Longueurs, aires, volumes, trigonométrie et optimisation
Un jardinier dispose de 40 m de grillage pour clore un enclos rectangulaire le long d'un mur. Quelles dimensions donner à l'enclos pour qu'il soit le plus grand possible ? Pour répondre, il faut savoir calculer des aires, des longueurs et parfois des volumes, puis chercher un maximum. C'est le programme de cette page.
Aires et volumes à connaître
Les formules ne sont pas fournies dans les contrôles : il faut les retenir.
Le cylindre est une « pile de disques » : aire de la base × hauteur. Le cône occupe exactement le tiers du cylindre de même base et de même hauteur.
Réduction et agrandissement
Si on multiplie toutes les longueurs par $k$, les aires sont multipliées par $k^2$ et les volumes par $k^3$. Un cône coupé par un plan parallèle à la base donne un petit cône qui est une réduction du grand. Le solide restant s'appelle un tronc de cône : son volume est la différence $V_{\text{tronc}} = V_{\text{grand cône}} - V_{\text{petit cône}}$.
Pour un solide composé, on additionne les volumes de ses parties. Une demi-sphère de rayon $r$ a pour volume $\dfrac12 \times \dfrac43 \pi r^3 = \dfrac23 \pi r^3$.
Calculer : a) L'aire d'un disque de rayon 5 cm (valeur exacte puis arrondie au dixième). b) Le volume d'un cylindre de rayon 3 cm et de hauteur 10 cm (valeur exacte). c)…
Calculer :
- a) L'aire d'un disque de rayon 5 cm (valeur exacte puis arrondie au dixième).
- b) Le volume d'un cylindre de rayon 3 cm et de hauteur 10 cm (valeur exacte).
- c) Le volume d'une boule de rayon 6 cm (valeur exacte).
Un silo de forme cylindrique, de rayon 2 m et de hauteur 6 m, est surmonté d'une demi-sphère de même rayon. a) Calculer son volume total, arrondi au dixième de m³. b)…
Un silo de forme cylindrique, de rayon 2 m et de hauteur 6 m, est surmonté d'une demi-sphère de même rayon.
- a) Calculer son volume total, arrondi au dixième de m³.
- b) Les céréales stockées occupent 80 % du volume. Calculer ce volume en litres, arrondi à l'unité.
Un pâtissier réduit un cône de crème de hauteur 12 cm et de rayon de base 4 cm en le coupant par un plan parallèle à la base, à 3 cm du sommet. a) Calculer le…
Un pâtissier réduit un cône de crème de hauteur 12 cm et de rayon de base 4 cm en le coupant par un plan parallèle à la base, à 3 cm du sommet.
- a) Calculer le coefficient de réduction du petit cône.
- b) Calculer le volume du petit cône (valeur exacte).
- c) Calculer le volume du tronc de cône restant (valeur exacte).
Trigonométrie dans le triangle rectangle
Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu $\widehat{B}$, on utilise trois rapports de longueurs :
Moyen mnémotechnique : CAH-SOH-TOA.
Deux conséquences importantes :
Rappel : $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Par exemple, $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$. On l'utilisera avec $a = \cos\alpha$ et $b = \sin\alpha$ : $(\cos\alpha+\sin\alpha)^2 = \cos^2\alpha + 2\cos\alpha\sin\alpha + \sin^2\alpha = 1 + 2\sin\alpha\cos\alpha$.
Pourquoi ? Avec les côtés $a$ (adjacent), $b$ (opposé) et l'hypoténuse $c$ : $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = \dfrac{a^2}{c^2} + \dfrac{b^2}{c^2} = \dfrac{a^2+b^2}{c^2} = 1$ d'après le théorème de Pythagore, puisque $a^2 + b^2 = c^2$. De même, $\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{b/c}{a/c} = \dfrac{b}{a} = \tan\alpha$.
Calculer une longueur
Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, on a $AB = 6$ cm et $AC = 8$ cm. a) Calculer $BC$. b) Calculer $\cos \widehat{B}$ et $\sin \widehat{B}$. c) Vérifier que…
Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, on a $AB = 6$ cm et $AC = 8$ cm.
- a) Calculer $BC$.
- b) Calculer $\cos \widehat{B}$ et $\sin \widehat{B}$.
- c) Vérifier que $\cos^2 \widehat{B} + \sin^2 \widehat{B} = 1$.
Un mât vertical est maintenu par un câble tendu de son sommet jusqu'au sol. Le câble mesure 12 m et forme un angle de $62°$ avec le sol horizontal. a) Calculer la…
Un mât vertical est maintenu par un câble tendu de son sommet jusqu'au sol. Le câble mesure 12 m et forme un angle de $62°$ avec le sol horizontal.
- a) Calculer la hauteur du mât, arrondie au centimètre.
- b) Calculer la distance entre le pied du mât et le point d'attache du câble au sol, arrondie au centimètre.
Soit $\alpha$ un angle aigu tel que $\cos \alpha = \dfrac{3}{5}$. a) Calculer $\sin \alpha$ en utilisant $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$. b) En déduire…
Soit $\alpha$ un angle aigu tel que $\cos \alpha = \dfrac{3}{5}$.
- a) Calculer $\sin \alpha$ en utilisant $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$.
- b) En déduire $\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.
- c) Démontrer que, pour tout angle aigu $\alpha$, $(\cos\alpha + \sin\alpha)^2 = 1 + 2\sin\alpha\cos\alpha$, et calculer cette valeur pour l'angle ci-dessus.
Projeté orthogonal et hauteur d'un triangle
Dans un triangle $ABC$, si $H$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $(BC)$, alors $[AH]$ est la hauteur issue de $A$ et $\mathcal{A}_{ABC} = \dfrac{BC \times AH}{2}$.
Dans un repère orthonormé, quand la droite est un axe, le projeté s'obtient en lisant les coordonnées : le projeté de $M(x\,;y)$ sur l'axe des abscisses est $(x\,;0)$.
Soit $ABC$ un triangle et $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur la droite $(BC)$, avec $B(0\,;0)$, $C(6\,;0)$ et $A(2\,;4)$ dans un repère orthonormé. a) Donner les…
Soit $ABC$ un triangle et $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur la droite $(BC)$, avec $B(0\,;0)$, $C(6\,;0)$ et $A(2\,;4)$ dans un repère orthonormé.
- a) Donner les coordonnées de $H$.
- b) Calculer $AH$.
- c) Calculer l'aire du triangle $ABC$.
Problèmes d'optimisation
Optimiser, c'est chercher la plus grande (ou la plus petite) valeur d'une grandeur : aire maximale, coût minimal, etc. La méthode :
Retour à l'enclos du début : $x$ est la longueur des deux côtés perpendiculaires au mur, donc le côté parallèle mesure $40 - 2x$.
Pour chercher un extremum, on peut dresser un tableau de valeurs, repérer le maximum ou le minimum parmi les valeurs testées, puis conclure.
On dispose d'une clôture de 40 m pour délimiter un enclos rectangulaire contre un mur (le mur constitue un côté, sans clôture). On note $x$ la longueur, en mètres, des…
On dispose d'une clôture de 40 m pour délimiter un enclos rectangulaire contre un mur (le mur constitue un côté, sans clôture). On note $x$ la longueur, en mètres, des deux côtés perpendiculaires au mur.
- a) Exprimer l'aire $A(x)$ de l'enclos en fonction de $x$ et préciser l'intervalle de variation de $x$.
- b) Montrer que $A(x) = 200 - 2(x-10)^2$.
- c) En déduire les dimensions de l'enclos d'aire maximale et cette aire.
Une boîte de conserve cylindrique doit avoir un volume de $500\ \text{cm}^3$. On note $r$ son rayon et $h$ sa hauteur, en cm. a) Exprimer $h$ en fonction de $r$. b)…
Une boîte de conserve cylindrique doit avoir un volume de $500\ \text{cm}^3$. On note $r$ son rayon et $h$ sa hauteur, en cm.
- a) Exprimer $h$ en fonction de $r$.
- b) Montrer que l'aire totale de métal est $S(r) = 2\pi r^2 + \dfrac{1000}{r}$.
- c) À l'aide d'un tableau de valeurs de $S$ pour $r$ entier de 3 à 7, déterminer l'entier $r$ pour lequel $S$ est la plus petite et calculer la hauteur correspondante, arrondie au dixième.
Retour à l'enclos : avec 40 m de grillage contre un mur, le plus grand enclos mesure $10$ m sur $20$ m, soit $200\ \text{m}^2$.
L'essentiel
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Cylindre : $V = \pi r^2 h$ ; cône : $V = \dfrac13\pi r^2 h$ ; boule : $V = \dfrac43\pi r^3$ ; disque : $\mathcal{A} = \pi r^2$.
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Un coefficient $k$ multiplie les longueurs, $k^2$ les aires, $k^3$ les volumes.
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Triangle rectangle : CAH-SOH-TOA ; $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$ ; $\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.
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Le projeté orthogonal $H$ de $A$ sur une droite donne la distance $AH$ et la hauteur d'un triangle.
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Optimiser : choisir $x$, écrire $f(x)$, étudier $f$ (tableau de valeurs ou de variations), conclure avec unités.