Signe d'une fonction rationnelle, points d'intersection et asymptotes

Calculer les coordonnées des points d'intersection de la courbe de la fonction $f(x) = \frac{2x-6}{x+4}$ avec les axes du repère.

Déterminer les intervalles sur lesquels la fonction $f(x) = \frac{x-3}{x+2}$ prend des valeurs strictement positives.

Étudier analytiquement le signe de la fonction $f(x) = \frac{-2x}{x^2-4}$ sur tout son ensemble de définition.

Déterminer l'ensemble de définition et les équations des asymptotes verticales de la fonction $f(x) = \frac{x+7}{x^2-9}$.

Pour étudier la fonction rationnelle $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 3x + 2}$, Lucie affirme dans sa copie :

« Le dénominateur s'annule en $x = 1$ et en $x = 2$, donc la courbe a deux asymptotes verticales : les droites $x = 1$ et $x = 2$. Par ailleurs, comme le numérateur s'annule en $x = 2$ et en $x = -2$, la fonction coupe l'axe $X$ aux points $(2\,;\,0)$ et $(-2\,;\,0)$ ».

1. Relever les deux erreurs conceptuelles commises par Lucie et expliquer pourquoi son raisonnement est incorrect, en s'appuyant sur la définition de l'ensemble de définition et de l'asymptote verticale.

2. Corriger l'exercice : calculer l'ensemble de définition de $f(x)$, ses véritables asymptotes verticales (en justifiant par les limites à gauche et à droite) et tous ses points d'intersection avec les axes du repère.

Une entreprise de messagerie express utilisant des fourgonnettes électriques dans l'agglomération de Marseille modélise le coût moyen d'exploitation par kilomètre parcouru, en euros par kilomètre (€/km), en fonction du nombre de kilomètres quotidiens $x$ effectués par chaque véhicule, par la fonction rationnelle :

1. Justifier pourquoi le modèle mathématique n'est pas défini pour $x = 5$ et interpréter ce qui se passe pour le coût moyen lorsqu'une fourgonnette parcourt une distance très proche de $5$ km, en calculant la limite à droite $\lim_{x \to 5^+} C(x)$ et en indiquant l'asymptote verticale.

2. Déterminer l'asymptote horizontale de la fonction au moyen de $\lim_{x \to +\infty} C(x)$ et interpréter sa signification économique pour l'entreprise lors de journées à fort kilométrage.

3. Démontrer en justifiant si le coût moyen par kilomètre peut être inférieur ou égal à $0,18$ €/km en étudiant le signe de l'expression $C(x) - 0,18$ sur l'intervalle $]5 ; +\infty[$, et expliquer si la courbe coupe son asymptote horizontale.

Déterminer les équations des asymptotes verticale et horizontale de la fonction rationnelle $f(x) = \frac{5x+1}{2x-4}$.

Calculer l'équation de l'asymptote oblique de la fonction $f(x) = \frac{x^2-5x+6}{x-1}$.

Soit la fonction $f(x) = \frac{3x^2-2}{x^2+1}$. Déterminer l'équation de son asymptote horizontale en calculant les limites appropriées lorsque $x \to +\infty$ et $x \to -\infty$.

Déterminer les asymptotes et les points d'intersection avec les axes de la fonction $f(x) = \frac{x^3-8}{x^2-4}$. Porter une attention particulière aux éventuelles discontinuités évitables apparaissant lors de la simplification de l'expression.

Concevoir l'expression simplifiée d'une fonction rationnelle irréductible de la forme $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ vérifiant simultanément les quatre conditions suivantes :

1. Elle admet exactement deux asymptotes verticales : les droites $x = -2$ et $x = 3$.

2. Son unique asymptote horizontale est la droite $y = 2$.

3. Elle coupe l'axe $X$ en un unique point : $(1 ; 0)$.

4. La courbe est tangente à l'axe $X$ en ce point d'intersection ; autrement dit, elle ne change pas de signe en traversant $x = 1$ (la fonction garde le même signe immédiatement à gauche et à droite de $x = 1$).

Expliquer comment vous déterminez les degrés de $P(x)$ et $Q(x)$, leurs racines et leurs multiplicités. Pour finir, calculer les coordonnées du point d'intersection avec l'axe $Y$ et dresser le tableau de signes complet de votre fonction en vérifiant que toutes les conditions sont satisfaites.

Discuter, selon les valeurs du paramètre réel $k$, le nombre et le type d'asymptotes verticales de la fonction $f(x) = \frac{x^2-x-2}{x^2-k}$. Déterminer également pour quelle valeur exacte de $k$ la fonction présente une discontinuité évitable.