Multiples, diviseurs, parité et fractions irréductibles
Lucas prépare un goûter pour sa classe de seconde à Lyon : il a 84 roses et 126 tulipes à répartir en bouquets tous identiques, sans rien laisser. Combien de bouquets peut-il faire au maximum ? Pour répondre, il faut savoir manier multiples et diviseurs. Tu vas aussi apprendre à démontrer des propriétés vraies pour tous les entiers.
Multiples et diviseurs
Par exemple, $42 = 6 \times 7$ : 42 est un multiple de 6 et de 7, et 6 et 7 sont des diviseurs de 42. Les multiples de 14 sont $0, 14, 28, 42, 56, \dots$
Pour trouver tous les diviseurs positifs d'un entier, on cherche les produits qui donnent ce nombre, en « rangeant » les paires :
Critères de divisibilité
Pourquoi pour 3 ? Parce que $10, 100, 1\,000, \dots$ valent « un multiple de 3 plus 1 » : seule la somme des chiffres compte. Ainsi $2\,345$ : $2+3+4+5 = 14$, qui n'est pas multiple de 3.
a) Donner tous les diviseurs positifs de 36. b) Donner les cinq plus petits multiples positifs de 14. c) Le nombre 2 345 est-il divisible par 5 ? par 3 ? par 2 ?
- a) Donner tous les diviseurs positifs de 36.
- b) Donner les cinq plus petits multiples positifs de 14.
- c) Le nombre 2 345 est-il divisible par 5 ? par 3 ? par 2 ?
Fractions irréductibles et PGCD
Une fraction $\dfrac{a}{b}$ est irréductible lorsque $a$ et $b$ n'ont pas d'autre diviseur positif commun que 1. On la rend irréductible en simplifiant par les diviseurs communs.
On peut aller plus vite avec le plus grand diviseur commun (PGCD) : on simplifie une seule fois par lui. Pour 84 et 126, les diviseurs communs sont 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42 : le PGCD est 42, et $\dfrac{84}{126} = \dfrac{84 \div 42}{126 \div 42} = \dfrac{2}{3}$.
Le PPCM (plus petit multiple commun) sert pour les phénomènes qui se répètent : on liste les multiples de chaque nombre jusqu'au premier commun.
Retour au début : avec 84 roses et 126 tulipes, le nombre maximal de bouquets est le PGCD de 84 et 126, c'est-à-dire 42, avec 2 roses et 3 tulipes chacun.
Rendre irréductible chacune des fractions suivantes : a) $\dfrac{84}{126}$ b) $\dfrac{75}{100}$ c) $\dfrac{144}{360}$
Rendre irréductible chacune des fractions suivantes :
- a) $\dfrac{84}{126}$
- b) $\dfrac{75}{100}$
- c) $\dfrac{144}{360}$
Un fleuriste à Lyon dispose de 84 roses et de 126 tulipes. Il souhaite réaliser des bouquets identiques, sans reste, contenant des roses et des tulipes. a) Quel est le…
Un fleuriste à Lyon dispose de 84 roses et de 126 tulipes. Il souhaite réaliser des bouquets identiques, sans reste, contenant des roses et des tulipes.
- a) Quel est le nombre maximal de bouquets possibles ?
- b) Combien de roses et de tulipes contient alors chaque bouquet ?
Deux bus partent ensemble de la gare de Rennes à 7 h 00. Le bus A repasse à la gare toutes les 18 minutes, le bus B toutes les 24 minutes. a) À quelle heure…
Deux bus partent ensemble de la gare de Rennes à 7 h 00. Le bus A repasse à la gare toutes les 18 minutes, le bus B toutes les 24 minutes.
- a) À quelle heure repartent-ils de nouveau ensemble pour la première fois ?
- b) Combien de fois repartent-ils ensemble entre 7 h 00 (exclu) et 12 h 00 (inclus) ?
Parité et écriture générale
Écrire un entier sous forme littérale permet de démontrer une propriété pour tous les entiers, ce qu'aucun exemple numérique ne peut faire. Trois entiers consécutifs s'écrivent $n$, $n+1$, $n+2$.
a) Écrire un entier pair sous la forme $2k$ et un entier impair sous la forme $2k+1$, avec $k$ entier. b) Le nombre $2 \times 17 + 1$ est-il pair ou impair ? c) Donner…
- a) Écrire un entier pair sous la forme $2k$ et un entier impair sous la forme $2k+1$, avec $k$ entier.
- b) Le nombre $2 \times 17 + 1$ est-il pair ou impair ?
- c) Donner l'écriture générale de trois entiers consécutifs en fonction d'un entier $n$.
Soit $a$ et $b$ deux entiers, multiples de 6 et de 9 respectivement. a) Démontrer que $a + b$ est un multiple de 3. b) Démontrer que le produit $ab$ est un multiple de…
Soit $a$ et $b$ deux entiers, multiples de 6 et de 9 respectivement.
- a) Démontrer que $a + b$ est un multiple de 3.
- b) Démontrer que le produit $ab$ est un multiple de 54.
- c) La somme $a + b$ est-elle nécessairement un multiple de 6 ? Justifier par un contre-exemple ou une démonstration.
Démonstrations plus élaborées
Pour aller plus loin avec les carrés d'impairs, on peut obtenir une forme plus précise.
Cette idée du raisonnement par l'absurde sert aussi à démontrer qu'un nombre n'est pas rationnel : on suppose $\sqrt{3} = \dfrac{p}{q}$ avec une fraction irréductible, on obtient que $p$ et $q$ sont tous deux multiples de 3, ce qui contredit l'irréductibilité. Pour montrer que $p^2$ multiple de 3 entraîne $p$ multiple de 3, on étudie les restes de $p$ dans la division par 3 : si $p = 3k+1$ ou $p = 3k+2$, alors $p^2$ n'est pas multiple de 3.
a) Démontrer que le carré d'un entier impair est impair. b) Démontrer que le carré d'un entier impair s'écrit $8m + 1$ avec $m$ entier. c) En déduire que la somme des…
- a) Démontrer que le carré d'un entier impair est impair.
- b) Démontrer que le carré d'un entier impair s'écrit $8m + 1$ avec $m$ entier.
- c) En déduire que la somme des carrés de deux entiers impairs n'est jamais un carré parfait.
Soit $n$ un entier naturel. a) Démontrer que la fraction $\dfrac{n}{n+1}$ est irréductible (on pourra raisonner sur un diviseur commun $d$ de $n$ et $n+1$). b) Démontrer…
Soit $n$ un entier naturel.
- a) Démontrer que la fraction $\dfrac{n}{n+1}$ est irréductible (on pourra raisonner sur un diviseur commun $d$ de $n$ et $n+1$).
- b) Démontrer que la somme de trois entiers consécutifs est un multiple de 3.
- c) Démontrer que la somme de quatre entiers consécutifs n'est jamais un multiple de 4.
On suppose que $\sqrt{3}$ s'écrit $\dfrac{p}{q}$ avec $p$ et $q$ entiers strictement positifs et la fraction irréductible. a) Montrer que $p^2 = 3q^2$, puis que $p^2$…
On suppose que $\sqrt{3}$ s'écrit $\dfrac{p}{q}$ avec $p$ et $q$ entiers strictement positifs et la fraction irréductible.
- a) Montrer que $p^2 = 3q^2$, puis que $p^2$ est multiple de 3.
- b) Montrer que $p$ est multiple de 3 (on pourra raisonner sur les restes dans la division par 3).
- c) Aboutir à une contradiction et conclure.
L'essentiel
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$a$ divise $b$ si $b = ka$ avec $k$ entier ; critères de divisibilité par 2, 3, 5, 9, 10.
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Une fraction est irréductible si son numérateur et son dénominateur n'ont que 1 comme diviseur commun positif ; on simplifie par le PGCD.
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PGCD : plus grand diviseur commun (partage maximal) ; PPCM : plus petit multiple commun (événements qui se répètent).
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Pair : $2k$ ; impair : $2k+1$ ; trois entiers consécutifs : $n, n+1, n+2$.
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Pour démontrer, on utilise un entier quelconque écrit sous forme générale ; pour réfuter, un contre-exemple suffit.