Calcul mental, formes décimales et arrondis

Formes décimales des fractions usuelles

Certaines fractions reviennent sans cesse. Il faut connaître leur écriture décimale par cœur.

Pourquoi ? Parce qu'on peut écrire un dénominateur de 2, 4 ou 5 sous la forme $10$ ou $100$ : $\dfrac{3}{5} = \dfrac{6}{10}$ et $\dfrac{3}{4} = \dfrac{75}{100}$. Une fraction dont on peut ramener le dénominateur à une puissance de 10 est un nombre décimal.

Pour une fraction plus grande que 1, on sépare la partie entière : $\dfrac{7}{4} = 1 + \dfrac{3}{4} = 1{,}75$.

Ce n'est pas le cas de $\dfrac{1}{3}$ : sa division ne s'arrête jamais, $\dfrac{1}{3} = 0{,}333\ldots$ On en donne alors une valeur approchée (voir la section suivante).

Arrondir un nombre

Arrondir au centième, c'est choisir le nombre à deux chiffres après la virgule le plus proche. On regarde le chiffre suivant (celui des millièmes) : s'il est 0, 1, 2, 3 ou 4, on garde ; s'il est 5, 6, 7, 8 ou 9, on augmente le dernier chiffre conservé de 1.

Deux arrondis sont à connaître :

Le signe $\approx$ signifie « est environ égal à » : l'arrondi n'est pas égal au nombre. On écrit $\dfrac{2}{3} \approx 0{,}67$, jamais $\dfrac{2}{3} = 0{,}67$.

Pourcentages et évolutions de tête

Prendre un pourcentage. Quelques réflexes :

• $50\ \%$ de $N$ : on divise par 2.

• $25\ \%$ de $N$ : on divise par 4 (la moitié de la moitié).

• $10\ \%$ de $N$ : on divise par 10.

• $5\ \%$ : la moitié de $10\ \%$. $20\ \%$ : le double de $10\ \%$.

Par exemple, $10\ \%$ de $450\ €$ font $45\ €$, donc $20\ \%$ font $90\ €$ et $5\ \%$ font $22{,}50\ €$.

Évolutions. Si une quantité subit une évolution de taux $t$ (en écriture décimale), elle est multipliée par le coefficient multiplicateur $CM = 1 + t$.

• Hausse de $20\ \%$ : $CM = 1 + 0{,}20 = 1{,}2$.

• Baisse de $20\ \%$ : $CM = 1 - 0{,}20 = 0{,}8$.

Évolutions successives : on multiplie les coefficients. Évolution réciproque : le coefficient est l'inverse, $CM' = \dfrac{1}{CM}$.

Pourquoi ? Les deux $20\ \%$ ne portent pas sur la même quantité : le premier est calculé sur $60\ €$, le second sur $48\ €$. Comme $0{,}8 \times 1{,}2 = 0{,}96 \neq 1$, on ne retrouve pas le prix de départ.

Retour au début. Pour le sac à $60\ €$ : $60 \times 0{,}8 = 48\ €$, puis $48 \times 1{,}2 = 57{,}60\ €$. Le vendeur a tort : pour revenir à $60\ €$, il faudrait une hausse de $25\ \%$ ($48 + 12 = 60$, et $12$ est le quart de $48$).

Puissances et ordres de grandeur

Puissances de 10. $10^n$ est un 1 suivi de $n$ zéros, et $10^{-n} = \dfrac{1}{10^n}$ :

L'exposant négatif indique le rang du « 1 » après la virgule. Ainsi $5 \times 10^{-1} = 0{,}5$ et $2 \times 10^{3} = 2\,000$ ; donc $2 \times 10^3 + 5 \times 10^{-1} = 2\,000{,}5$.

Règles de calcul (pour $a \neq 0$, avec $m$ et $n$ entiers relatifs) :

Ces formules se retrouvent en comptant les facteurs : $a^3 \times a^2 = (a \times a \times a) \times (a \times a) = a^5$.

Ordre de grandeur. Pour estimer un calcul de tête, on remplace chaque nombre par un nombre simple proche (un chiffre significatif), puis on calcule avec les puissances de 10 :

Inégalités, comparaisons et vrai ou faux

Résoudre une inéquation. On procède comme pour une équation, avec une règle supplémentaire :

• ajouter ou soustraire un même nombre ne change pas le sens : $x - 3 < 2 \iff x < 5$, donc $S = ]-\infty\,;5[$ ;

• multiplier ou diviser par un nombre négatif change le sens : $-2x < 6 \iff x > -3$, donc $S = ]-3\,;+\infty[$.

Comparer deux nombres par leur différence. On calcule $A - B$ : si $A - B > 0$ alors $A > B$ ; si $A - B < 0$ alors $A < B$. Avec des fractions, on réduit au même dénominateur.

Vrai ou faux avec justification. Pour montrer qu'une affirmation est vraie dans tous les cas, il faut un raisonnement. Pour montrer qu'elle est fausse, un seul contre-exemple suffit.

Pour les nombres irrationnels (comme $\sqrt{2}$ ou $\pi$), rappelle-toi qu'un nombre n'est pas forcément « simple » quand on le combine avec un autre : par exemple, $\sqrt{2}\times\sqrt{2} = 2$ est un nombre entier alors que chaque facteur est irrationnel.

L'essentiel

• Fractions usuelles à connaître : $\dfrac{1}{2} = 0{,}5$ ; $\dfrac{1}{4} = 0{,}25$ ; $\dfrac{3}{4} = 0{,}75$ ; $\dfrac{k}{5} = 0{,}2k$ pour $k = 1, \ldots, 4$.

• Arrondis : $\dfrac{1}{3} \approx 0{,}33$ et $\dfrac{2}{3} \approx 0{,}67$ au centième. On regarde le chiffre suivant, et on écrit $\approx$, pas $=$.

• Évolutions : $CM = 1 + t$ ; successives : on multiplie les $CM$ ; réciproque : $\dfrac{1}{CM}$. $+20\ \%$ puis $-20\ \%$ ne ramène pas à la valeur de départ.

• Puissances : $10^{-2} = 0{,}01$ ; $a^m \times a^n = a^{m+n}$ ; $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ ; ordre de grandeur en arrondissant à un chiffre significatif.

• Inégalités : on change le sens en multipliant par un nombre négatif ; on compare par la différence ; un seul contre-exemple suffit pour réfuter.