Fonctions inverses : k/x

Identifier dans le tableau suivant si les grandeurs $x$ et $y$ sont inversement proportionnelles et, si oui, déterminer la constante de proportionnalité $k$ et écrire la fonction qui les relie.

• $x$ : 1, 2, 3, 4, 6

• $y$ : 24, 12, 8, 6, 4

Étant donnée la fonction inverse $y = \frac{18}{x}$, calculer la valeur de $y$ pour $x = 3$, $x = -9$ et $x = 0,5$.

Un gain de loto de $300$ € doit être partagé à parts égales entre un groupe de $x$ amis. Écrire l'expression de la fonction qui relie la somme reçue par chacun au nombre d'amis et calculer la somme reçue s'ils sont $6$.

Déterminer l'ensemble de définition, l'ensemble image et les équations des asymptotes de la fonction $y = \frac{-8}{x}$.

Associer chacune des fonctions suivantes à la description des cadrans dans lesquels se situent ses branches lorsqu'on la représente graphiquement :

1. a) $y = \frac{5}{x}$
2. b) $y = \frac{-2}{x}$
3. c) $y = \frac{0,1}{x}$

Descriptions :

1. Branches situées dans le premier et le troisième quadrant.

2. Branches situées dans le deuxième et le quatrième quadrant.

Observer la courbe suivante d'une fonction inverse et déterminer sa constante $k$ et son expression $y = \frac{k}{x}$.

Lucie étudie le sens de variation de la fonction $f(x) = \frac{8}{x}$. Elle sait que la constante est $k = 8 > 0$ et son professeur a expliqué en classe que les fonctions avec $k > 0$ sont décroissantes. Pour le vérifier empiriquement, elle prend deux valeurs de la variable : $x_1 = -2$ et $x_2 = 4$. En calculant leurs images, elle obtient $f(-2) = -4$ et $f(4) = 2$. Surprise, elle constate que $-2 < 4$ et pourtant $f(-2) < f(4)$, et conclut que « la théorie est fausse, car en avançant vers la droite la fonction est montée ». Identifier et expliquer précisément l'erreur conceptuelle de Lucie, préciser pourquoi son exemple ne contredit pas la théorie et rédiger comment doit s'énoncer de façon mathématiquement rigoureuse la décroissance de $f(x)$.

La résistance électrique $R$ (en ohms, $\Omega$) d'un fil conducteur de longueur constante est inversement proportionnelle à l'aire de sa section $S$ (en mm$^2$). Si pour une section de $2 \text{ mm}^2$ la résistance est de $0,02\ \Omega$, exprimer $R$ en fonction de $S$. Quelle doit être la section minimale du fil pour que la résistance soit inférieure ou égale à $0,01\ \Omega$ ?

Indiquer quelles sont les équations des asymptotes verticale et horizontale de l'hyperbole d'expression $y = \frac{5}{x-4} + 3$.

Déterminer l'ensemble de définition de la fonction rationnelle $y = \frac{7}{x+5}$.

La courbe de la fonction $y = \frac{8}{x}$ est translatée dans le plan muni d'un repère de $4$ unités vers la gauche et de $3$ unités vers le bas. Écrire l'expression de la nouvelle fonction, déterminer son ensemble de définition et déterminer les coordonnées du point d'intersection de ses asymptotes.

Déterminer par le calcul les points d'intersection avec les axes de coordonnées de la fonction rationnelle $y = \frac{10}{x-2} + 5$.

Déterminer l'expression d'une fonction inverse translatée, de la forme $g(x) = \frac{k}{x-h} + v$, sachant qu'elle vérifie simultanément ces deux conditions : son centre de symétrie est le point $(-2\,;\,3)$ et sa courbe passe par le point $(1\,;\,2)$. À partir de la fonction obtenue :

1. a) Déterminer la valeur numérique des constantes $k$, $h$ et $v$.
2. b) Écrire les équations de ses asymptotes verticale et horizontale, et indiquer son ensemble de définition et son ensemble image en justifiant quelle valeur est exclue dans chaque cas.
3. c) Justifier, à partir du signe de la constante $k$, si les branches de la courbe sont croissantes ou décroissantes sur chaque intervalle de son ensemble de définition.

Écrire l'équation d'une hyperbole de la forme $y = \frac{k}{x-a} + b$ sachant que ses asymptotes sont les droites $x = -2$ et $y = 4$, et que sa courbe passe par le point $(0\ ;\ 5)$.

À partir de la courbe de cette hyperbole translatée, déterminer les équations de ses asymptotes, les coordonnées de son centre de symétrie et en déduire son expression algébrique de la forme $y = \frac{k}{x-a} + b$.

Exprimer la fonction rationnelle $y = \frac{2x+7}{x+3}$ sous la forme $y = \frac{k}{x-a} + b$ en effectuant la division de polynômes. Indiquer ensuite les équations de ses asymptotes et les coordonnées de son centre de symétrie.

Une hyperbole de la forme $y = \frac{k}{x-a} + b$ a son centre de symétrie au point $(-1\,;\,3)$ et coupe l'axe des abscisses en $x = 1$. Déterminer son expression algébrique et calculer le point d'intersection avec l'axe des ordonnées.

On souhaite reconstruire analytiquement une hyperbole translatée $g(x) = \frac{k}{x - h} + v$ à partir d'une série de conditions géométriques et analytiques :

1. Sa courbe coupe l'axe des abscisses au point $(6 ; 0)$.

2. Le centre de symétrie de la courbe est le point $(4 ; -2)$.

3. Sa courbe coupe l'axe des ordonnées au point $(0 ; -3)$.

1. a) Déterminer en justifiant les valeurs numériques des paramètres $h$, $v$ et de la constante $k$.
2. b) Vérifier algébriquement la condition 1 : poser l'équation $g(x) = 0$ avec les valeurs obtenues et la résoudre pour vérifier que sa solution est $x = 6$.
3. c) Sachant que le centre de symétrie est $(h ; v)$, calculer les coordonnées du point de la courbe symétrique, par rapport à ce centre, du point d'intersection avec l'axe $Y$, $(0 ; -3)$, et vérifier analytiquement que ce point symétrique satisfait l'équation de $g(x)$.

Déterminer analytiquement les points d'intersection entre l'hyperbole $y = \frac{-4}{x-1}$ et la droite $y = -x + 4$.

Déterminer la valeur de la constante $k$ pour que l'hyperbole $y = \frac{k}{x}$ soit tangente à la droite $y = -x + 6$ (c'est-à-dire pour qu'elles se coupent en un unique point).

Déterminer l'ensemble de définition, l'ensemble image, les asymptotes et les points d'intersection avec les axes de la fonction $y = \frac{-3}{x+2} - 4$. Indiquer aussi ses intervalles de croissance et de décroissance.

On vous demande de représenter et d'analyser en détail la fonction homographique $f(x) = \frac{3x - 1}{x - 2}$ en identifiant ses asymptotes, son centre de symétrie et son sens de variation. Deux camarades proposent des méthodes différentes :

• Méthode 1 (Marcos) : Construire un tableau de 10 valeurs de $x$ très grandes (positives et négatives) et plusieurs très proches de $x = 2$, pour deviner graphiquement par où passent les droites dont la courbe se rapproche.

• Méthode 2 (Sarah) : Effectuer la division polynomiale du numérateur par le dénominateur pour exprimer la fonction sous la forme canonique $f(x) = \frac{k}{x-h} + v$, et en déduire directement ses propriétés à partir des transformations géométriques.

1. a) Développer la méthode 2 : effectuer la division algébrique de $(3x - 1)$ par $(x - 2)$ et écrire $f(x)$ sous la forme $\frac{k}{x-h} + v$.
2. b) À partir de l'expression canonique obtenue, indiquer en justifiant les équations des deux asymptotes, les coordonnées exactes du centre de symétrie et en déduire si la fonction est croissante ou décroissante sur chacune de ses deux branches.
3. c) Évaluer de façon critique les deux méthodes : expliquer pourquoi la méthode algébrique de Sarah est supérieure à la méthode numérique de Marcos pour éviter les erreurs d'approximation et déduire avec certitude analytique le comportement asymptotique.

Pour parcourir une distance fixe de $120$ km, le temps $t$ mis (en heures) et la vitesse moyenne $v$ (en km/h) sont des grandeurs inversement proportionnelles. Écrire la fonction $v(t)$ et calculer à quelle vitesse constante doit rouler une voiture pour mettre exactement $2,5$ heures pour effectuer le trajet.

Pour remplir une piscine, $4$ robinets de même débit mettent $9$ heures. Écrire la fonction qui relie le temps de remplissage $t$ (en heures) au nombre de robinets ouverts $n$. Combien de temps mettraient $6$ robinets pour remplir la même piscine ?

Selon la loi de Boyle-Mariotte, à température constante, la pression $P$ d'un gaz et son volume $V$ sont des grandeurs inversement proportionnelles ($P \cdot V = k$). Si un certain gaz occupe un volume de $20$ litres à une pression de $1,5$ atmosphères, écrire la fonction $V(P)$ et calculer le volume qu'il occupera à $3$ atmosphères.

Un groupe de personnes loue un court de padel pour $24$ €. Écrire la fonction $C(x)$ qui exprime le coût par personne en fonction du nombre de joueurs $x$. Si le coût final a été de $6$ € par personne, combien de joueurs ont loué le court ? Quel est l'ensemble de définition pertinent de cette fonction compte tenu du contexte du problème ?

Un groupe de 20 élèves de seconde de Bordeaux organise un voyage de fin d'année et réserve un autocar pour un prix forfaitaire de $1\,200\text{ \euro}$, à partager à parts égales entre les participants. Avant de confirmer la réservation, la direction de l'établissement autorise l'ouverture des inscriptions à davantage d'élèves.

1. a) Avant de faire le moindre calcul exact : si le nombre de participants passe de 20 à 30 élèves (une augmentation de $50\text{ \%}$), le coût individuel sera-t-il égal à la moitié, à plus de la moitié ou à moins de la moitié du prix initial ? Effectuer une estimation qualitative et justifier la réponse en s'appuyant sur la relation entre les grandeurs.
2. b) Modéliser la fonction $P(x) = \frac{k}{x}$ qui exprime le prix par élève en fonction du nombre total de participants $x$. Calculer le montant individuel pour $x = 20$ et pour $x = 30$, calculer le pourcentage de réduction réel dont bénéficie chaque billet et vérifier si l'estimation initiale était juste.
3. c) Si l'autocar a une capacité maximale de 55 places, quel est le prix minimal possible par personne ? Pourrait-il devenir égal à $0\text{ \euro}$ si une infinité d'élèves voyageaient ? Interpréter cette limite à l'aide de l'asymptote horizontale de la fonction.

Sur un tronçon de travaux de $30\text{ km}$ d'une autoroute de la région Centre-Val de Loire, la Sécurité routière établit des restrictions temporaires. Le temps $t$ (en heures) nécessaire pour parcourir ce tronçon dépend de la vitesse moyenne $v$ (en $\text{km/h}$) à laquelle circule un véhicule selon la relation $t(v) = \frac{30}{v}$.

1. a) Justifier pourquoi $t$ et $v$ sont des grandeurs inversement proportionnelles et indiquer les unités et la signification physique de la constante $k = 30$.
2. b) Étudier les asymptotes de la fonction dans le contexte de ce trajet : quelle serait la signification physique d'une approche de l'asymptote verticale $v = 0$ ? Et de l'asymptote horizontale $t = 0$ ? Expliquer s'il est physiquement possible d'atteindre l'une des deux.
3. c) Un conducteur affirme : « Si je baisse ma vitesse de $120\text{ km/h}$ à $60\text{ km/h}$, le temps que je perds est exactement le même que si je baisse de $60\text{ km/h}$ à $30\text{ km/h}$, car dans les deux cas j'ai réduit la vitesse de moitié. » Démontrer de façon quantitative si son affirmation est vraie ou fausse en calculant les minutes de retard dans chaque cas, et expliquer quelle propriété de l'hyperbole fait que les pertes de temps ne sont pas égales.

Une usine de composants électroniques a des frais fixes quotidiens de $500$ € pour mettre en marche les machines, et produire chaque unité coûte $2$ €. Écrire la fonction du coût moyen par unité $C_m(x)$ en fonction du nombre d'unités $x$ fabriquées par jour. Déterminer ses asymptotes et interpréter la signification de l'asymptote horizontale dans le contexte du problème.

La distance focale d'une lentille mince convergente est de $20$ cm. La relation entre la distance de l'objet à la lentille $s_o$ et la distance de l'image $s_i$ est donnée par l'équation $\frac{1}{20} = \frac{1}{s_o} + \frac{1}{s_i}$. Exprimer $s_i$ en fonction de $s_o$. Que se passe-t-il pour la distance de l'image lorsque l'objet se rapproche de $20$ cm de la lentille par la droite ?