Opérations sur les vecteurs

Étant donné les points $A(3 ; -2)$ et $B(5 ; 4)$, calculer les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ et du vecteur $\vec{BA}$.

Calculer la norme du vecteur $\vec{v} = (-6 ; 8)$.

Étant donné les vecteurs $\vec{u} = (4 ; -1)$ et $\vec{v} = (-2 ; 5)$, calculer les coordonnées du vecteur somme $\vec{u} + \vec{v}$ et du vecteur différence $\vec{u} - \vec{v}$.

Étant donné le vecteur $\vec{w} = (3\,;\,-7)$, calculer les coordonnées des vecteurs $2\vec{w}$ et $-\frac{1}{2}\vec{w}$.

Sur un corps agissent deux forces représentées par les vecteurs $\vec{F_1} = (15\,;\,-8)$ N et $\vec{F_2} = (-5\,;\,12)$ N. Calculer le vecteur force résultante $\vec{R} = \vec{F_1} + \vec{F_2}$ et déterminer l'intensité (la norme) de cette force résultante.

Vérifier si les vecteurs $\vec{a} = (2 ; -5)$ et $\vec{b} = (-6 ; 15)$ ont la même direction, c'est-à-dire s'ils sont colinéaires.

Dans la conception d'un jeu vidéo, le déplacement d'un personnage est donné par le vecteur $\vec{u} = (x\,;\,12)$ et celui d'un projectile par le vecteur $\vec{v} = (5\,;\,-4)$. Calculer la valeur de $x$ pour que les deux vecteurs aient la même direction et déterminer s'ils ont le même sens.

Sur un chantier de génie civil, trois piliers doivent être alignés. Sur le plan, leurs positions sont $P(1 ; -2)$, $Q(4 ; 2)$ et $R(10 ; k)$. Déterminer la valeur de $k$ pour que les trois piliers soient parfaitement alignés.

Exprimer le vecteur $\vec{w} = (1\,;\,11)$ comme combinaison linéaire des vecteurs $\vec{u} = (2\,;\,3)$ et $\vec{v} = (-1\,;\,5)$. Autrement dit, déterminer les valeurs de $a$ et $b$ telles que $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$.

Étant donné les points $A(1 ; 2)$, $B(3 ; -1)$ et $C(0 ; 4)$, déterminer les coordonnées d'un point $D$ vérifiant l'égalité vectorielle $2\vec{AB} - 3\vec{CD} = \vec{v}$, sachant que le vecteur $\vec{v}$ a pour coordonnées $(-5 ; 2)$.

Pour obtenir un vecteur unitaire de même direction et de même sens que $\vec{v} = (-6 ; 8)$, Mathis raisonne ainsi dans son devoir :

« Comme les coordonnées ont pour somme $-6 + 8 = 2$, pour que le vecteur mesure $1$ il me suffit de diviser chaque coordonnée par $2$. J'obtiens ainsi le vecteur $\vec{u} = \left(\frac{-6}{2} ; \frac{8}{2}\right) = (-3 ; 4)$, qui est unitaire. »

1. a) Identifier les deux erreurs conceptuelles graves commises par Mathis dans le calcul de la norme et dans la définition d'un vecteur unitaire.
2. b) Démontrer analytiquement que le vecteur $(-3 ; 4)$ n'est pas unitaire en calculant sa norme réelle.
3. c) Corriger la démarche et déterminer les coordonnées exactes du véritable vecteur unitaire $\vec{u}$ de même direction et de même sens que $\vec{v}$, en vérifiant que sa norme vaut exactement $1$.

En physique des particules, un faisceau de protons suit une trajectoire rectiligne de vecteur directeur $\vec{v} = (3\,;\,-4)$. Déterminer un vecteur unitaire (de norme 1) ayant la même direction et le même sens que $\vec{v}$, ainsi qu'un autre vecteur de même direction, de sens opposé et de norme 10.

Calculer les coordonnées du milieu du segment d'extrémités $P(-4 ; 7)$ et $Q(8 ; -1)$.

Déterminer les coordonnées du symétrique du point $A(1 ; 4)$ par rapport au point $M(3 ; -2)$.

Le vecteur $\vec{v} = (5 ; 2)$ a pour origine le point $A(-3 ; 1)$. Déterminer les coordonnées de son extrémité $B$.

Un robot d'entrepôt effectue le parcours suivant depuis sa base située à l'origine du repère : il se déplace d'abord selon le vecteur $\vec{d_1} = (4,5; 2,1)$ m, puis suit le vecteur $\vec{d_2} = (-1,2; 3,4)$ m et avance enfin selon $\vec{d_3} = (0; -1,5)$ m. Déterminer le vecteur position final du robot et la distance à vol d'oiseau qui le sépare de la base.

Les sommets d'une parcelle triangulaire sont $A(0 ; 0)$, $B(8 ; 6)$ et $C(12 ; -3)$ (mesurés en décamètres). Calculer le périmètre de la parcelle.

Trois des sommets d'un panneau solaire en forme de parallélogramme $ABCD$ sont situés aux points $A(-1 ; 3)$, $B(5 ; 1)$ et $C(6 ; 4)$. Calculer les coordonnées du quatrième sommet $D$ sachant que les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{DC}$ sont égaux. Vérifier le résultat en calculant le milieu des deux diagonales.

Le centre d'un hexagone régulier est situé à l'origine du repère $O(0 ; 0)$ et l'un de ses sommets est le point $A(4 ; 0)$. En utilisant les propriétés des vecteurs et sachant que l'hexagone peut se décomposer en 6 triangles équilatéraux identiques, déterminer les coordonnées des cinq autres sommets.