Statistiques
Au lycée, les premières minutes d'un contrôle sont souvent des « questions flash » : réponses courtes, sans calculatrice, sans justification. Exemple : dans une classe de 30 élèves, 12 vont au lycée en vélo ou en trottinette. Quelle fréquence cela représente-t-il ? Et comment calculer vite la moyenne de deux classes ? Cette page rassemble les réflexes de statistique à acquérir.
Moyenne, médiane, étendue
La moyenne $\bar{x}$ est la somme des valeurs divisée par leur nombre. La médiane partage la série ordonnée en deux groupes de même effectif. L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur.
Pourquoi « pondérée » ? Parce qu'une valeur présente 8 fois compte 8 fois plus qu'une valeur présente une seule fois.
Pour la médiane, on range les valeurs dans l'ordre croissant :
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effectif total $N$ impair : c'est la valeur du milieu ;
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effectif total $N$ pair : c'est un nombre compris entre les deux valeurs centrales (on prend en général leur moyenne).
Les mêmes idées servent pour un tableau d'effectifs : on lit l'effectif total (somme des effectifs), on calcule $\sum n_ix_i$, puis on divise. Pour la médiane, on cherche la position (par exemple la 10e valeur d'une série de 19) dans les effectifs cumulés.
Cela se comprend bien : si tout le monde gagne 2 points, la moyenne gagne 2 points ; si tous les prix triplent, le prix moyen triple.
Cette série comporte 5 questions. Aucune justification n'est demandée. Cinq élèves ont obtenu les notes suivantes : 8 ; 12 ; 10 ; 14 ; 16. 1. Calculer la moyenne de…
Cette série comporte 5 questions. Aucune justification n'est demandée.
Cinq élèves ont obtenu les notes suivantes : 8 ; 12 ; 10 ; 14 ; 16.
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Calculer la moyenne de cette série.
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Déterminer la médiane de cette série.
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Calculer l'étendue de cette série.
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Dans un groupe de 40 élèves, 10 pratiquent la natation. Calculer la fréquence des nageurs, en pourcentage.
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Calculer la moyenne de la série 4 ; 6 ; 8 ; 10.
Cette série comporte 6 questions. Aucune justification n'est demandée. On a interrogé des élèves d'une classe sur leur nombre de frères et sœurs. | Nombre de frères et…
Cette série comporte 6 questions. Aucune justification n'est demandée.
On a interrogé des élèves d'une classe sur leur nombre de frères et sœurs.
| Nombre de frères et sœurs | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| Effectif | 4 | 8 | 5 | 3 |
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Donner l'effectif total.
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Calculer la fréquence des élèves ayant exactement un frère ou une sœur, en pourcentage.
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Combien d'élèves ont au moins deux frères et sœurs ?
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Calculer le nombre moyen de frères et sœurs par élève.
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Déterminer la médiane de cette série.
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Donner le mode de cette série.
Cette série comporte 6 questions. Aucune justification n'est demandée. Lors d'un contrôle, la classe A compte 20 élèves et a obtenu une moyenne de 12. La classe B compte…
Cette série comporte 6 questions. Aucune justification n'est demandée.
Lors d'un contrôle, la classe A compte 20 élèves et a obtenu une moyenne de 12. La classe B compte 30 élèves et a obtenu une moyenne de 14.
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Calculer la somme des notes de la classe A.
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Calculer la somme des notes de la classe B.
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Calculer la moyenne des 50 élèves.
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Une série a pour moyenne 10. On ajoute 2 à chaque valeur. Quelle est la nouvelle moyenne ?
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Une série a pour moyenne 10. On multiplie chaque valeur par 3. Quelle est la nouvelle moyenne ?
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Un élève a obtenu 10 avec le coefficient 1 puis 14 avec le coefficient 3. Calculer sa moyenne pondérée.
Fréquences et tableaux croisés
La fréquence d'une valeur est $f=\dfrac{\text{effectif}}{\text{effectif total}}$. Elle est comprise entre 0 et 1 et s'exprime souvent en pourcentage. Le mode est la valeur d'effectif le plus grand.
Un tableau croisé classe les individus selon deux caractères. Les effectifs de la dernière ligne et de la dernière colonne (les totaux) servent à calculer :
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la fréquence marginale : effectif d'une ligne ou colonne de total, divisé par l'effectif de l'ensemble ;
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la fréquence conditionnelle : effectif de la case, divisé par le total du sous-groupe considéré.
| Demi-pensionnaires | Externes | Total | |
|---|---|---|---|
| Filles | 80 | 20 | 100 |
| Garçons | 70 | 30 | 100 |
| Total | 150 | 50 | 200 |
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Fréquence marginale des externes : $\dfrac{50}{200}=25\,\%$.
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Parmi les filles, fréquence des demi-pensionnaires : $\dfrac{80}{100}=80\,\%$ (on divise par 100, pas par 200).
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Parmi les externes, fréquence des garçons : $\dfrac{30}{50}=60\,\%$.
Pour un « pourcentage de pourcentage », on multiplie les proportions : 45 % de femmes, dont 40 % à vélo, donne $0{,}45\times0{,}40=0{,}18$, soit $18\,\%$ de l'ensemble.
Cette série comporte 6 questions. Aucune justification n'est demandée. On a interrogé 200 élèves de seconde sur leur mode de restauration. Les résultats figurent dans le…
Cette série comporte 6 questions. Aucune justification n'est demandée.
On a interrogé 200 élèves de seconde sur leur mode de restauration. Les résultats figurent dans le tableau croisé suivant :
| Demi-pensionnaires | Externes | Total | |
|---|---|---|---|
| Filles | 80 | 20 | 100 |
| Garçons | 70 | 30 | 100 |
| Total | 150 | 50 | 200 |
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Calculer la fréquence marginale des demi-pensionnaires, en pourcentage.
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Parmi les filles, quel pourcentage est demi-pensionnaire ?
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Parmi les garçons, quel pourcentage est demi-pensionnaire ?
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Parmi les externes, quel pourcentage est constitué de filles ?
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Quel pourcentage des 200 élèves est constitué de filles externes ?
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Les filles sont-elles proportionnellement plus nombreuses à être demi-pensionnaires que les garçons ?
Cette série comporte 5 questions. Aucune justification n'est demandée. On a interrogé 800 personnes. Parmi elles, 45 % sont des femmes. Parmi les femmes, 40 % se…
Cette série comporte 5 questions. Aucune justification n'est demandée.
On a interrogé 800 personnes. Parmi elles, 45 % sont des femmes. Parmi les femmes, 40 % se déplacent à vélo. Parmi les hommes, 30 % se déplacent à vélo.
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Calculer le nombre de femmes et le nombre d'hommes.
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Calculer le nombre de femmes se déplaçant à vélo.
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Calculer le nombre total de personnes se déplaçant à vélo, puis la proportion correspondante, en pourcentage.
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Quel pourcentage des 800 personnes interrogées est constitué de femmes se déplaçant à vélo ?
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Parmi les personnes se déplaçant à vélo, quelle est la proportion de femmes ? Donner le résultat sous forme de fraction irréductible.
Quartiles et écart interquartile
Les quartiles découpent la série ordonnée en quatre parts.
La médiane suit la même logique avec $50\,\%$. L'écart interquartile est $Q_3-Q_1$ : il mesure la dispersion des 50 % de valeurs « centrales ». Il ne dépend pas des valeurs extrêmes.
Un diagramme en boîte représente le résumé : minimum, $Q_1$, médiane, $Q_3$, maximum.
Pour ce résumé : étendue $20-2=18$, écart interquartile $12-5=7$. Au moins $25\,\%$ des valeurs sont $\leqslant Q_1$, au moins $50\,\%$ sont $\leqslant 8$, au moins $75\,\%$ sont $\leqslant Q_3$, et au moins $50\,\%$ sont entre $Q_1$ et $Q_3$.
Cette série comporte 5 questions. Aucune justification n'est demandée. Une série statistique a pour résumé : minimum $2$, $Q_1=5$, médiane $8$, $Q_3=12$, maximum $20$.…
Cette série comporte 5 questions. Aucune justification n'est demandée.
Une série statistique a pour résumé : minimum $2$, $Q_1=5$, médiane $8$, $Q_3=12$, maximum $20$.
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Calculer l'étendue de cette série.
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Calculer l'écart interquartile de cette série.
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Au moins quel pourcentage des valeurs est inférieur ou égal à $8$ ?
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Au moins quel pourcentage des valeurs est inférieur ou égal à $12$ ?
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Au moins quel pourcentage des valeurs est compris entre $Q_1$ et $Q_3$ ?
Cette série comporte 6 questions. Aucune justification n'est demandée. On considère la série de 11 valeurs rangées dans l'ordre croissant : 3 ; 4 ; 6 ; 7 ; 9 ; 10 ; 12 ;…
Cette série comporte 6 questions. Aucune justification n'est demandée.
On considère la série de 11 valeurs rangées dans l'ordre croissant : 3 ; 4 ; 6 ; 7 ; 9 ; 10 ; 12 ; 13 ; 15 ; 18 ; 20.
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Déterminer la médiane.
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Déterminer le premier quartile $Q_1$.
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Déterminer le troisième quartile $Q_3$.
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Calculer l'écart interquartile.
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Calculer l'étendue.
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Au moins quelle proportion des valeurs est comprise entre $Q_1$ et $Q_3$ ?
Écart type
L'écart type $\sigma$ mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne : plus il est grand, plus la série est étalée. Il est nul si et seulement si toutes les valeurs sont égales. En seconde, on le donne en général par la calculatrice ou par un programme Python ; à la main, on ne le calcule que sur de très petites séries.
Pour la série 3 ; 7 : la moyenne est $5$, chaque valeur est à $2$ de la moyenne, donc $\sigma=2$. Pour la série 10 ; 10 ; 10 ; 10 : $\sigma=0$.
Pour des séries de même moyenne, celle qui a le plus grand écart type est la plus dispersée : avec $\sigma_A=2$ et $\sigma_B=5$, la série B est plus dispersée.
Cette série comporte 5 questions. Aucune justification n'est demandée. 1. Calculer la moyenne et l'écart type de la série à deux valeurs : 3 ; 7. 2. Quel est l'écart…
Cette série comporte 5 questions. Aucune justification n'est demandée.
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Calculer la moyenne et l'écart type de la série à deux valeurs : 3 ; 7.
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Quel est l'écart type de la série 10 ; 10 ; 10 ; 10 ?
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Une série a pour moyenne $m=50$ et pour écart type $s=5$. Donner l'intervalle $[m-2s\,;\,m+2s]$.
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Deux séries ont la même moyenne. L'écart type de la série A est $2$ et celui de la série B est $5$. Laquelle est la plus dispersée ?
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La valeur $63$ appartient-elle à l'intervalle obtenu à la question 3 ?
Moyenne et équation
Quand un effectif est inconnu, on écrit la moyenne en fonction de $x$ et on obtient une équation.
Pour la médiane, avec 28 valeurs : la médiane est entre la 14e et la 15e valeur. Les 4 premières valent 8, les 6 suivantes (rangs 5 à 10) valent 12, puis les rangs 11 à 28 valent 16 : les 14e et 15e valent 16, la médiane est $16$.
Cette série comporte 6 questions. Aucune justification n'est demandée. Dans une classe, les notes à un contrôle sont réparties ainsi, où $x$ désigne un entier naturel :…
Cette série comporte 6 questions. Aucune justification n'est demandée.
Dans une classe, les notes à un contrôle sont réparties ainsi, où $x$ désigne un entier naturel :
| Note | 8 | 12 | 16 |
|---|---|---|---|
| Effectif | 4 | 6 | $x$ |
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Exprimer en fonction de $x$ l'effectif total.
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Exprimer en fonction de $x$ la somme des notes.
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Écrire l'équation traduisant que la moyenne de la classe est égale à $14$.
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Résoudre cette équation.
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Pour la valeur de $x$ trouvée, calculer la fréquence de la note 16 sous forme de fraction irréductible.
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Pour cette même valeur de $x$, déterminer la médiane de la série.
L'essentiel
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Moyenne : $\bar{x}=\dfrac{\sum n_ix_i}{N}$ ; ajouter $b$ ou multiplier par $a$ transforme la moyenne de la même façon. Deux moyennes se combinent par une moyenne pondérée.
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Médiane : valeur centrale de la série ordonnée. Étendue : $\max-\min$. Mode : valeur d'effectif maximal.
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Quartiles : $Q_1$ au rang $\lceil N/4\rceil$, $Q_3$ au rang $\lceil 3N/4\rceil$ ; écart interquartile $Q_3-Q_1$ ; au moins 50 % des valeurs sont entre $Q_1$ et $Q_3$.
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Écart type $\sigma$ : mesure de dispersion autour de la moyenne ; intervalle $[m-2s\,;\,m+2s]$.
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Tableau croisé : fréquence marginale (divisée par le total général) ou conditionnelle (divisée par le total du sous-groupe désigné par « parmi »).
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Vérifie toujours la cohérence : une fréquence est entre 0 et 1, une moyenne entre le minimum et le maximum.
Vers la fin : tu peux répondre à la question du début. 12 élèves sur 30 donnent $\dfrac{12}{30}=40\,\%$, et pour deux classes on pondère les moyennes par les effectifs.