Propriétés des radicaux et rationalisation

Extraire tous les facteurs possibles des radicaux suivants :

1. a) $\sqrt{72}$
2. b) $\sqrt[3]{250}$

Introduire les facteurs entiers dans le radical et simplifier si possible :

1. a) $3 \sqrt{5}$
2. b) $2 \sqrt[4]{3}$

Effectuer les multiplications de radicaux de même indice suivantes et extraire des facteurs si possible :

1. a) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}$
2. b) $\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{10}$

Effectuer les additions et soustractions de radicaux semblables suivantes :

1. a) $5\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 4\sqrt{3}$
2. b) $\frac{1}{2}\sqrt{7} + \frac{3}{2}\sqrt{7} - \sqrt{7}$

On considère l'expression avec radicaux $E = \sqrt{75} - \sqrt{12}$.

1. a) Estimer : sans utiliser la calculatrice ni extraire de facteurs, encadrer $\sqrt{75}$ entre deux entiers consécutifs en repérant les carrés parfaits qui l'entourent. Faire de même avec $\sqrt{12}$. À l'aide de ces deux encadrements, estimer de façon argumentée entre quels deux entiers se trouve la valeur de $E$.
2. b) Calculer : décomposer les radicandes $75$ et $12$ en facteurs premiers, extraire tous les facteurs possibles pour exprimer les deux termes comme des radicaux semblables et effectuer la soustraction, en laissant le résultat exact sous la forme $k\sqrt{3}$ avec $k \in \mathbb{N}$.
3. c) Vérifier : en prenant l'approximation $\sqrt{3} \approx 1,73$, déterminer la valeur décimale du résultat obtenu à la question b) et juger si votre estimation initiale de la question a) était correcte et cohérente.

Effectuer l'opération suivante, en extrayant d'abord les facteurs nécessaires pour que les radicaux soient semblables :

$3\sqrt{50} + 2\sqrt{18} - \sqrt{8}$

Rendre rationnel le dénominateur des fractions suivantes et simplifier le résultat :

1. a) $\frac{6}{\sqrt{3}}$
2. b) $\frac{10}{\sqrt{5}}$

Rendre rationnel le dénominateur des expressions suivantes en multipliant par la quantité conjuguée du dénominateur :

1. a) $\frac{4}{\sqrt{5}-1}$
2. b) $\frac{2}{\sqrt{3}+1}$

Rendre rationnel le dénominateur et simplifier au maximum l'expression suivante :

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$

Rendre rationnel le dénominateur de la fraction suivante et simplifier au maximum en effectuant les calculs au numérateur :

$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$

Dans un atelier de menuiserie, on va découper un panneau rectangulaire dont les dimensions exactes sont $\sqrt{12}$ dm de largeur et $\sqrt{27}$ dm de longueur. Calculer l'aire et le périmètre du panneau, en exprimant les résultats de façon exacte à l'aide de radicaux simplifiés.

Calculer la longueur exacte de la diagonale principale $D$ d'un cube dont l'arête mesure $a = \sqrt{5}$ cm. Rappel : la diagonale d'un cube se calcule par $D = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2}$. Exprimer le résultat sous la forme la plus simplifiée possible.

La façade d'une cabane a la forme d'un triangle isocèle. La base du triangle mesure $\sqrt{6}$ mètres et les deux côtés égaux mesurent $\sqrt{15}$ mètres chacun. Calculer la valeur exacte de la hauteur $h$ relative à la base et l'aire totale de la façade. Rendre rationnels les dénominateurs si des racines y apparaissent.

En physique, la vitesse $v$ d'un objet peut s'exprimer à partir de son énergie cinétique $E_c$ et de sa masse $m$ par la formule $v = \sqrt{\frac{2E_c}{m}}$. Un prototype de véhicule a une masse de $m = \sqrt{3}$ kg et une énergie cinétique de $E_c = 45$ J. Calculer la valeur exacte de sa vitesse. Rendre rationnel le dénominateur et extraire les facteurs possibles de la racine obtenue.