Croissance, maximums et minimums

À partir de la courbe représentative de la fonction $f(x)$ ci-dessous, déterminer les intervalles sur lesquels la fonction est strictement croissante et ceux sur lesquels elle est strictement décroissante.

Dessiner sur votre cahier la courbe d'une fonction continue dont l'ensemble de définition est $\mathbb{R}$ tout entier, strictement croissante sur les intervalles $]-\infty\,;\,-2[$ et $]3\,;\,+\infty[$, et strictement décroissante sur l'intervalle $]-2\,;\,3[$. D'après votre dessin, quel type d'extremum local (maximum ou minimum) y aura-t-il aux abscisses $x = -2$ et $x = 3$ ?

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Observer la courbe représentative de la fonction $g(x)$ et lire les coordonnées exactes des points A, B et C. Indiquer pour chacun d'eux s'il s'agit d'un maximum ou d'un minimum local. Y a-t-il un extremum qui soit aussi global sur l'intervalle représenté ?

Le graphique suivant représente le nombre mensuel d'abonnés $S(t)$ (en milliers) d'un magazine numérique au cours de sa première année d'existence ($t$ en mois, de $t=0$ à $t=12$). Identifier les intervalles sur lesquels le nombre d'abonnés augmente et diminue. À quels mois les maximums et minimums locaux sont-ils atteints ?

Représenter sur votre cahier l'allure d'une fonction continue $f(x)$ vérifiant simultanément toutes les conditions suivantes :

• Son ensemble de définition est l'intervalle $[-5 ; 6]$.

• Son ensemble image est l'intervalle $[-2 ; 5]$.

• Elle est strictement croissante sur $[-5 ; -1] \cup [3 ; 6]$ et strictement décroissante sur $[-1 ; 3]$.

• Elle passe par les points $(-1 ; 5)$ et $(3 ; -2)$.

Que représentent mathématiquement les points $(-1 ; 5)$ et $(3 ; -2)$ sur la courbe de cette fonction ?

Calculer le taux de variation de la fonction affine $f(x) = 4x - 7$ sur l'intervalle $[-2 \,;\, 3]$. À partir du résultat obtenu, que peut-on affirmer sur le sens de variation de la fonction sur cet intervalle ?

Le tableau de valeurs suivant donne l'altitude $h$ (en mètres) d'un ballon-sonde météorologique en fonction du temps $t$ (en secondes) écoulé depuis son lancement.

Calculer le taux de variation sur les intervalles $[0\,;\,2]$ et $[4\,;\,6]$. D'après ces résultats, la fonction altitude est-elle croissante ou décroissante sur ces intervalles ?

On considère la fonction $f(x) = x^2 - 9$. Calculer le taux de variation sur l'intervalle $[-4\,;\,-1]$ et sur l'intervalle $[1\,;\,4]$. Relier le signe de chaque résultat au sens de variation (croissante ou décroissante) de la fonction sur ces deux intervalles.

Soit la fonction inverse $f(x) = \frac{12}{x}$. Calculer le taux de variation sur les intervalles $[1 ; 3]$ et $[3 ; 6]$. Vérifier que, bien que les valeurs numériques des taux de variation soient différentes sur chaque intervalle, les deux résultats justifient que la fonction est décroissante sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$.

Un randonneur relève l'altitude $h$ à laquelle il se trouve à différents moments $t$ de son parcours en montagne :

Calculer le taux de variation sur les intervalles $[0 ; 2]$, $[2 ; 4]$ et $[4 ; 5]$. À partir des signes de ces résultats, déduire à quel moment approximatif le randonneur a atteint le sommet de la première montagne qu'il a gravie et quand il a fini de descendre dans la vallée avant de remonter.

Soit la fonction du second degré $f(x) = -3x^2 + 12x - 5$. Sans la représenter graphiquement ni calculer les coordonnées du sommet, indiquer si le sommet de la parabole correspond à un maximum ou à un minimum. Justifier en s'appuyant sur le signe des coefficients de la fonction.

Marc étudie la fonction du second degré $f(x) = x^2 - 6x + 5$, qui donne la hauteur en mètres d'un skateur dans un bowl en fonction de sa position horizontale $x$. Après ses calculs, Marc trouve que les coordonnées du sommet sont $(3\,;\,-4)$ et écrit dans son cahier la conclusion suivante : « Comme les branches sont tournées vers le haut, la fonction admet un minimum local de valeur $x = 3$. Donc la fonction est décroissante sur l'intervalle $]-\infty\,;\,-4[$ et croissante sur $]-4\,;\,+\infty[$ ». Identifier les deux erreurs conceptuelles commises par Marc dans l'interprétation des coordonnées du sommet, expliquer en détail pourquoi ces confusions sont fréquentes, puis rédiger la réponse correcte en indiquant la valeur du minimum et les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

D'après les relevés d'une station météorologique de Météo-France en montagne, la température $T$ (en degrés Celsius) au cours d'une matinée est donnée par le modèle $T(t) = -0,2t^2 + 2,4t + 3$, où $t$ est le temps en heures écoulé depuis 6 h ($t = 0$) jusqu'à 12 h ($t = 6$). a) Sans calculer de valeurs précises pour l'instant, observer la forme de la parabole et son sommet : le taux de variation $\text{TVM}[0\,;\,2]$ (de 6 h à 8 h) sera-t-il à votre avis supérieur, égal ou inférieur à $\text{TVM}[4\,;\,6]$ (de 10 h à 12 h) ? Justifier qualitativement votre prévision, physiquement et graphiquement. b) Calculer exactement les deux taux de variation, en interprétant leurs unités ($^\circ\text{C}/\text{h}$), et vérifier si votre estimation initiale était correcte.

La hauteur $h$ (en mètres) atteinte par une fusée de fête foraine en fonction du temps $t$ (en secondes) écoulé depuis son lancement est donnée par l'expression $h(t) = -5t^2 + 40t + 2$. Déterminer à quel instant la fusée atteint sa hauteur maximale et quelle est la valeur exacte de cette hauteur.

Le nombre d'individus $N$ d'une population d'insectes dans une expérience de laboratoire varie en fonction du nombre de jours $t$ écoulés selon le modèle du second degré $N(t) = 3t^2 - 24t + 150$, valable pour $t \ge 0$. Déterminer à quel jour la population d'insectes atteint son minimum et combien d'individus compte la population à cet instant précis.

Déterminer, en justifiant, l'expression d'une fonction polynôme du second degré $f(x) = ax^2 + bx + c$ vérifiant simultanément trois conditions : 1) elle admet un extremum global au point $V(2 ; 5)$ ; 2) elle est strictement croissante sur l'intervalle $]-\infty ; 2[$ et strictement décroissante sur $]2 ; +\infty[$ ; 3) sa courbe coupe l'axe des ordonnées au point $(0 ; 1)$. Justifier comment vous déduisez le signe du coefficient dominant $a$, comment vous utilisez la formule des coordonnées du sommet ou la forme canonique de la parabole pour établir les équations nécessaires, puis déterminer les valeurs exactes des coefficients $a$, $b$ et $c$.

La consommation de carburant $C(v)$ (en litres aux $100\text{ km}$) d'une voiture roulant sur autoroute à vitesse constante $v$ (en $\text{km}/\text{h}$, pour $60 \le v \le 140$) est modélisée par la fonction du second degré $C(v) = 0,001v^2 - 0,18v + 12,6$. a) Modéliser la conduite la plus économique : calculer à quelle vitesse de croisière la consommation de carburant est minimale et quelle est la valeur exacte de cette consommation minimale. b) À partir des intervalles de croissance et de décroissance, justifier pourquoi rouler à $120\text{ km}/\text{h}$ consomme plus que rouler à $90\text{ km}/\text{h}$. Calculer le taux de variation $\text{TVM}[90, 120]$ et interpréter sa signification concrète en expliquant combien de litres supplémentaires la voiture consomme pour chaque $\text{km}/\text{h}$ au-delà de la vitesse optimale sur ce tronçon.

On dispose de $60$ mètres de grillage pour clôturer un potager rectangulaire en s'appuyant sur le mur droit d'une grange, de sorte qu'il suffit de clôturer trois côtés. En notant $x$ la longueur des deux côtés perpendiculaires au mur de la grange, déterminer la fonction du second degré $A(x)$ qui exprime l'aire du potager en fonction de $x$. Quelles doivent être les dimensions exactes du potager pour que son aire soit maximale ?

Le bénéfice $B(x)$, en euros, réalisé par une usine pour la vente de $x$ unités d'un produit exclusif est donné par la fonction du second degré de paramètres $B(x) = -ax^2 + bx - 500$. Une étude de marché montre que le bénéfice maximal est atteint pour exactement $40$ unités vendues et que ce bénéfice maximal est de $1100$ €. Écrire un système d'équations et calculer les valeurs des paramètres $a$ et $b$.

La consommation d'énergie $C(v)$ (en kWh pour 100 km) d'un nouveau véhicule électrique en fonction de sa vitesse constante $v$ (en km/h) peut être modélisée approximativement par l'expression du second degré $C(v) = 0,02v^2 - 1,6v + 45$, valable pour des vitesses comprises entre $20$ et $100$ km/h. À quelle vitesse exacte le véhicule doit-il rouler pour que la consommation d'énergie soit minimale ? Quelle est cette consommation minimale ?

La température d'un four industriel est initialement de $20 \ ^\circ\text{C}$. Pendant les $15$ premières minutes, elle augmente de façon régulière jusqu'à atteindre $220 \ ^\circ\text{C}$. Elle reste constante à cette température pendant $45$ minutes pour cuire des pièces, puis le four est éteint et la température diminue régulièrement jusqu'à $20 \ ^\circ\text{C}$ en $30$ minutes. Indiquer les intervalles de temps sur lesquels la température est croissante, décroissante et constante, ainsi que la valeur du maximum global atteint par la fonction.

On considère la fonction $f(x)$ définie par morceaux de la façon suivante :

$f(x) = \begin{cases} -2x + 6 & \text{si } x < 2 \\ x^2 - 8x + 14 & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$

Déterminer les coordonnées du sommet de la partie parabolique et déterminer si la fonction admet un minimum local ou global sur tout son ensemble de définition.

La courbe ci-contre représente la vitesse $v$ (en km/h) d'un véhicule au cours d'un trajet en fonction du temps $t$ (en minutes). Indiquer les intervalles de temps pendant lesquels le véhicule accélère (vitesse croissante), freine (vitesse décroissante) ou garde une vitesse constante. Quelle est la vitesse maximale atteinte au cours du trajet et pendant combien de temps est-elle maintenue ?

On considère la fonction définie avec une valeur absolue $f(x) = |x^2 - 6x + 5|$. Sachant que la parabole intérieure $y = x^2 - 6x + 5$ coupe l'axe des abscisses en $x=1$ et $x=5$, exprimer $f(x)$ comme une fonction définie par morceaux sans utiliser le symbole de valeur absolue. Ensuite, déterminer les coordonnées des trois extremums locaux de $f(x)$ et indiquer ses intervalles de monotonie.

On considère la fonction définie par morceaux : $f(x) = 3 - x^2$ si $x \le 1$, et $f(x) = 4x - 2$ si $x > 1$. Deux élèves discutent pour savoir s'il existe un extremum local au point de raccord $x = 1$ : Serge calcule les sommets de chaque morceau séparément ; comme le premier morceau a son sommet en $x = 0$ et que le second est une droite sans sommet, il affirme qu'en $x = 1$ il ne peut y avoir aucun extremum. Chloé propose de vérifier d'abord si la fonction est continue en $x = 1$, puis d'analyser le sens de variation immédiatement à gauche et à droite de $x = 1$. a) Laquelle des deux méthodes est mathématiquement rigoureuse ? Expliquer précisément l'erreur de la méthode de Serge à partir de la définition d'un extremum local sur un voisinage. b) Appliquer la méthode valable pour déterminer, en justifiant, ce qui se passe en $x = 1$ (maximum local, minimum local ou aucun des deux).

Concevoir l'expression complète d'une fonction définie par morceaux $g(x)$, continue sur $\mathbb{R}$ tout entier, formée exclusivement de deux droites (fonctions affines) de la forme : $g(x) = m_1 x + n_1$ si $x < 3$, et $g(x) = m_2 x + n_2$ si $x \ge 3$, vérifiant à la fois les trois conditions suivantes : 1) En $x = 3$, la fonction atteint un maximum local de valeur $g(3) = 4$. 2) Le taux de variation sur l'intervalle $[-1 ; 3]$ est exactement $2$. 3) À droite de $x = 3$, la fonction décroît deux fois plus vite qu'elle ne croît à gauche. Calculer en justifiant les coefficients $m_1$, $n_1$, $m_2$ et $n_2$. Enfin, expliquer pourquoi un maximum local apparaît en $x = 3$ bien qu'aucune fonction linéaire ou affine ne possède d'extremum local par elle-même.

Soit la fonction rationnelle dépendant d'un paramètre inconnu $f(x) = \frac{k}{x+2}$. Déterminer la valeur exacte de $k$ sachant que le taux de variation de la fonction sur l'intervalle $[0\ ;\ 2]$ est égal à $-1$. Une fois la valeur de $k$ trouvée, justifier algébriquement si la fonction est croissante ou décroissante sur tout l'intervalle $]-2\ ;\ +\infty[$.

Deux bateaux de sauvetage partent du même point en haute mer en même temps. Le bateau A se déplace en ligne droite vers le nord à une vitesse constante de $20$ km/h, et le bateau B se déplace vers l'est à une vitesse constante de $15$ km/h. Le carré de la distance entre les deux bateaux en fonction du temps $t$ (en heures) est donné par la fonction $D(t) = (20t)^2 + (15t)^2$. Démontrer algébriquement que la distance réelle qui les sépare est une fonction strictement croissante pour tout temps $t > 0$, en calculant le taux de variation générique sur un intervalle $[t_1, t_2]$ (avec $0 < t_1 < t_2$).

La courbe suivante représente une fonction polynôme de degré 4, $f(x)$, dont l'allure est en « W ». À partir de l'observation de la courbe, estimer les coordonnées de ses extremums locaux (maximums et minimums). Ensuite, sachant que la fonction est parfaitement symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (c'est une fonction paire), raisonner et démontrer si le taux de variation sur l'intervalle symétrique $[-3, 3]$ est positif, négatif ou nul.

La courbe ci-contre ne représente pas une fonction $f(x)$ ordinaire, mais la valeur de son taux de variation instantané (ou vitesse de variation) en chaque point $x$. Autrement dit, si la courbe représentée est au-dessus de l'axe des abscisses, la fonction d'origine $f(x)$ est croissante ; si elle est en dessous, elle est décroissante. À partir de cette courbe, déduire sur quels intervalles la fonction d'origine $f(x)$ est croissante et décroissante. Pour quelle valeur exacte de $x$ la fonction $f(x)$ admet-elle un extremum local ? Justifier s'il s'agit d'un maximum ou d'un minimum.