Tableaux croisés

Recopier et compléter dans son cahier le tableau croisé suivant, qui donne la répartition d'un groupe d'élèves selon leur sexe et selon qu'ils portent des lunettes ou non.

Lors d'une enquête réalisée auprès de $80$ personnes sur leur principal moyen de transport pour aller travailler, on a obtenu les résultats suivants (effectifs) :

Indiquer quel est l'effectif conjoint des personnes qui ont « Moins de 30 ans » et vont « À pied », puis calculer l'effectif marginal de celles qui utilisent la « Voiture ».

Un club de sport compte $120$ adhérents. On sait que $70$ jouent au tennis, $50$ jouent au padel, et que parmi ceux qui jouent au tennis, $20$ sont des femmes. Si le club compte au total $45$ femmes, construire le tableau croisé d'effectifs reliant le sexe (Homme / Femme) au sport pratiqué (Tennis / Padel).

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

À partir du tableau croisé d'effectifs suivant, construire le tableau correspondant des fréquences globales (en exprimant les résultats sous forme de fractions irréductibles).

On a demandé à $200$ clients d'une pizzeria quel était leur type de pâte préféré. Les résultats figurent dans le tableau suivant :

Écrire la distribution marginale de la variable « Type de pâte » en indiquant ses effectifs.

Une école de langues propose des cours de français et d'allemand le matin et l'après-midi. Le tableau donne le nombre d'inscrits :

Calculer le pourcentage du nombre total d'élèves que représentent ceux qui étudient le français l'après-midi.

Observer le tableau suivant, qui classe les participants à un congrès selon leur nationalité et la langue dans laquelle ils ont préféré recevoir la documentation :

Calculer la fréquence conditionnelle qu'un participant préfère la documentation en anglais, sachant qu'il est européen.

Lors d'une enquête réalisée dans un lycée sur la mobilité durable et l'activité physique, les données de $80$ élèves de seconde sont rassemblées dans le tableau croisé suivant :

Le professeur pose la question suivante : « Quelle est la proportion d'élèves qui ne pratiquent pas de sport sachant qu'ils ont un abonnement de transport ? ». Lucas raisonne ainsi : « Comme il y a $16$ élèves qui ont un abonnement et ne pratiquent pas de sport sur les $80$ élèves au total, la proportion est $\frac{16}{80} = 0,2$ (soit $20\%$ ) ».

1. a) Expliquer précisément l'erreur conceptuelle de Lucas : quel type de fréquence a-t-il calculé et laquelle lui demandait-on en réalité ?
2. b) Corriger le calcul de Lucas en indiquant clairement quel doit être le total de référence (dénominateur) et exprimer la fréquence conditionnelle correcte $h(\text{Ne pratique pas de sport} \mid \text{A un abonnement})$ sous forme de fraction simplifiée et de pourcentage.

Une étude médicale analyse l'efficacité de deux traitements (traitement A et traitement B) pour soigner une affection cutanée. Les résultats au bout d'un mois sont les suivants :

Calculer le pourcentage de réussite (guérisons) pour chacun des traitements séparément et expliquer, à l'aide de ces pourcentages, lequel des deux traitements semble le plus efficace.

Dans une entreprise de $500$ salariés, on étudie la relation entre le service auquel ils appartiennent et leur niveau de satisfaction au travail.

Calculer la distribution marginale de la variable « Satisfaction » en pourcentages ainsi que la distribution conditionnelle du niveau de satisfaction au sein du service « Production ».

Dans un lycée de $300$ élèves, $60\%$ participent à des activités extrascolaires. Parmi les élèves qui participent à ces activités, $40\%$ sont inscrits au théâtre. On sait de plus que $15\%$ de l'ensemble des élèves du lycée ne font pas d'activités extrascolaires et n'aiment pas non plus le théâtre. Construire le tableau croisé d'effectifs et déterminer combien d'élèves ne font pas d'activités extrascolaires mais sont inscrits au théâtre.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Lors d'un test de contrôle qualité, un détecteur de métaux inspecte $1000$ bagages. On sait que $40$ bagages contiennent des objets interdits. Le détecteur déclenche l'alarme pour $35$ des bagages contenant des objets interdits et donne aussi une fausse alarme pour $24$ bagages ne contenant rien d'interdit. Construire le tableau croisé et calculer le pourcentage de bagages qui contiennent réellement des objets interdits parmi tous ceux pour lesquels l'alarme s'est déclenchée.

Reconstituer un tableau croisé $2 \times 2$ avec les variables $X$ et $Y$ à partir des informations suivantes :

• L'effectif total est $N = 200$.

• L'effectif marginal de $X_1$ est $120$.

• L'effectif marginal de $Y_2$ est $90$.

• $30\%$ des individus qui vérifient $X_1$ vérifient aussi $Y_1$.

Considérer le tableau croisé suivant, où certains effectifs dépendent d'un paramètre $x$ :

Sachant que la fréquence marginale de la « Condition 1 » est égale à $0,6$, poser une équation, déterminer la valeur de $x$ et reconstituer le tableau complet avec des valeurs numériques.

Une usine de composants électroniques possède deux machines d'assemblage. La machine I produit $60\%$ de l'ensemble des composants et la machine II les $40\%$ restants. Le contrôle qualité révèle que $2\%$ des composants de la machine I sont défectueux, tandis que le taux de défauts de la machine II est de $5\%$.

Pour un lot de $2000$ composants, construire le tableau croisé reliant la « Machine » (I / II) à l'« État » (Défectueux / Conforme). Si l'on choisit un composant défectueux dans ce lot, quelle proportion des composants défectueux provient de la machine II ?

Le diagramme de Venn suivant montre la répartition de $110$ élèves d'une école de langues selon qu'ils étudient l'anglais ($A$) ou le français ($B$).

Traduire l'information du diagramme en un tableau croisé dont les variables sont « Étudie l'anglais » (Oui/Non) et « Étudie le français » (Oui/Non). Calculer ensuite la proportion d'élèves qui étudient le français sachant qu'ils n'étudient pas l'anglais.

Une réserve naturelle classe les arbres d'une parcelle selon leur espèce (Pin / Chêne) et le type de sol sur lequel ils poussent (Sec / Humide). On a compté $240$ arbres au total, dont $150$ sont des pins. On sait que $60\%$ des chênes poussent sur sol humide, alors que seulement $40$ pins poussent sur sol humide. Construire le tableau croisé et déterminer quel pourcentage de l'ensemble des arbres pousse sur sol sec.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

L'arbre pondéré suivant représente les proportions d'une population de $500$ individus classés selon deux variables dichotomiques $A$ et $C$.

Transformer l'information de cet arbre en un tableau croisé d'effectifs dont les lignes sont $A$ et $B$ et les colonnes sont $C$ et $D$. Calculer la fréquence marginale de $C$.

Au service de restauration d'un établissement scolaire, on analyse les préférences de menu d'une journée comptant $200$ convives (personnels enseignants et élèves) :

Trois élèves discutent de la façon de vérifier si le choix du type de menu est indépendant du groupe (être enseignant ou élève) :

• Irène soutient : « Comme l'écart entre le nombre de convives qui choisissent le menu traditionnel chez les élèves et chez les enseignants est très grand ($112 - 28 = 84$), le choix dépend clairement du groupe ».

• Manon propose de comparer la proportion de végétariens parmi les enseignants avec la proportion de végétariens parmi les élèves : $h(\text{Végétarien} \mid \text{Professeurs}) \stackrel{?}{=} h(\text{Végétarien} \mid \text{Élèves})$.

• Serge propose de comparer la proportion de végétariens parmi les enseignants avec la proportion marginale totale de végétariens dans tout l'établissement : $h(\text{Végétarien} \mid \text{Professeurs}) \stackrel{?}{=} h(\text{Végétarien})$.

1. a) Expliquer pourquoi la méthode proposée par Irène est erronée et démontrer pourquoi les écarts en valeur absolue ne sont pas valables lorsque les groupes ont des effectifs totaux différents.
2. b) Effectuer les calculs proposés par Manon et Serge. Les deux méthodes aboutissent-elles à la même conclusion quant à l'indépendance des variables ?
3. c) À partir de la théorie des tableaux croisés (« la distribution conditionnelle coïncide avec la distribution marginale »), justifier laquelle des deux méthodes valables (celle de Manon ou celle de Serge) traduit le plus directement et le plus rigoureusement la définition de l'indépendance statistique.

On dit que deux variables statistiques sont indépendantes si les fréquences conditionnelles sont égales aux fréquences marginales correspondantes ; autrement dit, la proportion reste constante dans toutes les lignes et toutes les colonnes.

Soit le tableau incomplet suivant :

Calculer la valeur exacte de $y$ pour que les deux variables (« Catégorie » et « Type ») soient parfaitement indépendantes.

Dans une population de $400$ habitants, on analyse deux variables : « Pratique un sport » (Oui/Non) et « Fume » (Oui/Non). On connaît les distributions marginales : $240$ personnes pratiquent un sport et $160$ n'en pratiquent pas ; par ailleurs, $100$ personnes fument et $300$ ne fument pas.

Construire le tableau de contingence des effectifs en supposant qu'il existe une indépendance statistique parfaite entre le fait de fumer et la pratique d'un sport dans cette population.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Étant donné le tableau suivant qui relie la marque de téléphone portable et la tranche d'âge de ses propriétaires, identifier le mode de la distribution conjointe et le mode de la distribution marginale de la variable « Marque ».

Dans deux hôpitaux différents, on a relevé le succès d'une opération chirurgicale complexe, en séparant les cas « légers » et « graves ».

Hôpital San Omar :

Hôpital La Paz :

Construire un unique tableau croisé global pour chaque hôpital (en additionnant cas légers et cas graves) reliant l'« Hôpital » au « Résultat » (Succès / Échec). Calculer le pourcentage global de succès de chaque hôpital et expliquer pourquoi la perception du meilleur hôpital change lorsqu'on agrège les données.

Dans un tableau croisé $2 \times 2$ avec les variables $X$ et $Y$, on connaît les relations de proportionnalité suivantes entre les effectifs $a, b, c, d$ :

Sachant que le rapport entre $a$ et $c$ est $\frac{2}{3}$ et que le rapport entre $b$ et $d$ est $\frac{4}{1}$, poser un système d'équations pour déterminer les valeurs de $a, b, c$ et $d$.