Position relative de deux droites
Deux rues d'une ville peuvent ne jamais se croiser (parallèles), se croiser en un seul point (sécantes), ou être en réalité la même rue sous deux noms différents (confondues). Deux droites du plan ne peuvent être que dans l'une de ces trois situations : comment savoir laquelle, sans faire de dessin ?
Trois positions possibles
Donner la position relative des droites $r: y = 3x - 5$ et $s: y = -2x + 4$ en justifiant votre réponse à partir de leurs coefficients directeurs.
Donner la position relative des droites $r: y = 3x - 5$ et $s: y = -2x + 4$ en justifiant votre réponse à partir de leurs coefficients directeurs.
Le critère du déterminant
Une droite est caractérisée par sa direction. Deux droites ont la même direction si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires, c'est-à-dire si leur déterminant est nul.
Pourquoi ? Si $ab'-a'b=0$, les vecteurs directeurs sont colinéaires : les droites vont « dans la même direction ». Sinon, elles ne peuvent pas rester parallèles, donc elles se coupent.
Déterminer la position relative des droites $r: 2x - 4y + 6 = 0$ et $s: -x + 2y - 3 = 0$ en comparant leurs coefficients.
Déterminer la position relative des droites $r: 2x - 4y + 6 = 0$ et $s: -x + 2y - 3 = 0$ en comparant leurs coefficients.
Calculer la valeur du paramètre $k$ pour que les droites $r: 3x + ky - 2 = 0$ et $s: x - 2y + 5 = 0$ soient parallèles.
Calculer la valeur du paramètre $k$ pour que les droites $r: 3x + ky - 2 = 0$ et $s: x - 2y + 5 = 0$ soient parallèles.
Marcos doit déterminer en classe la position relative des droites $r: 2x - 3y + 6 = 0$ et $s: 4x - 6y - 10 = 0$. Dans son cahier, il écrit : « Je calcule le rapport des…
Marcos doit déterminer en classe la position relative des droites $r: 2x - 3y + 6 = 0$ et $s: 4x - 6y - 10 = 0$. Dans son cahier, il écrit :
« Je calcule le rapport des coefficients : $\frac{2}{4} = \frac{-3}{-6} = \frac{1}{2}$. Comme on obtient le même résultat, les deux droites ont exactement les mêmes points et sont donc confondues ».
- a) Identifier l'erreur conceptuelle commise par Marcos et expliquer quelle vérification il a oubliée.
- b) Corriger sa résolution en déterminant la position relative correcte à l'aide du critère des coefficients.
- c) Quelle valeur devrait avoir le terme constant de la droite $s$ pour que la conclusion de Marcos soit réellement correcte ? Justifier votre réponse.
Trouver le point d'intersection
Si les droites sont sécantes, les coordonnées de leur point d'intersection vérifient les deux équations à la fois.
Calculer les coordonnées du point d'intersection des droites sécantes $r: x + y - 4 = 0$ et $s: 2x - y - 5 = 0$.
Calculer les coordonnées du point d'intersection des droites sécantes $r: x + y - 4 = 0$ et $s: 2x - y - 5 = 0$.
Déterminer le point d'intersection de la droite $r: 3x - 2y - 12 = 0$ avec l'axe des abscisses (axe X).
Déterminer le point d'intersection de la droite $r: 3x - 2y - 12 = 0$ avec l'axe des abscisses (axe X).
Deux canalisations principales d'irrigation d'un champ suivent les trajectoires des droites $r: 5x + 3y - 15 = 0$ et $s: 2x - y + 5 = 0$. Déterminer si elles se croisent…
Deux canalisations principales d'irrigation d'un champ suivent les trajectoires des droites $r: 5x + 3y - 15 = 0$ et $s: 2x - y + 5 = 0$. Déterminer si elles se croisent et, si oui, déterminer les coordonnées exactes du point de raccordement.
Droites données sous d'autres formes
Quelle que soit la forme donnée, on cherche un vecteur directeur de chaque droite, puis on calcule leur déterminant.
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Équation réduite $y=mx+p$ : vecteur directeur $\vec u\,(1 ; m)$.
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Équation cartésienne $ax+by+c=0$ : vecteur directeur $\vec u\,(-b ; a)$.
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Deux points $A$ et $B$ : vecteur directeur $\overrightarrow{AB}$.
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Point $A$ et vecteur directeur $\vec u$ donnés : on a directement ce qu'il faut.
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Forme paramétrique $x=x_A+t\,u_x$ et $y=y_A+t\,u_y$ ($t$ réel) : le vecteur directeur est $\vec u\,(u_x ; u_y)$, les coefficients de $t$.
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Égalité de quotients $\dfrac{x-x_A}{u_x}=\dfrac{y-y_A}{u_y}$ : le vecteur directeur est $\vec u\,(u_x ; u_y)$, les dénominateurs.
Pour obtenir une droite parallèle à $d$ passant par un point $P$, on garde le même coefficient directeur (ou le même vecteur directeur), puis on détermine l'ordonnée à l'origine avec les coordonnées de $P$.
Déterminer l'équation réduite de la droite parallèle à $r: y = -4x + 1$ passant par le point $P(0 ; 3)$.
Déterminer l'équation réduite de la droite parallèle à $r: y = -4x + 1$ passant par le point $P(0 ; 3)$.
Étant données les droites $r: x = 2 - t, y = 3 + 2t$ et $s: 2x + y - 7 = 0$, étudier leur position relative en comparant leurs vecteurs directeurs et en vérifiant si un…
Étant données les droites $r: x = 2 - t, y = 3 + 2t$ et $s: 2x + y - 7 = 0$, étudier leur position relative en comparant leurs vecteurs directeurs et en vérifiant si un point de $r$ appartient à $s$.
Un bateau de sauvetage se déplace sur la droite passant par les points $A(-2\,;\,1)$ et $B(4\,;\,5)$. Un voilier suit la trajectoire donnée par la droite…
Un bateau de sauvetage se déplace sur la droite passant par les points $A(-2\,;\,1)$ et $B(4\,;\,5)$. Un voilier suit la trajectoire donnée par la droite $s: y = \frac{2}{3}x + 4$. Déterminer si leurs trajectoires sont parallèles ou si, au contraire, elles se coupent en un point.
Perpendicularité
Deux droites sont perpendiculaires si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux. Dans un repère orthonormé, avec $y=mx+p$ et $y=m'x+p'$ (aucune des deux parallèle à un axe), elles sont perpendiculaires si et seulement si $m\,m'=-1$. Avec $ax+by+c=0$, la droite $-bx+ay+k=0$ (ou $bx-ay+k=0$) est perpendiculaire à $d$.
Applications : triangles, paramètres, modélisation
Sur le plan d'architecte d'un bâtiment, deux murs porteurs sont donnés par les équations $r: ax - 6y + 12 = 0$ et $s: 2x + by - 4 = 0$. Déterminer les valeurs de $a$ et…
Sur le plan d'architecte d'un bâtiment, deux murs porteurs sont donnés par les équations $r: ax - 6y + 12 = 0$ et $s: 2x + by - 4 = 0$. Déterminer les valeurs de $a$ et $b$ pour que les deux murs représentent exactement la même ligne (droites confondues).
Trois rues forment un parc triangulaire au centre d'une ville. Les équations des rues sont $r: x + y - 6 = 0$, $s: 2x - y - 3 = 0$ et $t: x - 2y + 6 = 0$. Calculer les…
Trois rues forment un parc triangulaire au centre d'une ville. Les équations des rues sont $r: x + y - 6 = 0$, $s: 2x - y - 3 = 0$ et $t: x - 2y + 6 = 0$. Calculer les coordonnées exactes des trois sommets du parc.
Discuter la position relative des droites $r: kx + y - 3 = 0$ et $s: 4x + ky - 6 = 0$ en fonction des valeurs possibles du paramètre $k$.
Discuter la position relative des droites $r: kx + y - 3 = 0$ et $s: 4x + ky - 6 = 0$ en fonction des valeurs possibles du paramètre $k$.
Retour au début : pour savoir si deux rues se croisent, on compare leurs vecteurs directeurs, puis on résout le système si elles sont sécantes.