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Automatismes de seconde · Automatismes de seconde

Calcul numérique et algébrique

Au début de la seconde, beaucoup de contrôles commencent par une « série flash » : 6 questions, aucune justification, quelques minutes, parfois sans calculatrice. Le but est d'avoir les bons réflexes de calcul sans réfléchir longtemps. Comment gagner du temps sur $\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{4}$, sur $\sqrt{50}$ ou sur $(2x-1)^2$ ? Cette page rassemble les méthodes à connaître par cœur.

Fractions et puissances

Pour additionner ou soustraire deux fractions, on les met au même dénominateur. Pour multiplier, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse.

À connaître : $\dfrac12=0{,}5$ ; $\dfrac14=0{,}25$ ; $\dfrac34=0{,}75$ ; $\dfrac15=0{,}2$, $\dfrac25=0{,}4$, $\dfrac35=0{,}6$, $\dfrac45=0{,}8$. Arrondis à connaître : $\dfrac13\approx0{,}33$ et $\dfrac23\approx0{,}67$.

Puissances

Pour $a\neq0$ et $n$ entier : $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$ et $a^0=1$. Les règles se justifient en écrivant les produits : $a^3\times a^2=a\,a\,a\times a\,a=a^5$.

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Cette série comporte 6 questions. Aucune justification n'est demandée. 1. Calculer $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}$. 2. Calculer $\dfrac{2}{3}\times\dfrac{9}{4}$ et donner le…

Cette série comporte 6 questions. Aucune justification n'est demandée.

  1. Calculer $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}$.

  2. Calculer $\dfrac{2}{3}\times\dfrac{9}{4}$ et donner le résultat sous forme de fraction irréductible.

  3. Calculer $2^{-3}$.

  4. Développer $3(x-4)$.

  5. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $2x+5=11$.

  6. Donner l'écriture décimale de $\dfrac{3}{4}$.

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Cette série comporte 6 questions. Aucune justification n'est demandée. 1. Calculer $\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{4}$. 2. Écrire $\dfrac{84}{126}$ sous forme de fraction…

Cette série comporte 6 questions. Aucune justification n'est demandée.

  1. Calculer $\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{4}$.

  2. Écrire $\dfrac{84}{126}$ sous forme de fraction irréductible.

  3. Écrire $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ sans radical au dénominateur.

  4. Calculer $(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)$.

  5. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $|x-2|\leqslant3$. Donner l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.

  6. Calculer $\sqrt{(-7)^2}$.

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Cette série comporte 6 questions. Aucune justification n'est demandée. 1. Pour $x\neq0$ et $x\neq-1$, écrire $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+1}$ sous la forme d'une seule…

Cette série comporte 6 questions. Aucune justification n'est demandée.

  1. Pour $x\neq0$ et $x\neq-1$, écrire $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+1}$ sous la forme d'une seule fraction.

  2. Pour $x\neq-3$, simplifier $\dfrac{x^2-9}{x+3}$.

  3. Résoudre dans $\mathbb{R}\setminus\{-2\}$ l'équation $\dfrac{x-1}{x+2}=0$.

  4. Écrire $\dfrac{2^{5}\times9^{2}}{6^{4}}$ sous la forme d'un entier.

  5. Développer et réduire $(\sqrt{3}+1)^2$.

  6. Dans l'égalité $3x+2y=6$, exprimer $x$ en fonction de $y$.

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Racines carrées

$\sqrt{a}$ est le nombre positif dont le carré vaut $a$ (pour $a\geqslant0$). Deux règles à retenir, pour $a,b\geqslant0$ :

Pourquoi $\sqrt{a^2}=|a|$ ? Parce qu'une racine carrée est toujours positive : $\sqrt{(-7)^2}=\sqrt{49}=7$, et non $-7$.

Démonstration de $\sqrt{ab}=\sqrt a\times\sqrt b$ : pour $a,b\geqslant0$, le nombre $\sqrt a\times\sqrt b$ est positif et son carré vaut $(\sqrt a)^2(\sqrt b)^2=ab$. Or $\sqrt{ab}$ est le seul nombre positif de carré $ab$ : les deux nombres sont égaux.

Démonstration de $\sqrt a<\sqrt b\iff a0$, on a $b-a=(\sqrt b-\sqrt a)(\sqrt b+\sqrt a)$ avec $\sqrt b+\sqrt a>0$. Donc $b-a$ et $\sqrt b-\sqrt a$ ont le même signe : $a

Écrire sans radical au dénominateur

On multiplie en haut et en bas par $\sqrt3$ : $\dfrac{1}{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{\sqrt3\times\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{3}$.

Avec une somme au dénominateur, on utilise la quantité conjuguée et l'identité $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ : $(\sqrt5-2)(\sqrt5+2)=5-4=1$.

Pour comparer deux nombres positifs, on compare leurs carrés : $(3\sqrt2)^2=18>16=4^2$, donc $3\sqrt2>4$.

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Cette série comporte 6 questions. Aucune justification n'est demandée. 1. Calculer $\dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{3}$ et donner le résultat sous forme de fraction irréductible.…

Cette série comporte 6 questions. Aucune justification n'est demandée.

  1. Calculer $\dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{3}$ et donner le résultat sous forme de fraction irréductible.

  2. Écrire $10^{3}\times10^{-5}$ sous la forme d'une puissance de 10.

  3. Calculer $\sqrt{49}+\sqrt{16}$.

  4. Développer $(x+3)^2$.

  5. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $3x-7=2x+1$.

  6. Calculer $(-3)^2$.

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Cette série comporte 6 questions. Aucune justification n'est demandée. 1. Écrire $\dfrac{3^{5}\times3^{-2}}{3^{4}}$ sous la forme d'une puissance de 3. 2. Écrire…

Cette série comporte 6 questions. Aucune justification n'est demandée.

  1. Écrire $\dfrac{3^{5}\times3^{-2}}{3^{4}}$ sous la forme d'une puissance de 3.

  2. Écrire $\sqrt{50}$ sous la forme $a\sqrt{2}$, où $a$ est un entier.

  3. Développer et réduire $(2x-1)^2$.

  4. Factoriser $x^2-25$.

  5. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $-2x+3<9$. Donner l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.

  6. Dans la relation $d=vt$ où $t\neq0$, exprimer $v$ en fonction de $d$ et $t$.

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Cette série comporte 6 questions. Aucune justification n'est demandée. 1. Développer et réduire $(x-2)^2-(x+2)^2$. 2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation…

Cette série comporte 6 questions. Aucune justification n'est demandée.

  1. Développer et réduire $(x-2)^2-(x+2)^2$.

  2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $-3x+1\geqslant2x-9$.

  3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $|x+1|=4$.

  4. Écrire $\dfrac{4}{3-\sqrt{5}}$ sans radical au dénominateur.

  5. Comparer $\dfrac{7}{9}$ et $\dfrac{8}{11}$.

  6. Dans la relation $V=\pi r^2h$ avec $r>0$ et $h>0$, exprimer $r$ en fonction de $V$ et $h$.

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Développer et factoriser

Développer, c'est transformer un produit en somme ; factoriser, c'est faire l'inverse.

La première méthode de factorisation est la mise en facteur commun : on repère un facteur présent dans tous les termes, puis on le met devant une parenthèse.

Les identités remarquables servent ensuite dans les deux sens.

Pourquoi le terme $2ab$ ? Un carré de côté $a+b$ se découpe en un carré $a^2$, un carré $b^2$ et deux rectangles $ab$.

Carré de côté a + b découpé en un carré a², un carré b² et deux rectangles ab a²b²abab
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Cette série comporte 6 questions. Aucune justification n'est demandée. 1. Donner l'écriture décimale de $\dfrac{3}{5}$. 2. Calculer $\dfrac{1}{2}\div\dfrac{1}{4}$. 3.…

Cette série comporte 6 questions. Aucune justification n'est demandée.

  1. Donner l'écriture décimale de $\dfrac{3}{5}$.

  2. Calculer $\dfrac{1}{2}\div\dfrac{1}{4}$.

  3. Calculer la valeur de $2x^2-3$ pour $x=-2$.

  4. Factoriser $5x+10$.

  5. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\dfrac{x}{3}=4$.

  6. Le nombre $7$ appartient-il à l'intervalle $]2\,;\,7[$ ?

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Cette série comporte 6 questions. Aucune justification n'est demandée. 1. Calculer $(3\times10^{4})\times(2\times10^{-6})$ et donner le résultat en écriture décimale. 2.…

Cette série comporte 6 questions. Aucune justification n'est demandée.

  1. Calculer $(3\times10^{4})\times(2\times10^{-6})$ et donner le résultat en écriture décimale.

  2. Factoriser $(x+1)^2-9$.

  3. Développer et réduire $(2x+3)(x-1)$.

  4. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $(x-3)(2x+4)=0$.

  5. Déterminer $[1\,;\,5]\cap\,]3\,;\,8[$.

  6. Comparer $3\sqrt{2}$ et $4$.

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Cette série comporte 6 questions. Aucune justification n'est demandée. 1. Développer et réduire $(x-2)^2-(x+2)^2$. 2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation…

Cette série comporte 6 questions. Aucune justification n'est demandée.

  1. Développer et réduire $(x-2)^2-(x+2)^2$.

  2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $-3x+1\geqslant2x-9$.

  3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $|x+1|=4$.

  4. Écrire $\dfrac{4}{3-\sqrt{5}}$ sans radical au dénominateur.

  5. Comparer $\dfrac{7}{9}$ et $\dfrac{8}{11}$.

  6. Dans la relation $V=\pi r^2h$ avec $r>0$ et $h>0$, exprimer $r$ en fonction de $V$ et $h$.

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Équations, inéquations, intervalles

Équations du premier degré et produits

On isole $x$ en faisant la même opération des deux côtés : $3x-7=2x+1\iff x=8$.

Avec des fractions, on réduit au même dénominateur (ou on multiplie les deux membres par le dénominateur commun).

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : $(x-3)(2x+4)=0\iff x=3$ ou $x=-2$.

Pour un quotient, on exclut d'abord les valeurs interdites : $\dfrac{x-1}{x+2}=0$ sur $\mathbb{R}\setminus\{-2\}$ équivaut à $x-1=0$, donc $x=1$.

Inéquations

Même méthode, avec une règle en plus : multiplier ou diviser par un nombre négatif change le sens de l'inégalité.

Pour un produit ou un quotient, on utilise un tableau de signes.

Intervalles et valeur absolue

$|x-a|$ est la distance entre $x$ et $a$. Ainsi $|x-2|\leqslant3$ signifie : $x$ est à une distance de 2 d'au plus 3, donc $x\in[-1\,;\,5]$. De même $|x+1|=4$ donne $x=3$ ou $x=-5$.

Droite graduée avec l'intervalle [-1 ; 5] centré en 2 de rayon 3 -125

Pour l'intersection $\cap$ on garde ce qui est dans les deux ensembles : $[1\,;\,5]\cap\,]3\,;\,8[=\,]3\,;\,5]$. La réunion $\cup$ rassemble tout.

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Cette série comporte 6 questions. Aucune justification n'est demandée. 1. Donner l'écriture décimale de $\dfrac{3}{5}$. 2. Calculer $\dfrac{1}{2}\div\dfrac{1}{4}$. 3.…

Cette série comporte 6 questions. Aucune justification n'est demandée.

  1. Donner l'écriture décimale de $\dfrac{3}{5}$.

  2. Calculer $\dfrac{1}{2}\div\dfrac{1}{4}$.

  3. Calculer la valeur de $2x^2-3$ pour $x=-2$.

  4. Factoriser $5x+10$.

  5. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\dfrac{x}{3}=4$.

  6. Le nombre $7$ appartient-il à l'intervalle $]2\,;\,7[$ ?

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Cette série comporte 6 questions. Aucune justification n'est demandée. 1. Calculer $\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{4}$. 2. Écrire $\dfrac{84}{126}$ sous forme de fraction…

Cette série comporte 6 questions. Aucune justification n'est demandée.

  1. Calculer $\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{4}$.

  2. Écrire $\dfrac{84}{126}$ sous forme de fraction irréductible.

  3. Écrire $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ sans radical au dénominateur.

  4. Calculer $(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)$.

  5. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $|x-2|\leqslant3$. Donner l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.

  6. Calculer $\sqrt{(-7)^2}$.

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Cette série comporte 6 questions. Aucune justification n'est demandée. 1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\dfrac{x}{2}-\dfrac{x}{3}=1$. 2. Résoudre dans…

Cette série comporte 6 questions. Aucune justification n'est demandée.

  1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\dfrac{x}{2}-\dfrac{x}{3}=1$.

  2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $(x-1)(x+3)>0$.

  3. Résoudre dans $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ l'inéquation $\dfrac{x-2}{x+1}\leqslant0$.

  4. Calculer $\dfrac{(-2)^{3}\times4^{-1}}{2^{-2}}$.

  5. Écrire $\sqrt{12}+\sqrt{27}$ sous la forme $a\sqrt{3}$, où $a$ est un entier.

  6. Factoriser $4x^2-12x+9$.

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Expressions fractionnaires et formules

Pour mettre $\dfrac1x+\dfrac1{x+1}$ sous une seule fraction (avec $x\neq0$ et $x\neq-1$), on réduit au même dénominateur $x(x+1)$ :

$$\frac{x+1}{x(x+1)}+\frac{x}{x(x+1)}=\frac{2x+1}{x(x+1)}.$$

Pour simplifier, on factorise d'abord : pour $x\neq-3$, $\dfrac{x^2-9}{x+3}=\dfrac{(x-3)(x+3)}{x+3}=x-3$.

Pour isoler une variable dans une formule, on procède comme pour une équation, en ne traitant que la lettre voulue.

Autres cas : $d=vt$ avec $t\neq0$ donne $v=\dfrac dt$ ; $3x+2y=6$ donne $x=\dfrac{6-2y}{3}$.

Enfin, pour comparer $\dfrac79$ et $\dfrac8{11}$, on réduit au même dénominateur (99) : $\dfrac{77}{99}$ et $\dfrac{72}{99}$, donc $\dfrac79>\dfrac8{11}$.

Retour au début : face à une série flash, on repère la méthode (même dénominateur, identité remarquable, tableau de signes, isoler) avant de calculer.

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Cette série comporte 6 questions. Aucune justification n'est demandée. 1. Écrire $\dfrac{3^{5}\times3^{-2}}{3^{4}}$ sous la forme d'une puissance de 3. 2. Écrire…

Cette série comporte 6 questions. Aucune justification n'est demandée.

  1. Écrire $\dfrac{3^{5}\times3^{-2}}{3^{4}}$ sous la forme d'une puissance de 3.

  2. Écrire $\sqrt{50}$ sous la forme $a\sqrt{2}$, où $a$ est un entier.

  3. Développer et réduire $(2x-1)^2$.

  4. Factoriser $x^2-25$.

  5. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $-2x+3<9$. Donner l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.

  6. Dans la relation $d=vt$ où $t\neq0$, exprimer $v$ en fonction de $d$ et $t$.

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Cette série comporte 6 questions. Aucune justification n'est demandée. 1. Pour $x\neq0$ et $x\neq-1$, écrire $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+1}$ sous la forme d'une seule…

Cette série comporte 6 questions. Aucune justification n'est demandée.

  1. Pour $x\neq0$ et $x\neq-1$, écrire $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+1}$ sous la forme d'une seule fraction.

  2. Pour $x\neq-3$, simplifier $\dfrac{x^2-9}{x+3}$.

  3. Résoudre dans $\mathbb{R}\setminus\{-2\}$ l'équation $\dfrac{x-1}{x+2}=0$.

  4. Écrire $\dfrac{2^{5}\times9^{2}}{6^{4}}$ sous la forme d'un entier.

  5. Développer et réduire $(\sqrt{3}+1)^2$.

  6. Dans l'égalité $3x+2y=6$, exprimer $x$ en fonction de $y$.

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L'essentiel

À s'entraîner ! 9 exercices dans cette section
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