Vecteurs du plan

Étant donné les points $A(2\ ;\ -1)$ et $B(5\ ;\ 3)$, calculer les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ et sa norme.

Observer les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ représentés sur le quadrillage. Écrire leurs coordonnées et calculer analytiquement les coordonnées du vecteur somme $\vec{s} = \vec{u} + \vec{v}$.

Lors d'un contrôle de géométrie analytique, Marc doit calculer les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ qui joint l'origine $A(3 ; -2)$ à l'extrémité $B(-1 ; 4)$, ainsi que sa norme exacte. Sur sa copie, il écrit :

1) $\vec{AB} = (3 - (-1)\ ;\ -2 - 4) = (4\ ;\ -6)$

2) $|\vec{AB}| = \sqrt{4^2 - 6^2} = \sqrt{16 - 36} = \sqrt{-20}$

Après avoir observé le résultat, Marc conclut que « le vecteur n'existe pas dans le plan réel car la racine carrée d'un nombre négatif n'est pas un nombre réel ».

1. a) Repérer et expliquer en détail les deux erreurs conceptuelles commises par Marc dans sa démarche.
2. b) Corriger l'exercice pas à pas : déterminer les coordonnées correctes de $\vec{AB}$, calculer sa norme exacte à l'aide de radicaux et donner aussi sa valeur approchée avec une décimale.

Déterminer les valeurs possibles de $x$ pour que le vecteur $\vec{v} = (x ; -8)$ ait une norme exactement égale à $10$.

Un drone de livraison vole avec une vitesse propre représentée par le vecteur $\vec{v}_d = (12 ; 5)$ km/h. À cet instant, le vent souffle avec une vitesse $\vec{v}_v = (-3 ; 2)$ km/h. Calculer le vecteur vitesse réelle du drone et sa vitesse (la norme du vecteur résultant).

Indiquer si les vecteurs $\vec{a}\,(6 ; -9)$ et $\vec{b}\,(-2 ; 3)$ sont colinéaires (même direction). Justifier votre réponse mathématiquement.

Dans la conception d'un pont, trois piles doivent être parfaitement alignées. Sur le plan de l'architecte, les bases des piles sont situées aux coordonnées $P(-2 ; 1)$, $Q(2 ; 3)$ et $R(8 ; k)$. Déterminer la valeur de $k$ pour que l'alignement soit correct.

Pour installer un panneau solaire en forme de parallélogramme $ABCD$, les techniciens ont fixé trois de ses sommets aux coordonnées $A(1 ; 1)$, $B(5 ; 2)$ et $C(6 ; 6)$ (en mètres). Calculer les coordonnées du quatrième sommet $D$ à l'aide d'opérations sur les vecteurs.

Un cabinet d'architecture conçoit une pergola rectangulaire $ABCD$ dans un parc de Bordeaux. Dans le projet, les coordonnées de trois de ses sommets sont fixées : $A(1 ; 2)$, $B(5 ; 5)$ et $C(2 ; 9)$.

1. a) Démontrer analytiquement, à l'aide du produit scalaire, que les côtés consécutifs représentés par les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{BC}$ forment un angle droit.
2. b) Pour placer le quatrième sommet $D(x ; y)$ de sorte que la figure soit un parallélogramme rectangle, l'égalité vectorielle $\vec{AD} = \vec{BC}$ doit être vérifiée. En déduire les coordonnées exactes du point $D$.
3. c) Deux câbles en acier seront installés comme tendeurs diagonaux reliant les sommets opposés : l'un entre $A$ et $C$, l'autre entre $B$ et $D$. Calculer les normes $|\vec{AC}|$ et $|\vec{BD}|$ et démontrer analytiquement que les deux diagonales ont la même longueur.
4. d) Calculer le produit scalaire des vecteurs diagonaux $\vec{AC} \cdot \vec{BD}$ et interpréter géométriquement le résultat : quelle propriété supplémentaire ce rectangle possède-t-il concernant ses côtés ?

Considérer les vecteurs $\vec{u} = (3 ; -2)$ et $\vec{v} = (-1 ; 4)$. Calculer les coordonnées du vecteur résultant de l'opération $\vec{w} = 2\vec{u} - 3\vec{v}$.

Déterminer les coordonnées du milieu $M$ du segment dont les extrémités sont les points $P(-4\,;\,7)$ et $Q(2\,;\,-3)$.

Le point $M(1\ ;\ 2)$ est le milieu du segment $AB$. Connaissant les coordonnées de l'extrémité $A(-3\ ;\ 5)$, déterminer les coordonnées de l'extrémité $B$.

Dans une expérience de physique, on applique deux forces $\vec{F}_1 = (2 ; -1)$ N et $\vec{F}_2 = (-1 ; 3)$ N. On souhaite obtenir une force résultante $\vec{R} = (4 ; 3)$ N en combinant les deux premières à l'aide d'un système qui multiplie leur intensité. Déterminer les valeurs des scalaires $a$ et $b$ telles que $\vec{R} = a\vec{F}_1 + b\vec{F}_2$.

Une canalisation rectiligne relie une station de pompage $A(-15 ; 20)$ à un réservoir $B(45 ; -12)$ (coordonnées en mètres). On souhaite installer une vanne de contrôle exactement au milieu du trajet. Calculer les coordonnées où sera située la vanne et la longueur totale de la canalisation.

Un rayon laser part d'une source située en $F(-3 ; -2)$ et se réfléchit sur un miroir plan confondu avec l'axe des abscisses (axe X). Si le point exact d'impact sur le miroir est $I(1 ; 0)$, déterminer les coordonnées du point symétrique de $F$ par rapport au miroir et écrire les coordonnées du vecteur qui définit la trajectoire réfléchie.

Une poutre en acier dont les extrémités ont pour coordonnées $A(-4 ; 2)$ et $B(8 ; 14)$ doit être coupée en trois parties identiques pour fabriquer des supports. Calculer les coordonnées des deux points de coupe $P$ et $Q$ qui partagent le segment $AB$ en trois parties de même longueur.

Le centre de gravité $G$ d'un triangle se trouve toujours à une distance de $\frac{2}{3}$ de n'importe quel sommet, mesurée sur la médiane vers le milieu du côté opposé. Si les sommets d'une plaque métallique triangulaire sont $A(1 ; 1)$, $B(7 ; 3)$ et $C(4 ; 8)$, déterminer d'abord le milieu $M$ du côté $BC$. Puis, à l'aide du vecteur $\vec{AM}$, calculer les coordonnées exactes du centre de gravité $G$.

Calculer le produit scalaire des vecteurs $\vec{p} = (4 ; 5)$ et $\vec{q} = (-2 ; 3)$. À partir du résultat, indiquer s'ils sont orthogonaux.

Sur une table de billard, une boule est frappée et suit la trajectoire du vecteur $\vec{u} = (4 ; 3)$. Après avoir rebondi sur la bande, sa nouvelle trajectoire est donnée par le vecteur $\vec{v} = (-3 ; k)$. Calculer la valeur de $k$ pour que la trajectoire de rebond forme un angle de $90^\circ$ avec la trajectoire d'arrivée.

Déterminer si le triangle formé par les antennes de télécommunication situées aux coordonnées $A(1\,;\,2)$, $B(4\,;\,6)$ et $C(9\,;\,-1)$ est un triangle rectangle. Utiliser le produit scalaire des vecteurs formés par ses côtés pour justifier votre réponse.

Le centre de coordination du CROSS Gris-Nez surveille une nappe d'hydrocarbures qui dérive dans le Pas de Calais. Les données indiquent que la nappe se déplace dans la direction et le sens du vecteur $\vec{v} = (6 ; -2)$ (en milles nautiques par heure). Pour contenir la marée noire, un navire d'intervention doit déployer un barrage flottant dans une direction rigoureusement perpendiculaire à l'avancée de la nappe.

1. a) Modéliser le problème et calculer la valeur de la coordonnée $x$ pour que le vecteur $\vec{u} = (x ; 12)$ soit orthogonal à la direction de la nappe $\vec{v}$, en appliquant la condition du produit scalaire.
2. b) Le navire dispose de tronçons de barrage totalisant une longueur de $15$ milles nautiques. Calculer la norme du vecteur $\vec{u}$ obtenu à la question précédente et déterminer si le barrage disponible est plus court, égal ou plus long que $|\vec{u}|$.
3. c) Par quel nombre réel positif $k$ faut-il multiplier le vecteur $\vec{u}$ pour obtenir un vecteur de même direction et de même sens, mais dont la longueur soit exactement égale aux $15$ milles nautiques du barrage disponible ?

Dans la conception d'un logo de style technique, deux traits rectilignes sont représentés par les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$. On sait que le vecteur $\vec{u}$ a pour origine le point $A(-2 ; 1)$ et pour extrémité $B(2 ; 4)$. Le second vecteur a pour coordonnées $\vec{v} = (k ; -8)$, son origine est le point $C(5 ; -1)$ et il doit obligatoirement être perpendiculaire à $\vec{u}$.

1. a) Poser l'équation correspondante et calculer la valeur du paramètre réel $k$ pour que les deux vecteurs soient perpendiculaires.
2. b) Avec la valeur de $k$ déterminée, trouver les coordonnées du point $D$, extrémité du vecteur $\vec{v}$.
3. c) Comparer les longueurs des deux traits : calculer les normes $|\vec{u}|$ et $|\vec{v}|$ et indiquer quel est le rapport exact de proportionnalité entre la longueur du vecteur $\vec{v}$ et celle du vecteur $\vec{u}$.

On considère les vecteurs $\vec{u} = (m\,;\,2)$ et $\vec{v} = (3\,;\,m-1)$ dépendant d'un paramètre. Déterminer les valeurs du paramètre $m$ dans deux cas géométriques distincts :

1. a) Pour que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ soient perpendiculaires.
2. b) Pour que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ soient colinéaires.

Quatre bouées délimitent une zone de réserve marine aux points $A(-2 ; -1)$, $B(4 ; 1)$, $C(5 ; 5)$ et $D(-1 ; 3)$. Démontrer d'abord, à l'aide de vecteurs, que la figure formée est un parallélogramme. Calculer ensuite le produit scalaire de ses diagonales pour vérifier s'il s'agit en particulier d'un losange.

Déterminer les coordonnées d'un vecteur $\vec{w}$ perpendiculaire au vecteur $\vec{u} = (-5 ; 12)$ et dont la norme est exactement la moitié de celle de $\vec{u}$. Combien $\vec{w}$ admet-il de solutions ? Les écrire toutes.

Une coopérative agricole va acquérir une parcelle triangulaire dont les sommets sur le plan cadastral sont $A(-2 ; 1)$, $B(2 ; 4)$ et $C(-1 ; 8)$ (coordonnées exprimées en hectomètres). Avant de signer l'acte d'achat, les techniciens doivent certifier si la parcelle comporte un angle droit ($90^\circ$) afin de pouvoir placer un hangar à matériel dans ce coin.

Deux techniciens proposent des démarches différentes :

• Méthode métrique (Manon) : Déterminer les longueurs des trois côtés à l'aide des normes $|\vec{AB}|$, $|\vec{BC}|$ et $|\vec{AC}|$, et vérifier si elles satisfont l'égalité du théorème de Pythagore.

• Méthode vectorielle (Charles) : Calculer les coordonnées des vecteurs des côtés qui partent de chaque sommet et effectuer leurs produits scalaires pour vérifier si l'un d'eux est nul.

1. a) Résoudre le problème en appliquant complètement les deux méthodes et confirmer en quel sommet se trouve l'angle droit.
2. b) Évaluer de façon critique les deux procédés : laquelle des deux méthodes est la plus efficace et la plus directe du point de vue du calcul algébrique ? Justifier la réponse en analysant la nécessité de calculer des racines carrées et le risque de propager des erreurs d'arrondi dans chaque cas.

Un garde forestier parcourt un sentier en ligne droite depuis la base de surveillance située au point $P(2 ; 1)$ jusqu'à un belvédère situé en $Q(9 ; 5)$ (coordonnées en kilomètres).

1. a) Avant de calculer la norme exacte, observer le déplacement sur l'axe horizontal ($x$) et sur l'axe vertical ($y$). Sachant que l'hypoténuse d'un triangle rectangle est toujours plus grande que le plus grand des côtés de l'angle droit et plus petite que leur somme, et en comparant la somme des carrés des deux déplacements aux carrés parfaits les plus proches, faire une estimation argumentée et encadrer entre quels deux entiers consécutifs doit se trouver la distance totale parcourue (la norme du vecteur $\vec{PQ}$).
2. b) Calculer les coordonnées du vecteur $\vec{PQ}$ et déterminer sa norme exacte sous forme de racine carrée.
3. c) Donner l'approximation décimale de cette norme à deux décimales, vérifier si votre estimation de la question a) était correcte et justifier si le résultat obtenu est cohérent avec la situation physique.

Déterminer les coordonnées d'un point $P$ situé sur l'axe des ordonnées (axe Y) et équidistant des points $A(2 ; 5)$ et $B(-4 ; 1)$.

Deux remorqueurs tirent un bateau en panne situé à l'origine du repère. Le premier remorqueur exerce une force définie par le vecteur $\vec{F}_1 = (6\,;\,8)$ kN. Le second exerce une force $\vec{F}_2$. Sachant que la force résultante $\vec{R} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$ a la direction et le sens de l'axe des abscisses positif et une norme de $12$ kN, déterminer les coordonnées du vecteur $\vec{F}_2$ et calculer sa norme.

Les points $A(-1 ; 3)$ et $B(5 ; -5)$ représentent deux sommets opposés d'un terrain en forme de carré $ABCD$. Calculer la longueur de la diagonale du carré et l'aire totale du terrain. Déterminer ensuite les coordonnées du centre exact du carré.