Évolutions et pourcentages
Pendant les soldes d'hiver, un magasin de sport affiche « −30 % » puis, la semaine suivante, « −20 % supplémentaires sur le prix déjà soldé ». Sarah se dit : « Ça fait −50 % ! » A-t-elle raison ? Tu pourras répondre à la fin de cette page, et surtout le faire de tête, comme dans les automatismes.
Proportion et pourcentage
Une proportion compare une partie $n_A$ à un ensemble total $n$ : $p = \dfrac{n_A}{n}$. On l'écrit en pourcentage en multipliant par $100$.
Exemple : dans une classe de $30$ élèves, $12$ sont demi-pensionnaires. La proportion est $\dfrac{12}{30} = 0{,}4$, soit $40\,\%$.
Pour prendre un pourcentage d'une quantité, on multiplie par $\dfrac{t}{100}$ :
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$10\,\%$ de $250$ : on divise par $10$, soit $25$ ;
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$25\,\%$ de $80$ : le quart, soit $20$ ;
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$5\,\%$ de $1\,200$ : la moitié de $10\,\%$, soit $60$.
Pourcentage de pourcentage
Un lycée compte $600$ élèves, dont $40\,\%$ en seconde. Parmi eux, $25\,\%$ ont choisi l'option latin. Quelle proportion du lycée cela représente-t-il ?
Cette série comporte 6 questions. Aucune justification n'est demandée. 1. Calculer 10 % de 250 €. 2. Calculer 25 % de 80. 3. Un article coûte 40 €. Son prix baisse de 20…
Cette série comporte 6 questions. Aucune justification n'est demandée.
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Calculer 10 % de 250 €.
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Calculer 25 % de 80.
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Un article coûte 40 €. Son prix baisse de 20 %. Calculer le nouveau prix.
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Donner le coefficient multiplicateur associé à une hausse de 5 %.
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Donner le taux d'évolution associé au coefficient multiplicateur $0{,}9$.
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Dans une classe de 30 élèves, 12 sont demi-pensionnaires. Quel est le pourcentage d'élèves demi-pensionnaires ?
Cette série comporte 6 questions. Aucune justification n'est demandée. Un lycée compte 600 élèves. Parmi eux, 40 % sont en seconde. Parmi les élèves de seconde, 25 % ont…
Cette série comporte 6 questions. Aucune justification n'est demandée.
Un lycée compte 600 élèves. Parmi eux, 40 % sont en seconde. Parmi les élèves de seconde, 25 % ont choisi l'option latin.
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Calculer le nombre d'élèves de seconde.
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Calculer le nombre d'élèves de seconde ayant choisi l'option latin.
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Quel pourcentage des élèves du lycée représentent les élèves de seconde ayant choisi l'option latin ?
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Le prix d'un manteau est de 80 €. Il baisse de 15 %. Calculer son nouveau prix.
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La population d'un village passe de 2 000 à 2 300 habitants. Calculer le taux d'évolution en pourcentage.
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Après une baisse de 20 %, le prix d'un article est égal à 48 €. Calculer son prix initial.
Cette série comporte 5 questions. Aucune justification n'est demandée. Une entreprise compte 200 salariés, dont 55 % de femmes. Parmi les femmes, 20 % travaillent à…
Cette série comporte 5 questions. Aucune justification n'est demandée.
Une entreprise compte 200 salariés, dont 55 % de femmes. Parmi les femmes, 20 % travaillent à temps partiel. Parmi les hommes, 10 % travaillent à temps partiel.
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Calculer le nombre de femmes.
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Calculer le nombre de femmes travaillant à temps partiel.
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Calculer le nombre d'hommes travaillant à temps partiel.
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Calculer le pourcentage de salariés de l'entreprise travaillant à temps partiel.
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L'année suivante, l'effectif augmente de 10 %. Calculer le nouvel effectif.
Taux d'évolution et coefficient multiplicateur
Quand une quantité passe d'une valeur initiale $V_i$ à une valeur finale $V_f$, le taux d'évolution est
$$t = \frac{V_f - V_i}{V_i}.$$Il est positif pour une hausse, négatif pour une baisse.
Le coefficient multiplicateur est $CM = \dfrac{V_f}{V_i} = 1 + t$ (avec $t$ écrit sous forme décimale).
Cas courants : la TVA à $20\,\%$ revient à multiplier par $1{,}2$ le prix hors taxes pour obtenir le prix TTC ; $50\ €$ HT donnent $60\ €$ TTC.
Cette série comporte 6 questions. Aucune justification n'est demandée. 1. Calculer 15 % de 200. 2. Un livre coûte 60 €. Son prix augmente de 10 %. Calculer le nouveau…
Cette série comporte 6 questions. Aucune justification n'est demandée.
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Calculer 15 % de 200.
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Un livre coûte 60 €. Son prix augmente de 10 %. Calculer le nouveau prix.
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Donner le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 30 %.
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Donner le taux d'évolution associé au coefficient multiplicateur $1{,}25$.
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Un prix passe de 50 € à 45 €. Calculer le taux d'évolution en pourcentage.
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Quelle hausse en pourcentage correspond à une multiplication par 2 ?
Cette série comporte 5 questions. Aucune justification n'est demandée. 1. Un article coûte 50 € hors taxes. La TVA est de 20 %. Calculer le prix TTC. 2. Le prix d'un…
Cette série comporte 5 questions. Aucune justification n'est demandée.
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Un article coûte 50 € hors taxes. La TVA est de 20 %. Calculer le prix TTC.
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Le prix d'un article est multiplié par $0{,}975$. De quel pourcentage ce prix a-t-il baissé ?
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Calculer 5 % de 1 200.
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Un Livret A contient 800 €. Il rapporte 2 % d'intérêts sur l'année. Calculer le montant des intérêts.
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Un prix passe de 80 € à 100 €. Calculer le taux d'évolution en pourcentage.
Évolutions successives et réciproque
Deux évolutions de coefficients $CM_1$ et $CM_2$ enchaînées équivalent à une seule, de coefficient $CM = CM_1 \times CM_2$.
Revenons aux soldes : $-30\,\%$ puis $-20\,\%$ donnent $CM = 0{,}7 \times 0{,}8 = 0{,}56$, soit une remise globale de $44\,\%$, et non $50\,\%$. Sarah se trompe.
Évolution réciproque
L'évolution réciproque ramène à la valeur de départ. Son coefficient est $CM' = \dfrac{1}{CM}$, car $CM \times CM' = 1$.
Taux moyen
Si deux évolutions identiques de taux $t$ donnent un coefficient global $CM$, alors $(1 + t)^2 = CM$. Pour une hausse globale de $21\,\%$ : $(1+t)^2 = 1{,}21$, donc $1 + t = 1{,}1$ et $t = 10\,\%$. Pour $44\,\%$ : $1 + t = \sqrt{1{,}44} = 1{,}2$, soit $20\,\%$.
Avec Python, on peut automatiser le calcul du taux d'évolution :
def taux(vi, vf):
return (vf - vi) / vi
print(taux(50, 45)) # baisse de 10 %
Remarque : Python utilise un point décimal là où, en France, on écrit une virgule : le résultat affiché correspond à $-0{,}1$.
Cette série comporte 6 questions. Aucune justification n'est demandée. Le prix d'un article subit une hausse de 20 % puis une hausse de 10 %. 1. Calculer le coefficient…
Cette série comporte 6 questions. Aucune justification n'est demandée.
Le prix d'un article subit une hausse de 20 % puis une hausse de 10 %.
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Calculer le coefficient multiplicateur global.
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En déduire le taux d'évolution global en pourcentage.
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Une quantité augmente de 25 %. Quel est le taux d'évolution de l'évolution réciproque ?
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Une quantité baisse de 50 %. Quel est le taux d'évolution de l'évolution réciproque ?
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Après une hausse de 20 %, un prix est égal à 150 €. Calculer le prix initial.
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Une quantité est multipliée par 3. Quel est le taux d'évolution correspondant, en pourcentage ?
Cette série comporte 6 questions. Aucune justification n'est demandée. 1. Une grandeur baisse de 10 % deux fois de suite. Calculer le coefficient multiplicateur global.…
Cette série comporte 6 questions. Aucune justification n'est demandée.
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Une grandeur baisse de 10 % deux fois de suite. Calculer le coefficient multiplicateur global.
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En déduire le taux d'évolution global en pourcentage.
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Une valeur de 200 € subit deux hausses successives de 10 %. Calculer sa valeur finale.
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Le prix $P$ d'un article augmente de 10 % puis baisse de 10 %. Exprimer le nouveau prix en fonction de $P$.
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Un prix baisse de 20 %. Quelle hausse en pourcentage permet de retrouver le prix initial ?
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Un article coûte 132 € TTC, avec une TVA de 10 %. Calculer son prix hors taxes.
Cette série comporte 6 questions. Aucune justification n'est demandée. 1. Un prix subit une hausse de 30 % puis une baisse de 30 %. Calculer le coefficient…
Cette série comporte 6 questions. Aucune justification n'est demandée.
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Un prix subit une hausse de 30 % puis une baisse de 30 %. Calculer le coefficient multiplicateur global.
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En déduire le taux d'évolution global.
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Un prix augmente de 50 % puis baisse de 20 %. Calculer le taux d'évolution global en pourcentage.
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Deux évolutions successives de même taux $t$ (hausses) donnent une hausse globale de 21 %. Déterminer $t$ en pourcentage.
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Deux hausses successives identiques donnent une hausse globale de 44 %. Déterminer le taux de chaque hausse en pourcentage.
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Le nombre d'abonnés d'une chaîne baisse de 5 % chaque année pendant deux ans. Exprimer le coefficient multiplicateur global sous la forme d'un produit, puis donner sa valeur exacte.
Cette série comporte 5 questions. Aucune justification n'est demandée. Pendant les soldes, un magasin applique une première remise de 30 % sur le prix initial d'un…
Cette série comporte 5 questions. Aucune justification n'est demandée.
Pendant les soldes, un magasin applique une première remise de 30 % sur le prix initial d'un article, puis une seconde remise de 20 % sur le prix déjà soldé.
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Calculer le coefficient multiplicateur global.
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En déduire la remise globale en pourcentage.
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Calculer le prix final d'un article dont le prix initial est de 150 €.
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Un article est vendu 56 € après les deux remises. Calculer son prix initial.
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La seconde remise est de 40 % au lieu de 20 %, la première restant de 30 %. Calculer la remise globale en pourcentage.