Introduction à la statistique

Pour connaître les préférences musicales des élèves d'un lycée de $850$ élèves, le professeur de musique a interrogé les $30$ élèves de sa classe de seconde. Identifier la population, l'échantillon, la taille de l'échantillon et les individus de cette étude statistique.

Une entreprise de messagerie livre $5\,000$ colis par jour. Pour évaluer le temps moyen de livraison, le superviseur sélectionne au hasard $100$ colis et note le nombre de minutes qu'ils mettent à arriver à destination. Déterminer la taille de la population et la taille de l'échantillon.

Indiquer dans lesquels des cas suivants il est préférable d'étudier la population entière et dans lesquels il est nécessaire de choisir un échantillon. Justifier brièvement la réponse.

• Vérifier l'état des freins de toutes les voitures fabriquées par une marque avant de les vendre.

• Étudier la durée de vie moyenne des ampoules produites par une usine (sachant que, pour la mesurer, il faut les laisser allumées jusqu'à ce qu'elles grillent).

• Connaître l'âge des $25$ élèves d'une classe.

• Connaître le taux de cholestérol des habitants d'un pays.

Classer les variables statistiques suivantes en qualitatives, quantitatives discrètes ou quantitatives continues :

• La couleur des yeux des patients d'un ophtalmologue.

• Le nombre de livres lus en un an par les adhérents d'une bibliothèque.

• La température maximale quotidienne relevée dans une ville pendant le mois d'août.

• La marque de téléphone portable utilisée par les professeurs d'un collège.

Classer les variables quantitatives suivantes en discrètes ou continues :

• Le nombre de buts marqués par une équipe de football à chaque match de championnat.

• Le temps que mettent les coureurs pour terminer un marathon.

• La quantité d'eau, en litres, consommée par une famille en un mois.

• Le nombre de passagers voyageant dans un avion.

Dans un hôpital, on recueille les données suivantes sur les patients admis aux urgences : groupe sanguin, nombre de pulsations par minute, température corporelle en degrés Celsius et nombre de fois où ils sont venus aux urgences au cours de la dernière année. Classer chacune de ces quatre variables statistiques et justifier pourquoi la température corporelle et le nombre de pulsations appartiennent à des catégories différentes.

Lorsqu'on remplit un formulaire, on demande aux citoyens de saisir leur numéro de sécurité sociale et le code postal de leur commune. Bien que ces deux données soient constituées de chiffres, du point de vue des statistiques elles ne sont pas considérées comme des variables quantitatives. Expliquer de quel type de variables il s'agit et pourquoi calculer la moyenne arithmétique des codes postaux n'a pas de sens.

Dans une entreprise technologique travaillent $300$ programmeurs et $200$ graphistes. Le service des ressources humaines veut réaliser une enquête sur le climat de travail en sélectionnant un échantillon de $50$ employés par échantillonnage aléatoire stratifié proportionnel. Combien de programmeurs et combien de graphistes doivent faire partie de l'échantillon ?

Dans une ville de $120\,000$ habitants, on réalise une enquête téléphonique auprès de $600$ personnes.

• Quel pourcentage de la population totale a été interrogé ?

• On sait que, dans la ville, $15\,\%$ des habitants sont des jeunes de $18$ à $25$ ans. Pour que l'échantillon de $600$ personnes soit représentatif en ce qui concerne l'âge, combien de jeunes de cette tranche d'âge devraient figurer dans l'échantillon ?

Une commune est divisée en trois quartiers : le quartier Nord compte $4\,500$ habitants, le quartier Sud compte $2\,700$ habitants et le quartier Est compte $1\,800$ habitants. La mairie doit sélectionner un échantillon de $200$ personnes par échantillonnage stratifié avec répartition proportionnelle. Calculer étape par étape combien de personnes doivent être interrogées dans chacun des trois quartiers pour que l'échantillon soit représentatif.

Le proviseur d'un lycée dispose d'une liste alphabétique des $600$ élèves inscrits. Il veut sélectionner un échantillon de $30$ élèves par échantillonnage aléatoire systématique.

• Calculer le pas de sondage (l'écart entre un individu et le suivant).

• Si le premier élève tiré au hasard est celui qui occupe la position numéro $12$ dans la liste, indiquer quelles positions occuperont les trois élèves suivants sélectionnés pour l'échantillon.

Dans une salle de cinéma, il y a $1\,200$ fauteuils numérotés de $1$ à $1\,200$. Le gérant veut interroger $40$ spectateurs.

• Expliquer comment vous sélectionneriez l'échantillon par échantillonnage systématique. Si le premier siège choisi est le numéro $17$, quel sera le dernier siège de l'échantillon ?

• Si les fauteuils se répartissent en Orchestre ($800$ fauteuils) et Balcon ($400$ fauteuils), expliquer comment vous réaliseriez la sélection par un échantillonnage stratifié proportionnel.

Dans une plateforme de distribution logistique, on inspecte des palettes de $N = 1\,400$ colis qui avancent sur un tapis roulant automatisé continu. Les cartons sont chargés sur le tapis selon un ordre cyclique et répétitif de $7$ types de produits : le 1er est fragile, le 2e textile, le 3e alimentation, le 4e électronique, le 5e chaussures, le 6e droguerie et le 7e papeterie (et le 8e est de nouveau fragile, la même séquence se répétant toujours). L'inspecteur qualité doit prélever un échantillon de $n = 50$ colis dans une palette et envisage deux méthodes : la Méthode A (échantillonnage systématique avec pas $k = N/n$ et point de départ aléatoire $a$ compris entre $1$ et $k$) et la Méthode B (échantillonnage stratifié avec répartition proportionnelle en considérant chaque type de produit comme une strate). Calculer le pas $k$ de la Méthode A et déterminer les numéros de position des quatre premiers colis qui seraient contrôlés si le point de départ aléatoire obtenu était $a = 15$. Démontrer quel type de marchandise auraient absolument tous les colis sélectionnés avec ce point de départ dans la Méthode A et expliquer quel phénomène périodique détruit la représentativité. Enfin, comparer les deux méthodes et justifier de façon concluante laquelle choisir pour assurer un contrôle qualité rigoureux.

On veut réaliser une étude sur le degré de satisfaction des clients d'une pizzeria. Pour cela, le gérant décide d'interroger uniquement les personnes qui commandent une pizza à l'ananas. Pensez-vous que l'échantillon choisi soit représentatif de l'ensemble des clients ? Justifier la réponse.

Un journal publie le titre suivant : « $80\,\%$ des accidents de la route se produisent à moins de $20\text{ km}$ du domicile du conducteur. Par conséquent, conduire près de chez soi est bien plus dangereux que faire de longs trajets ». Analyser de façon critique cette affirmation du point de vue statistique. Identifier l'erreur dans l'interprétation des données et expliquer quelle information supplémentaire sur la population des conducteurs serait nécessaire pour tirer une conclusion valide.

Une émission de télévision nationale lance un sondage sur son compte Twitter en demandant : « Pensez-vous qu'il faudrait interdire l'usage des réseaux sociaux aux moins de 16 ans ? ». $15\,000$ personnes répondent. Identifier la population cible de l'émission et expliquer en détail pourquoi les résultats de cet échantillon peuvent être biaisés et non représentatifs.

Pendant un conflit armé, des ingénieurs militaires ont analysé les avions bombardiers revenant à la base avec des impacts de tirs ennemis. Ils ont observé que la plupart des impacts se trouvaient sur les ailes et le fuselage ; ils ont donc proposé de renforcer le blindage de ces zones. Un statisticien s'est opposé à cette décision en invoquant un grave biais d'échantillonnage. Identifier quelle était la population totale d'avions, quel était l'échantillon analysé et expliquer statistiquement pourquoi la conclusion des ingénieurs était erronée (ce que l'on appelle le « biais du survivant »).

Deux instituts de sondage veulent prédire le résultat d'élections nationales. L'institut A place un sondage sur la page d'accueil d'un célèbre journal sportif en ligne et obtient $50\,000$ réponses volontaires. L'institut B effectue des appels téléphoniques auprès de $1\,500$ personnes sélectionnées par un échantillonnage aléatoire stratifié selon l'âge, le sexe et le département à partir des listes électorales. Argumenter de façon détaillée, en vous appuyant sur les notions de population, d'échantillon, de taille et de représentativité, lequel des deux sondages fournira une prédiction plus fiable malgré l'énorme différence de taille d'échantillon.