Valeur absolue d'un nombre réel

Calculer la valeur numérique de l'expression suivante : $|-7| - |4 - 9| + |-3|$.

Calculer la distance sur la droite réelle entre les points $A = -6$ et $B = 11$ à l'aide de la valeur absolue.

Déterminer quelles valeurs réelles de $x$ vérifient l'équation $|x| = -5$ et justifier la réponse.

Résoudre l'équation avec valeur absolue : $|3x| = 12$.

Résoudre l'équation $|x - 4| = 3$.

Lucas essaie de résoudre au tableau l'équation $|3x - 6| = -9$ et écrit le développement suivant :

$3x - 6 = -9 \Rightarrow 3x = -3 \Rightarrow x = -1$

$3x - 6 = 9 \Rightarrow 3x = 15 \Rightarrow x = 5$

Il affirme donc avec assurance que l'équation a deux solutions : $x = -1$ et $x = 5$.

1. a) Sans remplacer les valeurs obtenues dans l'équation initiale, expliquer quelle erreur conceptuelle Lucas commet dès la première étape.
2. b) Déterminer l'ensemble exact des solutions et justifier la réponse en s'appuyant sur l'interprétation géométrique de la valeur absolue comme distance.
3. c) Quelle condition le nombre situé de l'autre côté de l'égalité devrait-il vérifier pour que la méthode consistant à séparer deux cas de signes opposés soit valable ?

Exprimer l'inégalité $|x| \le 5$ sous forme d'intervalle.

Écrire l'intervalle $]-8 ; 8[$ à l'aide de la notation de valeur absolue.

Exprimer l'inégalité $|x + 2| > 4$ sous forme de réunion d'intervalles.

Une usine de roulements en acier stipule que la longueur idéale d'une pièce est de $250 \text{ mm}$. Le contrôle qualité rejette toute pièce dont la longueur diffère de la longueur idéale de plus de $1,2 \text{ mm}$. Exprimer cette condition à l'aide d'une inéquation avec valeur absolue et déterminer l'intervalle des longueurs valides.

Résoudre l'inéquation $\left| \frac{2x - 3}{4} \right| \le 1$ et représenter la solution sous forme d'intervalle.

Trouver toutes les valeurs réelles de $x$ vérifiant l'équation avec deux valeurs absolues : $|3x - 1| = |x + 5|$.

On considère l'équation avec deux valeurs absolues $|x - 1| + |x - 7| = 10$.

1. a) Interpréter géométriquement $|x - 1|$ et $|x - 7|$ comme les distances d'un nombre réel $x$ aux points $1$ et $7$ sur la droite numérique. Quelle est la valeur de la somme de ces deux distances si $x$ est situé en un point quelconque de l'intérieur du segment $[1 ; 7]$ ?
2. b) À partir du raisonnement précédent, expliquer pourquoi il est impossible qu'il existe des solutions dans l'intervalle $[1 ; 7]$ et estimer, en justifiant, en exploitant la symétrie de la droite réelle et sans calcul algébrique, quelles doivent être les deux solutions exactes de l'équation.
3. c) Résoudre l'équation de façon formelle en étudiant les trois intervalles déterminés par les points critiques $x = 1$ et $x = 7$ (ou en définissant le premier membre comme une fonction définie par morceaux) et vérifier si l'estimation initiale était correcte.

Simplifier l'expression littérale $|x - 3| + |x + 2|$ sachant que la variable $x$ appartient à l'intervalle $]-2 ; 3[$.

Démontrer, à l'aide de l'inégalité triangulaire ($|x + y| \le |x| + |y|$), que pour tous nombres réels $a$ et $b$, l'inégalité $|a - b| \ge ||a| - |b||$ est vérifiée.

Le graphique suivant représente une fonction définie par la différence de deux valeurs absolues, $f(x) = |x - a| - |x - b|$ avec $a < b$. En observant les sommets et les paliers constants sur la figure, déterminer les valeurs des paramètres $a$ et $b$, et écrire l'expression de $f(x)$ définie par morceaux sans valeur absolue.