Distance entre deux points
Un GPS, un radar ou un jeu vidéo doivent sans cesse savoir « à quelle distance est ceci de cela ». Sur un bateau qui quitte le port du Havre, le radar situe un cargo en $(12 ; 5)$ (en km) : à quelle distance en ligne droite se trouve-t-il ? Dans un repère, la réponse vient toujours du théorème de Pythagore.
La formule de la distance
Dans tout ce qui suit, le plan est muni d'un repère orthonormé : les axes sont perpendiculaires et ont la même unité de longueur. Sans cela, la formule ne s'applique pas.
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, la formule s'étend avec une troisième coordonnée : $AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2}$. Par exemple, pour $A(1 ; 0 ; 2)$ et $B(3 ; 4 ; 6)$ : $AB = \sqrt{4 + 16 + 16} = 6$.
Pourquoi cette formule ? Le déplacement de $A$ à $B$ se décompose en un déplacement horizontal $|x_B - x_A|$ et un déplacement vertical $|y_B - y_A|$. Ce sont les côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle dont $[AB]$ est l'hypoténuse : le théorème de Pythagore donne la formule.
Calculer la distance exacte entre les points $A(2\,;\,3)$ et $B(5\,;\,7)$ dans le plan muni d'un repère.
Calculer la distance exacte entre les points $A(2\,;\,3)$ et $B(5\,;\,7)$ dans le plan muni d'un repère.
Un bateau se trouve aux coordonnées $P(-4 ; 1)$ et un phare en $Q(2 ; -7)$. Si chaque unité du plan correspond à un kilomètre, à quelle distance en ligne droite le…
Un bateau se trouve aux coordonnées $P(-4 ; 1)$ et un phare en $Q(2 ; -7)$. Si chaque unité du plan correspond à un kilomètre, à quelle distance en ligne droite le bateau se trouve-t-il du phare ?
Marcos veut calculer la distance entre les points $A(-1 ; 5)$ et $B(3 ; 2)$ dans un repère. Dans son cahier, il écrit le développement suivant : $$d(A,B) = \sqrt{(3 -…
Marcos veut calculer la distance entre les points $A(-1 ; 5)$ et $B(3 ; 2)$ dans un repère. Dans son cahier, il écrit le développement suivant :
$$d(A,B) = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (2 - 5)^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = 4 + (-3) = 1$$- a) Indiquer précisément l'erreur conceptuelle et algébrique commise par Marcos à la dernière étape et expliquer pourquoi la racine carrée d'une somme n'est pas égale à la somme des racines carrées.
- b) Corriger la démarche et calculer la valeur exacte de la distance entre $A$ et $B$.
Dans un simulateur de vol spatial en 3D, un vaisseau se déplace de la coordonnée $P_1(2\,;\,-1\,;\,4)$ jusqu'à la station orbitale en $P_2(5\,;\,3\,;\,16)$. Calculer la…
Dans un simulateur de vol spatial en 3D, un vaisseau se déplace de la coordonnée $P_1(2\,;\,-1\,;\,4)$ jusqu'à la station orbitale en $P_2(5\,;\,3\,;\,16)$. Calculer la distance exacte parcourue par le vaisseau dans l'espace.
Périmètres et nature d'un triangle
Avec la formule, on calcule le périmètre d'un polygone en additionnant les longueurs de ses côtés. On peut aussi déterminer la nature d'un triangle (isocèle, équilatéral, rectangle) sans le tracer à l'échelle.
Les sommets d'un triangle sont $A(1 ; 1)$, $B(4 ; 1)$ et $C(1 ; 5)$. Calculer le périmètre de ce triangle en additionnant les longueurs de ses trois côtés.
Les sommets d'un triangle sont $A(1 ; 1)$, $B(4 ; 1)$ et $C(1 ; 5)$. Calculer le périmètre de ce triangle en additionnant les longueurs de ses trois côtés.
Sur un plan d'architecte, trois colonnes principales seront placées aux coordonnées $P(-2\,;\,1)$, $Q(2\,;\,4)$ et $R(5\,;\,0)$. Démontrer par le calcul si le triangle…
Sur un plan d'architecte, trois colonnes principales seront placées aux coordonnées $P(-2\,;\,1)$, $Q(2\,;\,4)$ et $R(5\,;\,0)$. Démontrer par le calcul si le triangle formé par ces trois colonnes est isocèle.
Démontrer, en calculant les longueurs des trois côtés et en utilisant le théorème de Pythagore, que le triangle de sommets $A(2\,;\,1)$, $B(6\,;\,1)$ et $C(2\,;\,4)$ est…
Démontrer, en calculant les longueurs des trois côtés et en utilisant le théorème de Pythagore, que le triangle de sommets $A(2\,;\,1)$, $B(6\,;\,1)$ et $C(2\,;\,4)$ est un triangle rectangle.
Trouver un point à distance donnée
Parfois la distance est une donnée et c'est un point qui est l'inconnue. On écrit alors l'égalité des distances, on élève au carré (les deux membres sont positifs) et on résout.
Pour couper un segment en deux parts égales, on utilise le milieu.
La distance entre les points $A(1 ; 2)$ et $B(x ; 5)$ est exactement égale à $5$ unités. Déterminer les deux valeurs possibles de la coordonnée $x$.
La distance entre les points $A(1 ; 2)$ et $B(x ; 5)$ est exactement égale à $5$ unités. Déterminer les deux valeurs possibles de la coordonnée $x$.
Déterminer les coordonnées de tous les points situés sur l'axe des abscisses (axe X) qui se trouvent à exactement $10$ unités de distance du point $M(-6 ; 8)$.
Déterminer les coordonnées de tous les points situés sur l'axe des abscisses (axe X) qui se trouvent à exactement $10$ unités de distance du point $M(-6 ; 8)$.
La gare de départ d'un téléphérique est en $B(0 ; 0)$ et le sommet de la montagne en $C(120 ; 50)$ dans un plan à deux dimensions. On doit installer un pylône de soutien…
La gare de départ d'un téléphérique est en $B(0 ; 0)$ et le sommet de la montagne en $C(120 ; 50)$ dans un plan à deux dimensions. On doit installer un pylône de soutien exactement au milieu du trajet rectiligne. Calculer les coordonnées de ce milieu et la distance entre la gare de départ et le pylône.
Une canalisation rectiligne doit relier un puits situé au point $A(-3\,;\,2)$ à une pompe à eau $P$ qui doit obligatoirement être installée sur l'axe des ordonnées (axe…
Une canalisation rectiligne doit relier un puits situé au point $A(-3\,;\,2)$ à une pompe à eau $P$ qui doit obligatoirement être installée sur l'axe des ordonnées (axe Y). Si, pour des contraintes de pression, la longueur de la canalisation doit être exactement de $\sqrt{29}$ unités, déterminer les coordonnées possibles de la pompe $P$.
Alignement et points équidistants
Autre critère, par la colinéarité : $A$, $B$, $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}\,(x ; y)$ et $\overrightarrow{AC}\,(x' ; y')$ sont colinéaires, c'est-à-dire si leur déterminant $xy' - x'y$ est nul.
Pourquoi pour les distances ? Dans un vrai triangle, un côté est toujours strictement plus court que la somme des deux autres (inégalité triangulaire). L'égalité n'est possible que si le triangle est « aplati » en un segment.
Un point $P$ est équidistant de $A$ et $B$ si $PA = PB$. Comme les deux distances sont positives, cela équivaut à $PA^2 = PB^2$ : on évite les racines. L'ensemble de ces points est la médiatrice de $[AB]$.
Les points $A(-1\,;\,3)$, $B(4\,;\,5)$ et $C(2\,;\,-2)$ sont trois sommets consécutifs d'un parallélogramme $ABCD$. Déterminer les coordonnées du quatrième sommet $D$ et…
Les points $A(-1\,;\,3)$, $B(4\,;\,5)$ et $C(2\,;\,-2)$ sont trois sommets consécutifs d'un parallélogramme $ABCD$. Déterminer les coordonnées du quatrième sommet $D$ et calculer la longueur exacte des deux diagonales du parallélogramme.
Les sommets d'un terrain triangulaire sont $A(-4 ; -2)$, $B(2 ; 6)$ et $C(6 ; 3)$. Démontrer d'abord que le terrain forme un triangle rectangle, puis calculer son…
Les sommets d'un terrain triangulaire sont $A(-4 ; -2)$, $B(2 ; 6)$ et $C(6 ; 3)$. Démontrer d'abord que le terrain forme un triangle rectangle, puis calculer son périmètre et son aire exacte.
Un système d'arrosage automatique comporte un arroseur circulaire de centre $C(x ; y)$ qui doit arroser de façon égale trois arbres situés aux coordonnées $T_1(0 ; 0)$,…
Un système d'arrosage automatique comporte un arroseur circulaire de centre $C(x ; y)$ qui doit arroser de façon égale trois arbres situés aux coordonnées $T_1(0 ; 0)$, $T_2(6 ; 0)$ et $T_3(0 ; 8)$. Déterminer les coordonnées où placer l'arroseur $C$ et sa portée exacte.
Déterminer si les points $A(-2 ; 1)$, $B(1 ; 3)$ et $C(7 ; 7)$ sont parfaitement alignés. Pour cela, calculer les distances $d(A,B)$, $d(B,C)$ et $d(A,C)$, puis vérifier…
Déterminer si les points $A(-2 ; 1)$, $B(1 ; 3)$ et $C(7 ; 7)$ sont parfaitement alignés. Pour cela, calculer les distances $d(A,B)$, $d(B,C)$ et $d(A,C)$, puis vérifier si l'égalité $d(A,B) + d(B,C) = d(A,C)$ est satisfaite.
Retour au début : le radar en $O(0 ; 0)$ et le cargo en $(12 ; 5)$ : $d = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{169} = 13$ km.