Distributions conditionnelles

Soit le tableau à double entrée suivant qui relie les variables $X$ et $Y$ :

Écrire le tableau des effectifs de la distribution de la variable $Y$ conditionnelle à $X = 10$ et calculer la taille de cette sous-population.

Dans une étude sur deux variables $X$ et $Y$, on a isolé la distribution de $Y$ conditionnelle à une valeur précise $x_i$, ce qui donne les effectifs suivants :

Calculer les fréquences conditionnelles $h_{j|i}$ pour chaque valeur de $Y$ et vérifier que leur somme vaut $1$.

Observer le tableau de contingence suivant :

Déterminer le mode de la distribution de $Y$ conditionnelle à $X = 2$ et le mode de la distribution de $X$ conditionnelle à $Y = 30$.

À partir de la distribution conjointe des variables $X$ et $Y$ donnée dans le tableau :

Calculer la moyenne arithmétique de la distribution de $X$ conditionnelle à $Y = 5$, c'est-à-dire $\bar{x}_{|y=5}$.

On analyse le nombre de fautes d'orthographe ($Y$) dans une dictée selon la classe ($X$). On extrait les deux distributions conditionnelles pour $X=3$ et $X=4$ :

Distribution $Y | X=3$ :

Valeurs $y_j$ : $0, 1, 2, 3$

Effectifs : $2, 5, 2, 1$

Distribution $Y | X=4$ :

Valeurs $y_j$ : $0, 1, 2, 3$

Effectifs : $5, 3, 2, 0$

Calculer la moyenne de fautes dans chaque classe ($\bar{y}_{|x=3}$ et $\bar{y}_{|x=4}$) et indiquer dans quelle classe on commet, en moyenne, le moins de fautes.

Dans une étude de nutrition, on met en relation la teneur en glucides en grammes ($X$) et la teneur en protéines en grammes ($Y$) de plusieurs barres énergétiques. Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant :

Calculer la moyenne et l'écart type de la teneur en protéines pour les barres qui contiennent exactement $30\text{ g}$ de glucides (distribution $Y|X=30$).

Dans une étude statistique sur la variable $X$ (catégorie professionnelle) et $Y$ (salaire en milliers d'euros), on a trois catégories ($X=1, 2, 3$). On connaît les données suivantes des distributions conditionnelles $Y|X=x_i$ :

Catégorie 1 : $N_1 = 10$, $\bar{y}_{|x=1} = 20$, $\sigma^2_{Y|X=1} = 4$

Catégorie 2 : $N_2 = 20$, $\bar{y}_{|x=2} = 30$, $\sigma^2_{Y|X=2} = 9$

Catégorie 3 : $N_3 = 10$, $\bar{y}_{|x=3} = 40$, $\sigma^2_{Y|X=3} = 4$

Calculer d'abord la moyenne globale marginale $\bar{y}$. Calculer ensuite la variance marginale $\sigma_Y^2$ en utilisant la formule de décomposition de la variance (ou en calculant la somme totale des carrés à partir des données fournies).

Dans un tableau à double entrée, on dispose des fréquences conditionnelles suivantes pour la variable $Y$ relativement à deux valeurs de $X$ :

Pour $X = 1$ : $h_{1|1} = 0,2$ ; $h_{2|1} = 0,8$

Pour $X = 2$ : $h_{1|2} = 0,5$ ; $h_{2|2} = 0,5$

Justifier si les variables $X$ et $Y$ sont statistiquement indépendantes ou dépendantes en se basant exclusivement sur ces données.

On réalise une enquête dans un établissement scolaire en demandant le genre ($X$ : $1=\text{Garçon}$, $2=\text{Fille}$) et le réseau social préféré ($Y$ : $1=\text{TikTok}$, $2=\text{Instagram}$, $3=\text{BeReal}$).

Calculer les distributions de fréquences conditionnelles $Y|X=1$ et $Y|X=2$. Au vu des résultats, le genre et le réseau social préféré sont-ils indépendants dans cet échantillon ?

Démontrer numériquement une propriété fondamentale de l'indépendance statistique. On considère le tableau suivant où $X$ et $Y$ sont indépendantes (leurs fréquences conjointes sont le produit des fréquences marginales) :

Calculer la moyenne marginale $\bar{y}$ et les moyennes conditionnelles $\bar{y}_{|x=1}$ et $\bar{y}_{|x=2}$. Vérifier que, les variables étant indépendantes, l'égalité $\bar{y} = \bar{y}_{|x=1} = \bar{y}_{|x=2}$ est satisfaite.

Dans un hôpital, on teste un nouveau traitement. La variable $X$ indique le traitement ($0=\text{Standard}$, $1=\text{Nouveau}$) et la variable $Y$ indique le résultat ($0=\text{Non guéri}$, $1=\text{Guéri}$). Les patients sont répartis en deux groupes à risque, ce qui forme deux distributions conditionnelles :

Groupe à risque faible :

Traitement standard : $10$ guéris sur $50$ patients.

Traitement nouveau : $2$ guéris sur $10$ patients.

Groupe à risque élevé :

Traitement standard : $6$ guéris sur $10$ patients.

Traitement nouveau : $25$ guéris sur $50$ patients.

Calculer le pourcentage de guérison (qui équivaut à la moyenne $\bar{y}$) pour chaque traitement au sein de chaque groupe à risque. Puis, regrouper tous les patients et calculer le pourcentage de guérison global pour chaque traitement. Quel traitement semble meilleur dans les groupes séparés et lequel semble meilleur globalement ? (Ce phénomène est connu sous le nom de paradoxe de Simpson.)