de la forme suivante :

où $a$ et $b$ doivent être des nombres entiers.

1. a) Décomposer les bases en facteurs premiers ($2$ et $3$) et utiliser les propriétés des puissances d'exposant entier pour exprimer tout le membre de gauche sous la forme d'une seule puissance de base $\frac{2}{3}$.
2. b) Écrire la fraction du membre de droite $\frac{32}{243}$ comme une puissance de base $\frac{2}{3}$ d'exposant entier.
3. c) À partir des questions précédentes, obtenir une équation linéaire que doivent vérifier $a$ et $b$. Trouver ensuite deux couples d'entiers $(a, b)$ distincts vérifiant l'égalité, en exigeant que, dans l'un d'eux au moins, l'un des exposants soit strictement négatif.

Résoudre l'équation exponentielle suivante. Pour cela, appliquer les propriétés des puissances d'exposant entier afin de séparer les bases et factoriser :

$3^{x+1} + 3^{x-1} - 3^x = 21$