Milieu d'un segment

Calculer les coordonnées du milieu du segment dont les extrémités sont les points $A(2\,;\,4)$ et $B(6\,;\,10)$.

Calculer le milieu du segment qui relie les points $C\left(\frac{1}{2}\,;\,3\right)$ et $D\left(\frac{3}{2}\,;\,-1\right)$.

Une vedette de sauvetage navigue en ligne droite du point $A(-15 ; 20)$ au point $B(45 ; -10)$ (coordonnées en mètres). Si elle doit larguer une bouée de signalisation exactement à la moitié de son trajet, à quelles coordonnées le fera-t-elle ?

Le milieu du segment $AB$ est $M(3 ; 5)$. Si l'extrémité $A$ a pour coordonnées $(1 ; 2)$, déterminer les coordonnées de l'extrémité $B$.

Déterminer le symétrique de $A(5 ; -3)$ par rapport à l'origine du repère $O(0 ; 0)$.

Le milieu du segment $AB$ est $M(a\,;\,3)$. Si l'on connaît les coordonnées des extrémités $A(-2\,;\,5)$ et $B(6\,;\,b)$, poser les équations correspondantes et calculer les valeurs des paramètres $a$ et $b$.

Vérifier si le quadrilatère de sommets $A(-1 ; 2)$, $B(3 ; 4)$, $C(4 ; 0)$ et $D(0 ; -2)$ est un parallélogramme. Pour cela, calculer les milieux de ses deux diagonales et vérifier s'ils coïncident.

Trois sommets consécutifs d'une parcelle topographique en forme de parallélogramme sont $A(-3 ; -1)$, $B(2 ; -2)$ et $C(5 ; 2)$. En utilisant la propriété géométrique selon laquelle les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu, calculer les coordonnées du quatrième sommet $D$.

On connaît trois sommets consécutifs d'une parcelle en forme de parallélogramme $ABCD$ : $A(-2 ; 1)$, $B(4 ; 3)$ et $C(6 ; 9)$. Pour trouver les coordonnées du quatrième sommet $D$, deux dessinateurs proposent des méthodes différentes :

• Méthode 1 : utiliser l'égalité de vecteurs en égalant les coordonnées de $\vec{AB}$ et $\vec{DC}$.

• Méthode 2 : calculer le milieu de la diagonale connue $AC$ et utiliser le fait qu'il doit coïncider avec le milieu de l'autre diagonale, $BD$.

1. a) Développer entièrement les deux méthodes et vérifier qu'elles conduisent au même résultat numérique pour $D$.
2. b) Si le plan topographique demandait en plus de trouver le centre de symétrie de la parcelle (le point central où se croisent les clôtures diagonales), comparer l'efficacité des deux méthodes et justifier laquelle permet d'économiser des calculs.
3. c) Si l'on ne précisait pas que les sommets $A$, $B$ et $C$ se suivent dans l'ordre alphabétique, déterminer combien de parallélogrammes distincts pourraient être construits avec ces trois mêmes points comme sommets.

Étant donné le triangle de sommets $A(-2 ; 1)$, $B(4 ; 5)$ et $C(2 ; -3)$, déterminer les coordonnées du milieu du côté $BC$ puis calculer la longueur de la médiane issue du sommet $A$.

Les extrémités d'un diamètre d'un cercle sont les points $P(-3 ; 5)$ et $Q(7 ; -1)$. Calculer les coordonnées du centre du cercle et la mesure de son rayon.

Dans un triangle de sommets $A(-1 ; 3)$, $B(5 ; 7)$ et $C(3 ; -1)$ :

1. a) Calculer les coordonnées du milieu $M$ du côté $BC$ et déterminer les coordonnées du vecteur allant du sommet $A$ à ce milieu (segment qui définit la médiane du triangle).
2. b) Le centre de gravité $G$ d'un triangle est le point situé sur chaque médiane aux deux tiers de la distance du sommet correspondant au côté opposé, vérifiant la relation vectorielle $\vec{AG} = 2\cdot \vec{GM}$. Calculer les coordonnées exactes de $G$ pour ce triangle et démontrer algébriquement que ces coordonnées coïncident avec la moyenne arithmétique des coordonnées de ses trois sommets : $\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3},\ \frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)$.
3. c) Si l'on construit un parallélogramme ayant pour côtés consécutifs les segments $AB$ et $AC$, déterminer par un raisonnement, sans calculer de distances, si le centre de gravité $G$ peut coïncider avec le point d'intersection des diagonales de ce parallélogramme.

Dans un logiciel de conception assistée par ordinateur, on trace un segment de $P_1(-4\,;\,-2)$ à $P_2(8\,;\,6)$. Le concepteur doit placer trois points sur le segment qui le partagent en quatre parties exactement égales. Calculer les coordonnées du point central de ces trois points de partage.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

On souhaite diviser le segment d'extrémités $A(-5 ; 1)$ et $B(7 ; 9)$ en quatre parties de même longueur en utilisant uniquement le calcul de milieux. Détailler la démarche et calculer les coordonnées des trois points qui divisent ce segment.

Soit le triangle de sommets $A(0 ; 0)$, $B(4 ; 0)$ et $C(2 ; 6)$. Calculer les milieux de ses trois côtés ($M_1$, $M_2$, $M_3$). Démontrer ensuite, en calculant les distances, que le périmètre du triangle formé par les milieux est exactement la moitié du périmètre du triangle initial.