Intervalles de ℝ
Un forfait mobile utilisable entre 20 h et 22 h, une température d'aquarium comprise entre 24 °C et 28 °C, la tolérance d'une pièce mécanique : tous ces cas décrivent des morceaux de la droite numérique. Pour en parler sans ambiguïté, il faut une notation précise : les intervalles.
Intervalles de ℝ
Un intervalle non borné n'a qu'une borne : l'autre « part à l'infini ». Comme $+\infty$ et $-\infty$ ne sont pas des nombres, le crochet est toujours ouvert de ce côté-là.
Observer la représentation graphique de l'ensemble de nombres réels suivant et l'exprimer à l'aide de la notation d'intervalle et sous forme d'inégalité.
Observer la représentation graphique de l'ensemble de nombres réels suivant et l'exprimer à l'aide de la notation d'intervalle et sous forme d'inégalité.
Exprimer à l'aide d'un intervalle l'inégalité suivante et la représenter approximativement sur une droite graduée : $-3 < x \le 5$.
Exprimer à l'aide d'un intervalle l'inégalité suivante et la représenter approximativement sur une droite graduée : $-3 < x \le 5$.
Écrire sous forme de demi-droite l'ensemble de tous les nombres réels inférieurs ou égaux à $7$.
Écrire sous forme de demi-droite l'ensemble de tous les nombres réels inférieurs ou égaux à $7$.
Intervalle centré en a, valeur absolue
Souvent, un intervalle se décrit par son centre et sa marge : « $24{,}5 \text{ €}$ à $1{,}8 \text{ €}$ près ». C'est le cas d'une tolérance ou d'une erreur de mesure.
Résoudre une inéquation du premier degré
Pour isoler $x$, on additionne ou soustrait le même nombre aux deux membres. Si on multiplie ou divise par un nombre négatif, le sens de l'inégalité change.
Écrire sous la forme d'un voisinage $E(a ; r)$ l'intervalle ouvert $]2 ; 10[$.
Écrire sous la forme d'un voisinage $E(a ; r)$ l'intervalle ouvert $]2 ; 10[$.
Exprimer le voisinage $E(-1 ; 4)$ sous la forme d'un intervalle et le traduire par une inégalité.
Exprimer le voisinage $E(-1 ; 4)$ sous la forme d'un intervalle et le traduire par une inégalité.
En nutrition, l'indice de masse corporelle (IMC) est considéré comme sain lorsqu'il appartient à l'intervalle $[18,5 ; 24,9]$. Exprimer cet ensemble sous forme de…
En nutrition, l'indice de masse corporelle (IMC) est considéré comme sain lorsqu'il appartient à l'intervalle $[18,5 ; 24,9]$. Exprimer cet ensemble sous forme de voisinage fermé, en calculant au préalable son centre et son rayon.
Déterminer l'intervalle des nombres réels $x$ vérifiant simultanément les inéquations $3x - 2 < 7$ et $5 - x < 4$. Une fois trouvé, l'exprimer sous forme de voisinage.
Déterminer l'intervalle des nombres réels $x$ vérifiant simultanément les inéquations $3x - 2 < 7$ et $5 - x < 4$. Une fois trouvé, l'exprimer sous forme de voisinage.
Inégalités avec valeur absolue
Comme $|x - a|$ est une distance, une inégalité avec valeur absolue se lit comme une phrase sur les distances.
Exprimer sous forme d'inégalité et à l'aide d'un intervalle l'ensemble des nombres réels dont la distance à zéro est strictement inférieure à $5$.
Exprimer sous forme d'inégalité et à l'aide d'un intervalle l'ensemble des nombres réels dont la distance à zéro est strictement inférieure à $5$.
Exprimer à l'aide d'une valeur absolue l'ensemble des nombres réels dont la distance au nombre $-2$ est inférieure ou égale à $6$, et écrire l'intervalle obtenu.
Exprimer à l'aide d'une valeur absolue l'ensemble des nombres réels dont la distance au nombre $-2$ est inférieure ou égale à $6$, et écrire l'intervalle obtenu.
Résoudre l'inéquation avec valeur absolue $|x - 4| < 3$ et exprimer la solution sous forme d'intervalle et de voisinage.
Résoudre l'inéquation avec valeur absolue $|x - 4| < 3$ et exprimer la solution sous forme d'intervalle et de voisinage.
Réunion et intersection
Les intervalles sont des ensembles : on peut les combiner. La réunion $A \cup B$ rassemble les réels qui sont dans $A$ ou dans $B$. L'intersection $A \cap B$ ne garde que ceux qui sont dans $A$ et dans $B$. Si $A$ et $B$ n'ont aucun réel en commun, $A \cap B = \emptyset$ (l'ensemble vide).
Étant donné les intervalles $A = [-4 ; 3[$ et $B = ]0 ; 6]$, déterminer l'intervalle correspondant à la réunion $A \cup B$ et à l'intersection $A \cap B$.
Étant donné les intervalles $A = [-4 ; 3[$ et $B = ]0 ; 6]$, déterminer l'intervalle correspondant à la réunion $A \cup B$ et à l'intersection $A \cap B$.
Trouver tous les nombres entiers qui appartiennent simultanément aux intervalles $]-3,2 ; 4]$ et $[0 ; 5,1[$.
Trouver tous les nombres entiers qui appartiennent simultanément aux intervalles $]-3,2 ; 4]$ et $[0 ; 5,1[$.
Soit les ensembles $I = ]-\infty ; 2]$, $J = ]-1 ; 5[$ et $K = [3 ; 8]$. Déterminer l'ensemble obtenu par l'opération $(I \cap J) \cup K$.
Soit les ensembles $I = ]-\infty ; 2]$, $J = ]-1 ; 5[$ et $K = [3 ; 8]$. Déterminer l'ensemble obtenu par l'opération $(I \cap J) \cup K$.
Les températures, l'IMC ou la tolérance d'une pièce se décrivent par un intervalle ou par un centre et un rayon.