Moyenne et variance

On considère la liste de données numériques suivante : $4, 6, 8, 10, 12$. Calculer la moyenne et la variance de la série.

On a demandé à un groupe de personnes combien de fois par mois elles vont au cinéma. Les résultats montrent que $3$ personnes y vont $1$ fois, $5$ personnes y vont $2$ fois et $2$ personnes y vont $3$ fois. Calculer la moyenne de cette série.

On a réalisé une enquête auprès de $40$ familles sur le nombre d'animaux de compagnie qu'elles ont à la maison, avec les résultats suivants : $10$ familles n'ont pas d'animal, $15$ familles ont $1$ animal, $10$ familles ont $2$ animaux et $5$ familles ont $3$ animaux. Organiser les données dans un tableau et calculer la moyenne, la variance et l'écart type.

Au cours d'une semaine, les températures maximales relevées du lundi au jeudi ont été $20$ °C, $22$ °C, $x$ °C et $24$ °C. Sachant que la température moyenne de ces quatre jours était de $22$ °C, déterminer la valeur inconnue de $x$.

La moyenne des âges d'un groupe de $15$ amis est actuellement de $16$ ans. Quelle sera la moyenne de leurs âges dans $4$ ans ? Justifier la réponse en appliquant les propriétés de la moyenne.

Dans un lycée, la classe de 2de A compte $20$ élèves avec une note moyenne en mathématiques de $6$. La classe de 2de B compte $30$ élèves avec une note moyenne de $7$. Si l'on calcule la note de tous les élèves des deux classes réunies, quelle sera la note moyenne globale ?

Étant donné les données $x_1, x_2, \dots, x_N$, démontrer algébriquement que la somme de leurs écarts à la moyenne est toujours égale à zéro. Autrement dit, démontrer étape par étape que $\sum_{i=1}^N (x_i - \bar{x}) = 0$.

Les notes obtenues par cinq élèves à un contrôle de mathématiques sont $5, 7, 6, 8$ et $9$. Calculer la note moyenne et l'écart type.

Dans une étude statistique portant sur $N = 10$ données, on sait que la somme de toutes les données est $\sum x_i = 50$ et que la somme de leurs carrés est $\sum x_i^2 = 300$. Calculer la variance de la série.

Le temps (en minutes) que mettent $50$ élèves pour se rendre au lycée depuis chez eux est regroupé dans le tableau d'effectifs suivant :

• $[0 ; 10[$ : $10$ élèves

• $[10 ; 20[$ : $25$ élèves

• $[20 ; 30[$ : $15$ élèves

Calculer le temps moyen de trajet jusqu'au lycée et l'écart type de la série.

Dans une petite entreprise de $5$ employés, $4$ d'entre eux gagnent exactement $1000$ € par mois, tandis que le gérant gagne $6000$ €. Calculer la moyenne et l'écart type des $5$ salaires. D'après les résultats numériques obtenus, expliquer en justifiant si la moyenne est une mesure représentative pour cet ensemble de données.

Le diagramme circulaire suivant représente les résultats d'une enquête réalisée auprès de $40$ personnes sur le nombre de fois où elles font du sport par semaine (variable $x_i$). Sachant que le cercle complet représente $360^\circ$ et en observant l'angle de chaque secteur, en déduire les effectifs de chaque valeur et calculer la variance de la série.

Lors d'un contrôle de seconde noté sur $10$ points, la moyenne du groupe a été $\bar{x} = 5,4$ et l'écart type $\sigma = 1,6$. Le professeur décide de ramener les notes sur $100$ et d'ajouter à tous $5$ points supplémentaires pour le travail coopératif, en appliquant la formule $y_i = 10 \cdot x_i + 5$ à la note $x_i$ de chaque élève. En l'apprenant, Lucie calcule : « Alors la nouvelle moyenne sera $\bar{y} = 10 \cdot 5,4 + 5 = 59$ points, et le nouvel écart type sera $\sigma_y = 10 \cdot 1,6 + 5 = 21$ points ». Identifier l'erreur conceptuelle commise par Lucie dans le calcul de la dispersion, expliquer de façon argumentée pourquoi le terme $+5$ ne modifie pas l'écart des données par rapport à leur moyenne, et calculer les valeurs correctes de la nouvelle moyenne $\bar{y}$, du nouvel écart type $\sigma_y$ et de la nouvelle variance $\sigma_y^2$.

Les salaires mensuels des employés d'une petite entreprise ont une moyenne de $1200$ € et un écart type de $150$ €. Pour l'année prochaine, la direction décide d'appliquer une augmentation de $10\%$ à tous les salaires et, en plus, d'ajouter une prime fixe de $50$ €. Calculer la nouvelle moyenne et le nouvel écart type des salaires.

La température maximale quotidienne dans une ville pendant un mois a une moyenne de $25$ °C et un écart type de $2$ °C. Si l'on convertit ces températures en degrés Fahrenheit avec la formule $F = 1,8 \cdot C + 32$, calculer le coefficient de variation en degrés Fahrenheit et le comparer numériquement au coefficient de variation initial en degrés Celsius. La dispersion relative change-t-elle lorsqu'on change d'échelle ?

Lors d'un test rapide de $3$ questions, on a relevé le nombre de bonnes réponses d'un groupe de personnes. On sait que $4$ personnes ont eu $0$ bonnes réponses, $x$ personnes ont eu $1$ bonne réponse, $5$ personnes ont eu $2$ bonnes réponses et $1$ personne a eu $3$ bonnes réponses. Si la moyenne de bonnes réponses du groupe est $1,2$, déterminer combien de personnes ont eu exactement $1$ bonne réponse.

Un groupe de $10$ garçons a une taille moyenne de $160$ cm et une variance de $20$ cm$^2$. Un groupe de $10$ filles a une taille moyenne de $150$ cm et une variance de $15$ cm$^2$. Calculer la variance de l'ensemble des $20$ élèves. (Indice : calculer d'abord la moyenne globale, puis la somme totale des carrés en utilisant les formules de la variance de chaque groupe.)

Deux classes d'un lycée participent aux évaluations de positionnement de seconde. La classe de 2de A compte $N_A = 20$ élèves, une note moyenne de $\bar{x}_A = 7$ et une variance de $\sigma_A^2 = 2$. La classe de 2de B compte $N_B = 30$ élèves, une note moyenne de $\bar{x}_B = 5$ et une variance de $\sigma_B^2 = 3$.

1. a) Calculer la moyenne pondérée conjointe $\bar{x}$ des $50$ élèves.
2. b) Un enseignant affirme que la variance totale des $50$ élèves est simplement la moyenne pondérée des deux variances : $\frac{20 \cdot 2 + 30 \cdot 3}{50} = 2,6$. Expliquer pourquoi ce raisonnement est conceptuellement faux, en précisant quelle source supplémentaire de dispersion apparaît lorsque les moyennes des deux groupes ne coïncident pas.
3. c) Reconstituer la somme des carrés des notes ($\sum x_i^2$) de chaque groupe grâce à la relation $\sum x_i^2 = N(\sigma^2 + \bar{x}^2)$, calculer la véritable variance conjointe $\sigma^2$ du lycée et son écart type (à deux décimales), et vérifier analytiquement si la valeur obtenue est supérieure ou inférieure aux $2,6$ proposés par l'enseignant.

La moyenne de deux nombres positifs inconnus est $5$ et leur variance est $4$. Poser un système d'équations en utilisant les formules de la moyenne et de la variance, et déterminer ces deux nombres.