Tableau des effectifs

Lors d'une enquête auprès de $20$ élèves, on a posé des questions sur le nombre de frères et sœurs ($X$) et le nombre d'animaux de compagnie ($Y$). Les résultats figurent dans le tableau à double entrée suivant :

Indiquer combien d'élèves ont exactement $1$ frère ou sœur et $2$ animaux de compagnie, et vérifier que la somme de tous les effectifs conjoints est égale au nombre total d'élèves interrogés.

On a demandé à $10$ personnes le nombre de fois où elles vont au cinéma par mois ($X$) et le nombre de livres qu'elles lisent par mois ($Y$). Les réponses obtenues pour chaque individu $(X,Y)$ sont :

$(1, 0), (2, 1), (1, 0), (3, 2), (2, 1), (1, 1), (3, 2), (2, 0), (1, 0), (2, 1)$.

Construire le tableau à double entrée correspondant à ces deux variables en indiquant les effectifs conjoints.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Dans une étude sur les familles, on a relevé le nombre de voitures ($X$) et le nombre de vélos ($Y$). On sait que la variable $X$ prend les valeurs $0, 1, 2$ et que la variable $Y$ prend les valeurs $0, 1$. Construire le tableau à double entrée sachant que :

• Il y a $2$ familles avec $(0\,;\,0)$ et $3$ familles avec $(0\,;\,1)$.

• Il y a $4$ familles avec $(1\,;\,0)$ et $5$ familles avec $(1\,;\,1)$.

• Il y a $1$ famille avec $(2\,;\,0)$ et $0$ familles avec $(2\,;\,1)$.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Le nuage de points suivant montre les notes obtenues à deux épreuves d'aptitude, $X$ et $Y$, par un groupe de candidats. Les nombres à l'intérieur des cercles indiquent l'effectif conjoint (le nombre de candidats ayant obtenu ce couple de notes). Construire le tableau à double entrée associé à ce graphique et calculer la moyenne marginale de l'épreuve $X$.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Compléter les totaux marginaux (lignes et colonnes) du tableau croisé suivant, qui relie le nombre d'heures de travail quotidien ($X$) et le nombre de matières où l'élève est en échec ($Y$) :

Recopier le tableau dans votre cahier et remplir les cases vides avec les sommes correspondantes.

Un tableau à double entrée montre la relation entre le nombre de buts marqués ($X$) et le nombre de buts encaissés ($Y$) par une équipe de football lors de plusieurs matchs. Certaines cases intérieures ont été effacées, mais les totaux marginaux sont conservés.

Calculer les valeurs inconnues $a$, $b$ et $c$ pour que le tableau soit cohérent.

Dans un tableau à double entrée reliant deux variables $X$ et $Y$, l'effectif de la case correspondant à $X=2$ et $Y=3$ est une valeur inconnue $k$.

Sachant que la taille totale de l'échantillon est $N=30$, déterminer la valeur de $k$ puis calculer l'écart type marginal de la variable $X$.

Le tableau suivant montre la relation entre l'âge de plusieurs jeunes ($X$) et le nombre d'heures qu'ils consacrent au sport par semaine ($Y$) :

Écrire la distribution conditionnelle du nombre d'heures de sport ($Y$) pour les jeunes qui ont exactement $15$ ans ($X=15$).

En utilisant le tableau de l'exercice précédent sur l'engrais ($X$) et la hauteur ($Y$) :

Calculer la moyenne conditionnelle de la hauteur des plantes sachant qu'on leur a appliqué exactement $10\text{ g}$ d'engrais (c'est-à-dire calculer $\bar{y}_{X=10}$).

Démontrer numériquement une propriété fondamentale des moyennes conditionnelles à l'aide du tableau suivant :

Calculer d'abord les moyennes conditionnelles de $Y$ pour chaque valeur de $X$ : $\bar{y}_{X=2}$, $\bar{y}_{X=4}$ et $\bar{y}_{X=6}$. Calculer ensuite la moyenne marginale $\bar{y}$ et vérifier que la relation de la moyenne pondérée est satisfaite : $\bar{y} = \frac{\sum \bar{y}_{X=x_i} \cdot f_{i\bullet}}{N}$.

On donne le tableau de contingence à double entrée suivant pour les variables discrètes $X$ et $Y$ :

Calculer la covariance $\sigma_{xy}$ de la distribution conjointe. Rappel : la formule de la covariance est $\sigma_{xy} = \frac{\sum x_i y_j f_{ij}}{N} - \bar{x}\bar{y}$.