Fonctions affines et fonctions linéaires

Identifier le coefficient directeur $m$ et l'ordonnée à l'origine $n$ des fonctions affines suivantes :

1. a) $y = -4x + 7$
2. b) $y = \frac{2}{5}x$
3. c) $y = -3$

Classer les fonctions suivantes en fonction linéaire (proportionnalité), fonction affine ou fonction constante :

1. a) $f(x) = 3x - 1$
2. b) $g(x) = \frac{x}{4}$
3. c) $h(x) = 8$

Écrire l'équation de la droite de coefficient directeur $5$ et d'ordonnée à l'origine $-2$.

Vérifier par le calcul si les points $A(2 ; 5)$ et $B(-1 ; -3)$ appartiennent à la courbe représentative de la fonction $y = 2x + 1$.

Le tarif d'un taxi est donné par la fonction $C(x) = 1,50x + 3$, où $C(x)$ est le coût en euros et $x$ la distance parcourue en kilomètres. Combien coûtera un trajet de $8$ kilomètres ?

Déterminer la valeur du paramètre $k$ pour que la droite d'équation $y = kx + 5$ passe par le point $(3\,;\,-4)$.

Marc a la fonction affine $f(x) = 3x + 4$ et doit calculer l'image de $x = 10$. Comme il sait que $f(5) = 3 \cdot 5 + 4 = 19$, il raisonne ainsi : « Puisque $10$ est le double de $5$, la valeur de $f(10)$ doit être exactement le double de $19$, c'est-à-dire $f(10) = 38$ ».\na) Identifier l'erreur de raisonnement de Marc et expliquer pourquoi il n'est pas valable d'appliquer un produit en croix pour ce type de fonctions.\nb) Quelle valeur devrait avoir l'ordonnée à l'origine $n$ pour que le raisonnement de Marc ait été tout à fait correct ?\nc) Calculer la valeur réelle de $f(10)$ à l'aide de la formule et vérifier algébriquement de combien d'unités augmente en réalité la valeur de $y$ lorsque $x$ augmente de $5$ unités.

Calculer les coordonnées des points d'intersection de la droite $y = 3x - 12$ avec les axes du repère (axe des abscisses et axe des ordonnées).

Calculer l'aire du triangle formé par la droite $y = -\frac{3}{4}x + 3$ et les axes du repère dans le premier quadrant.

Déterminer l'équation de la droite passant par le point $(0 ; 5)$ et formant avec les axes du repère un triangle rectangle d'aire $10$ unités d'aire dans le premier quadrant.

Déterminer l'équation de la droite de coefficient directeur $m = -2$ passant par le point $(1 ; 4)$.

À partir de la représentation graphique suivante, déterminer le coefficient directeur, l'ordonnée à l'origine et l'équation de la droite.

Déterminer l'équation de la droite passant par les points $A(-2 ; 5)$ et $B(4 ; -7)$.

Déterminer l'équation de la droite parallèle à $y = 3x - 2$ et passant par le point $(-1 ; 4)$.

Déterminer par le calcul le point d'intersection des droites $y = 4x - 5$ et $y = -2x + 7$. Vérifier que le résultat coïncide avec le point indiqué sur le graphique suivant.

La droite $r$ passe par les points $(1 ; 2)$ et $(3 ; 8)$. La droite $s$ est parallèle à $r$ et son ordonnée à l'origine est la moitié de celle de $r$. Déterminer l'équation de la droite $s$.

Étant données les droites $y = (2m - 1)x + 5$ et $y = 3x - n$, déterminer les valeurs des paramètres $m$ et $n$ pour que les deux équations représentent exactement la même droite (droites confondues).

Déterminer les valeurs de $a$ et $b$ pour que la droite $y = ax + b$ vérifie simultanément deux conditions : être parallèle à la droite $y = \frac{1}{2}x$ et passer par le point d'intersection des droites $y = 2x - 4$ et $y = -x + 5$.

On dispose du tableau de valeurs expérimentales suivant, correspondant à une fonction inconnue $f(x)$ :\n$x$ : $-3$, $1$, $3$, $7$\n$y$ : $14$, $6$, $2$, $-6$\n\nPour savoir si ce tableau peut être décrit par une fonction du premier degré et en trouver la formule, deux élèves proposent des stratégies différentes :\n- Méthode de Lucie : elle pose un système de deux équations d'inconnues $m$ et $n$ à partir des deux premières colonnes. Puis elle remplace les valeurs de $x$ des deux autres colonnes pour vérifier si les valeurs de $y$ coïncident.\n- Méthode de David : il calcule le quotient $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ entre chaque colonne et la suivante ; si tous donnent le même résultat, il affirme que la fonction est polynomiale du premier degré, prend cette valeur comme coefficient directeur $m$ et détermine $n$ avec un point quelconque.\n\na) Comparer les deux méthodes et justifier laquelle permet d'écarter le plus tôt l'hypothèse d'une fonction du premier degré si l'une des colonnes contient une erreur de mesure.\nb) Utiliser la méthode jugée la plus efficace pour démontrer si les données correspondent à une droite. Si c'est le cas, la classer en justifiant (linéaire ou affine) et déterminer sa formule $f(x) = mx + n$.\nc) Sans calculer explicitement la valeur de $x$, déterminer a priori, en justifiant, si l'antécédent de $-100$ sera un nombre positif ou négatif, à partir des propriétés de la fonction obtenue. Puis le calculer exactement.

On cherche une fonction polynôme du premier degré $f(x) = mx + n$ vérifiant simultanément trois conditions :\n1. C'est une fonction affine décroissante.\n2. Sa courbe coupe l'axe des ordonnées $Y$ en un point situé à $4$ unités en dessous de l'origine du repère.\n3. L'antécédent de $2$ est égal à $-3$.\na) Déterminer, en justifiant, les valeurs exactes du coefficient directeur $m$ et de l'ordonnée à l'origine $n$, et écrire l'expression algébrique de $f(x)$.\nb) Justifier, à partir du signe du coefficient directeur, pourquoi la fonction est décroissante.\nc) Vérifier algébriquement si le point $Q(-6 ; 8)$ appartient à la courbe représentative de cette fonction.

On considère la famille de fonctions $f_k(x) = (2k - 4)x + (3k + 6)$, où $k$ est un paramètre réel fixé dans chaque cas.\na) Déterminer la valeur de $k$ pour laquelle la fonction est constante. Écrire son équation et décrire la position géométrique de sa courbe par rapport aux axes du repère.\nb) Déterminer la valeur de $k$ qui fait de $f_k$ une fonction linéaire (proportionnalité). Quelle est alors la valeur de son coefficient directeur ?\nc) Déterminer par le calcul s'il existe une valeur de $k$ telle que la droite passe par le point $A(2 ; 4)$ et que, en même temps, la fonction obtenue soit strictement croissante. Justifier rigoureusement la conclusion.\nd) Pour $k = 1$, déterminer les points d'intersection de la droite avec les axes du repère et calculer l'aire du triangle que cette droite délimite avec les axes.

Un plombier facture $30$ € de déplacement à domicile, plus $15$ € par heure de travail. Écrire l'expression algébrique de la fonction qui relie le coût au temps de travail et calculer combien il facturera pour une réparation de $3,5$ heures.

Un réservoir d'eau contient initialement $800$ litres et se vide à un rythme constant de $20$ litres par minute. Écrire la fonction qui relie le volume d'eau dans le réservoir au temps écoulé et calculer à quelle minute le réservoir sera complètement vide.

La relation entre la température en degrés Celsius ($^\circ C$) et en degrés Fahrenheit ($^\circ F$) est affine. On sait que l'eau gèle à $0^\circ C$, ce qui équivaut à $32^\circ F$, et bout à $100^\circ C$, ce qui équivaut à $212^\circ F$. Déterminer la fonction affine qui permet de convertir les degrés Celsius ($x$) en degrés Fahrenheit ($y$).

Le tarif d'un service de taxi urbain dans une grande ville française se compose d'une « prise en charge » fixe de $1,80$ € dès le début de la course et d'un coût de $1,15$ € par kilomètre parcouru.\na) Écrire l'expression de la fonction $C(x)$ qui donne le coût total du trajet en euros en fonction du nombre $x$ de kilomètres parcourus. Justifier s'il s'agit d'une fonction linéaire, affine ou constante, et interpréter ce que représentent le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine dans le contexte du problème.\nb) Un client affirme : « Si je fais un trajet de $18$ km, je paierai exactement le triple d'un trajet de $6$ km ». Justifier mathématiquement si cette affirmation est vraie ou fausse en calculant les deux montants.\nc) Si une personne dispose d'un budget maximal de $20$ €, poser et résoudre une équation ou une inéquation pour déterminer combien de kilomètres complets (nombre entier) elle peut parcourir au maximum.

Selon les mesures de Météo-France dans la troposphère, la température diminue de façon uniforme d'environ $0,65$ °C par tranche de $100$ m d'augmentation d'altitude. À Chamonix, village situé à $1200$ m d'altitude, le thermomètre indique $17$ °C à midi.\na) Avant de poser la moindre équation, estimer mentalement la température approximative au col de Voza ($1860$ m d'altitude) : sera-t-elle plus proche de $12$ °C ou de $15$ °C ? Expliquer le raisonnement en arrondissant la différence d'altitude à la centaine.\nb) Modéliser la température par une fonction affine $T(h) = mh + n$, où $h$ est l'altitude en mètres. Déterminer, en justifiant, la valeur du coefficient directeur $m$ (en °C/m) et celle de l'ordonnée à l'origine $n$.\nc) Calculer avec la fonction la valeur exacte de la température au col de Voza et la comparer à l'estimation initiale pour juger si celle-ci était correcte.

Une usine de baskets a des coûts fixes mensuels de $5000$ €. De plus, produire chaque paire de baskets coûte $15$ €. Si l'entreprise vend chaque paire $40$ €, écrire les fonctions de coût $C(x)$ et de recette $R(x)$. Combien de paires de baskets doit-elle vendre par mois pour réaliser un bénéfice d'au moins $2000$ € ?

Un parking facture $2,50$ € la première heure (toute heure commencée est due). Après la première heure, il facture $0,05$ € par minute supplémentaire. Écrire la fonction définie par morceaux $C(t)$ qui représente le coût total en euros en fonction du temps $t$, en minutes, pendant lequel un véhicule est stationné.

La longueur $L$ d'un ressort élastique, mesurée en centimètres, est donnée par la fonction $L(p) = 15 + 0,2p$, où $p$ est la masse suspendue en grammes. Déterminer l'expression de la fonction réciproque $p(L)$ et l'utiliser pour calculer quelle masse a été suspendue si le ressort mesure exactement $22$ cm.

Le graphique suivant montre la distance à laquelle se trouve un cycliste de sa maison en fonction du temps. Déterminer l'expression définie par morceaux de la fonction $d(t)$ et calculer la vitesse constante du cycliste pendant le trajet de retour.