Parallélisme et perpendicularité de droites

Calculer le coefficient directeur de la droite passant par les points $A(2 ; -1)$ et $B(5 ; 8)$, puis en déduire le coefficient directeur de toute droite perpendiculaire à celle-ci.

Soit les droites $r: y = -2x + 5$ et $s: y = \frac{1}{2}x - 3$. Indiquer en justifiant si elles sont parallèles, perpendiculaires ou sécantes non perpendiculaires.

Déterminer l'équation réduite de la droite parallèle à $y = -3x + 2$ et passant par le point $P(0 ; 5)$.

Écrire l'équation cartésienne de la droite parallèle à l'axe des abscisses et passant par le point $Q(-3 ; 8)$.

Un vecteur directeur de la droite $r$ est $\vec{v} = (3 ; -1)$. Donner un vecteur directeur d'une droite parallèle à $r$ et un autre d'une droite perpendiculaire à $r$.

Vérifier analytiquement si les droites données par leur équation cartésienne $r: 3x - 6y + 2 = 0$ et $s: x - 2y - 5 = 0$ sont parallèles.

Calculer la valeur du paramètre $k$ pour que la droite $kx - 3y + 6 = 0$ soit parallèle à la droite passant par les points $A(1 ; 2)$ et $B(4 ; 11)$.

Donner le coefficient directeur d'une droite parallèle et celui d'une droite perpendiculaire à la droite d'équation $y = 4x - 7$.

Déterminer l'équation, sous la forme $y - y_A = m(x - x_A)$, de la droite perpendiculaire à $y = \frac{2}{5}x - 1$ passant par le point $A(4 ; 2)$.

Déterminer la valeur du paramètre $m$ pour que les droites $r: mx + 4y - 1 = 0$ et $s: 2x - 5y + 8 = 0$ soient perpendiculaires.

Déterminer l'équation réduite de la médiatrice du segment d'extrémités $A(-2 ; 3)$ et $B(4 ; 1)$. (Rappel : la médiatrice est la droite perpendiculaire au segment passant par son milieu.)

Sur le réseau ferroviaire, un tronçon rectiligne de voie à grande vitesse suit la droite $r: 3x + 4y - 24 = 0$ (où les coordonnées $x$ et $y$ sont en kilomètres par rapport à un centre de contrôle). Une plateforme logistique située au point $P(7 ; 7)$ doit être reliée à la voie principale par un embranchement entièrement rectiligne.

1. a) Pour minimiser le coût et l'impact environnemental, l'embranchement doit suivre la plus courte distance possible jusqu'à la voie. Déterminer l'équation cartésienne de la droite $s$ le long de laquelle doit passer cet embranchement et justifier quelle propriété géométrique garantit que ce tracé est le plus court.
2. b) Calculer les coordonnées exactes du point de raccordement $Q$ où l'embranchement rejoindra la voie principale en résolvant le système formé par les deux droites.
3. c) La réglementation prévoit que, si la distance entre la plateforme et la voie principale dépasse $4\text{ km}$, une gare technique intermédiaire doit être construite. Justifier si cette gare sera nécessaire en calculant la distance exacte entre $P$ et $Q$.

Un bateau navigue en ligne droite le long de la trajectoire $r: 3x + 4y - 24 = 0$. Un phare est situé au point $F(7 ; 7)$. Calculer la plus courte distance entre le phare et la trajectoire du bateau. (Indication : déterminer la droite perpendiculaire à $r$ passant par $F$, trouver le point d'intersection puis calculer la distance entre les deux points.)

Déterminer les coordonnées exactes de la projection orthogonale du point $P(3\,;\,-2)$ sur la droite $r: x - 2y + 5 = 0$. (Remarque : la projection orthogonale est le point d'intersection de la droite $r$ avec la droite perpendiculaire à celle-ci passant par $P$.)