Puissances d'exposant rationnel : radicaux

Exprimer sous forme de radical les puissances d'exposant fractionnaire suivantes et calculer leur valeur exacte si c'est un nombre entier :

• a) $27^{\frac{1}{3}}$

• b) $16^{\frac{3}{4}}$

• c) $5^{\frac{2}{3}}$

Écrire sous forme de puissance d'exposant fractionnaire les radicaux suivants et simplifier la fraction de l'exposant :

• a) $\sqrt[6]{x^2}$

• b) $\sqrt[15]{a^5}$

• c) $\sqrt[8]{2^6}$

Hélène doit calculer la valeur exacte de la puissance $32^{-2/5}$. Dans son cahier, elle écrit la résolution suivante :

Arrivée à ce point, elle s'arrête et affirme que le résultat ne peut pas être calculé à la main parce que $32^5$ est un nombre trop grand.

1. a) Trouver et expliquer de façon argumentée les deux erreurs conceptuelles commises par Hélène dans l'application des propriétés des exposants et des radicaux.
2. b) Présenter le développement correct étape par étape pour obtenir la valeur numérique sous forme de fraction irréductible.
3. c) Justifier pourquoi, pour calculer à la main une expression de la forme $a^{m/n}$, il est beaucoup plus commode d'appliquer d'abord la racine puis la puissance, plutôt que dans l'ordre inverse.

Extraire tous les facteurs possibles de l'intérieur des radicaux suivants :

• a) $\sqrt{50}$

• b) $\sqrt[3]{16}$

• c) $\sqrt[4]{x^7 y^5}$

Introduire les facteurs dans le radical et simplifier l'expression obtenue si possible :

• a) $3 \sqrt{2}$

• b) $x^2 \sqrt[3]{x}$

• c) $2a \sqrt[4]{3a^2}$, avec $a \ge 0$

On souhaite estimer la valeur numérique de la puissance d'exposant rationnel $50^{3/2}$ sans utiliser la calculatrice.

1. a) Faire une estimation préalable argumentée : écrire $50^{3/2}$ sous forme de radical et observer que le nombre $50$ est très proche du carré parfait $49$. De quel nombre entier le résultat final devrait-il être très proche ? Justifier votre conjecture.
2. b) Écrire $50^{3/2}$ comme un radical de la forme $\sqrt{50^3}$, décomposer le radicande en facteurs premiers et extraire tous les facteurs possibles hors de la racine.
3. c) En prenant l'approximation $\sqrt{2} \approx 1,414$, calculer la valeur décimale approchée à partir de l'expression simplifiée de la question précédente et vérifier si votre estimation initiale de la question a) était cohérente en calculant la différence entre les deux valeurs.

Effectuer les produits de radicaux de même indice suivants et extraire des facteurs du résultat si possible :

• a) $\sqrt{3} \cdot \sqrt{12}$

• b) $\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{10}$

Calculer et simplifier le résultat des quotients de radicaux suivants :

• a) $\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}$

• b) $\frac{\sqrt[3]{40}}{\sqrt[3]{5}}$

Calculer les puissances de radicaux suivantes, en introduisant l'exposant dans le radicande et en exprimant le résultat sous la forme la plus simple possible :

• a) $(\sqrt[3]{5})^6$

• b) $(\sqrt{x^3})^4$

Un architecte paysagiste conçoit un espace vert en forme de triangle scalène et doit calculer son périmètre pour commander une clôture. Les plans indiquent que les côtés mesurent $\sqrt{48}$ m, $\sqrt{75}$ m et $\sqrt{12}$ m. Simplifier les radicaux en extrayant des facteurs et calculer le périmètre exact exprimé sous la forme d'un unique radical.

Une coopérative agricole souhaite clôturer un terrain de forme carrée dont l'aire totale est de $1250 \text{ m}^2$. Calculer la longueur exacte du côté du terrain en extrayant des facteurs du radical et déterminer combien de mètres de clôture seront nécessaires au total, en laissant le résultat sous sa forme radicale la plus simple.

Exprimer sous la forme d'un unique radical en utilisant la propriété de la racine d'une racine et simplifier l'indice si possible :

• a) $\sqrt{\sqrt[3]{64}}$

• b) $\sqrt[4]{\sqrt{x^8}}$

Pour la fabrication de trois composants électroniques, on a besoin de feuilles protectrices dont les épaisseurs, mesurées en millimètres, sont données par les expressions $A = \sqrt[3]{5}$, $B = \sqrt[4]{7}$ et $C = \sqrt[6]{24}$. Réduire les radicaux au même indice pour ranger les épaisseurs des feuilles par ordre croissant.

Effectuer les opérations suivantes en réduisant d'abord au même indice et extraire les facteurs possibles du résultat final :

• a) $\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[4]{8}$

• b) $\frac{\sqrt[4]{27}}{\sqrt[6]{3}}$

Calculer en utilisant les propriétés des puissances fractionnaires et exprimer le résultat final sous la forme d'une racine simplifiée :

Simplifier l'expression suivante contenant des radicaux imbriqués en introduisant progressivement les facteurs dans les radicaux les plus internes et en exprimant le résultat final sous la forme d'une seule racine :

Pour simplifier l'expression avec radicaux $E = \frac{\sqrt[3]{16} \cdot \sqrt[4]{8}}{\sqrt[6]{32}}$, on peut envisager deux stratégies de résolution :

• Méthode 1 (exposant rationnel) : exprimer chaque radicande en base $2$, convertir toutes les racines en puissances fractionnaires et calculer en appliquant les propriétés du produit et du quotient de puissances de même base.

• Méthode 2 (indice commun) : exprimer chaque radicande en base $2$, réduire tous les radicaux au plus petit indice commun et calculer sous une seule racine, puis simplifier et extraire des facteurs.

1. a) Appliquer la méthode 1 en détaillant chaque étape et écrire le résultat final sous la forme d'un radical irréductible avec les facteurs extraits.
2. b) Appliquer la méthode 2 en détaillant chaque étape et vérifier que l'on obtient exactement le même résultat.
3. c) Comparer les deux méthodes : quelle relation mathématique existe-t-il entre le PPCM des dénominateurs des puissances fractionnaires et l'indice commun des radicaux ? Laquelle des deux méthodes vous a paru la plus directe et pourquoi ?

Simplifier au maximum l'expression littérale suivante, en supposant que $a$ et $b$ sont des nombres réels positifs. Exprimer le résultat final en notation radicale, sans laisser d'exposants négatifs ni fractionnaires dans la solution :

Démontrer, en utilisant rigoureusement les propriétés des puissances d'exposant rationnel, que pour tout nombre réel positif $x$, l'expression $\sqrt[n]{\sqrt[m]{x}}$ est équivalente à $\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}}$. Appliquer ensuite cette propriété ou le passage aux puissances pour calculer la valeur numérique exacte de la somme suivante :

Simplifier l'expression suivante contenant des radicaux imbriqués, en réduisant à un unique indice commun et en extrayant les facteurs possibles hors de la racine obtenue :

Dans un laboratoire de biologie, le nombre de bactéries d'une certaine culture suit l'expression $N(t) = 5000 \cdot 8^{\frac{t}{3}}$, où $t$ est le temps écoulé en heures. Exprimer cette formule à l'aide de radicaux et calculer le nombre exact de bactéries au bout de $2$ heures.

Une place circulaire a une aire de $120\pi$ m$^2$. Sachant que l'aire d'un disque est donnée par la formule $A = \pi r^2$, calculer le rayon exact de la place en simplifiant le radical au maximum.

Pour le traitement numérique d'un signal électrique positif $a$, une équipe de télécommunications doit combiner deux filtres représentés par des radicaux de sorte que l'égalité suivante soit vérifiée :

où les indices des filtres, $m$ et $n$, doivent être des entiers strictement positifs vérifiant la condition $m < n$.

1. a) Écrire le membre de gauche sous la forme d'une unique puissance de base $a$ et d'exposant fractionnaire en fonction de $m$ et $n$.
2. b) À partir de l'égalité des exposants, déduire de façon argumentée quels sont les deux seuls couples d'entiers $(m, n)$ possibles qui vérifient la condition avec $m < n$. Justifier pourquoi il ne peut y avoir aucune autre combinaison.
3. c) Pour chacun des deux couples trouvés, vérifier l'égalité en réduisant les radicaux du membre de gauche au même indice.

La grande diagonale d'un réservoir d'eau cubique (le segment qui relie deux sommets opposés en passant par le centre du cube) mesure exactement $\sqrt{108}$ mètres. Calculer la longueur exacte de l'arête du cube et, à partir de celle-ci, déterminer la capacité du réservoir en mètres cubes. Exprimer tous les résultats en simplifiant les radicaux.

La troisième loi de Kepler relie la période orbitale $T$ d'une planète au rayon moyen de son orbite $r$ par l'expression $T = k^{\frac{1}{2}} \cdot r^{\frac{3}{2}}$. Si, pour un système stellaire fictif, la constante est $k = 4 \cdot 10^{-6}$ et qu'une planète orbite à un rayon moyen $r = 25 \cdot 10^4$ km, calculer la période orbitale exacte en utilisant les propriétés des puissances d'exposant rationnel et des radicaux.

Déterminer la valeur de $x$ qui vérifie l'équation suivante, en transformant au préalable toutes les expressions en puissances de base $2$ d'exposants rationnels :

Exprimer la solution finale sous la forme d'une fraction irréductible.

Le capital final $C_f$ obtenu en plaçant un capital initial $C_0$ à un taux d'intérêt composé annuel $r$ (exprimé sous forme décimale) pendant $t$ ans est donné par la formule $C_f = C_0 (1+r)^t$. Une entreprise place $10000$ € à un taux de $21$ % par an ($r = 0,21$). En utilisant des puissances d'exposant fractionnaire, calculer de façon exacte le capital accumulé au bout de $1$ an et $4$ mois (ce qui équivaut à $t = \frac{4}{3}$ d'année). Sachant que $1,21 = 1,1^2$, simplifier le résultat en extrayant les facteurs possibles du radical.

En navigation maritime, la distance $d$ (en kilomètres) à laquelle se trouve l'horizon visible pour un observateur situé à une hauteur $h$ (en mètres) au-dessus du niveau de la mer est approchée par la formule $d = \sqrt{13h}$. Deux observateurs se trouvent en différents points d'une falaise, à des hauteurs de $h_1 = 52$ m et $h_2 = 117$ m respectivement. Calculer la différence exacte de leurs distances à l'horizon visible, en simplifiant l'expression $\sqrt{13 \cdot 117} - \sqrt{13 \cdot 52}$ par extraction de facteurs.

Dans les programmes de suivi de la faune du parc national de Doñana, l'équipe vétérinaire utilise la loi allométrique de Kleiber pour estimer le métabolisme basal quotidien $B(M)$ (énergie consommée au repos, en kilocalories par jour) d'un mammifère en fonction de sa masse corporelle $M$ (en kilogrammes) :

1. a) Exprimer la formule de $B(M)$ à l'aide de radicaux et calculer de façon exacte la consommation énergétique quotidienne d'un lynx ibérique adulte de $16\text{ kg}$ et celle d'une biche de $81\text{ kg}$.
2. b) La biche a une masse environ $5$ fois plus grande que celle du lynx ($81/16 \approx 5,06$). Montrer si sa dépense énergétique quotidienne est elle aussi multipliée par $5$ en calculant le quotient exact $\frac{B(81)}{B(16)}$ à l'aide des propriétés des puissances fractionnaires.
3. c) Le taux métabolique spécifique par unité de masse est défini par $b(M) = \frac{B(M)}{M}$. Démontrer algébriquement, en appliquant les propriétés des puissances d'exposant rationnel, que $b(M) = \frac{70}{\sqrt[4]{M}}$. À partir de cette formule, justifier pourquoi les plus petits mammifères de la faune ibérique ont besoin d'ingérer proportionnellement beaucoup plus de nourriture par kilo de leur propre corps que les grands herbivores.

Dans une usine automobile de Martorell, le temps de coupe $T$ (en secondes) d'un robot laser sur une tôle d'épaisseur $x$ (en millimètres, avec $x > 0$) est modélisé par l'expression :

1. a) Convertir successivement chaque radical en puissance d'exposant rationnel et simplifier l'expression complète étape par étape jusqu'à obtenir une puissance unique de la forme $T(x) = x^k$, en indiquant la valeur de la fraction irréductible $k$.
2. b) Pour une pièce structurelle à haute résistance, le robot a mis exactement $8$ secondes pour effectuer la coupe. Poser l'équation $T(x) = 8$ et calculer l'épaisseur exacte $x$ de la tôle en l'isolant à l'aide d'exposants rationnels. Exprimer le résultat final en extrayant tous les facteurs possibles d'un radical irréductible.
3. c) Un technicien d'atelier soutient que si l'on double l'épaisseur de la tôle ($2x$), le temps de coupe sera lui aussi doublé. Démontrer formellement si son affirmation est vraie ou fausse en calculant le rapport $\frac{T(2x)}{T(x)}$ et en l'exprimant sous la forme d'un radical irréductible.