Notions de base sur les fonctions

Soit la fonction polynôme $f(x) = 2x^2 - 5x + 1$. Calculer les images des valeurs $x = -2$, $x = 0$ et $x = 3$.

Un service de location de vélos facture un forfait de $3$ euros pour l'inscription au service, plus $1,50$ euros par heure d'utilisation. Écrire l'expression littérale de la fonction qui relie le coût total à la durée d'utilisation, et identifier la variable et l'image (la variable dépendante).

Déterminer l'ensemble de définition des fonctions suivantes :

1. a) $f(x) = \frac{3}{x - 5}$
2. b) $g(x) = \sqrt{x + 2}$

Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $f(x) = \frac{\sqrt{x + 4}}{x - 2}$.

Déterminer par le calcul l'ensemble de définition de la fonction $f(x) = \sqrt{\frac{x - 3}{x + 2}}$. Exprimer le résultat comme réunion d'intervalles.

Déterminer par le calcul les points d'intersection de la courbe de la fonction $f(x) = x^2 - 6x + 8$ avec l'axe des abscisses et avec l'axe des ordonnées.

En étudiant la fonction $f(x) = \dfrac{2x - 6}{x + 1}$, Hugo commet une erreur conceptuelle très fréquente en cherchant les intersections avec les axes. Dans son cahier, il écrit :\n« Pour trouver l'intersection avec l'axe $Y$, je résous l'équation $2x - 6 = 0$, d'où j'obtiens $x = 3$, donc la courbe coupe l'axe $Y$ au point $(3 ; 0)$. Pour trouver l'intersection avec l'axe $X$, je remplace $x = 0$ et je calcule $f(0) = \dfrac{-6}{1} = -6$, donc elle coupe l'axe $X$ au point $(0 ; -6)$ ».\na) Expliquer en détail quelle confusion Hugo a faite sur le rôle de la variable et de son image lorsqu'il cherche les intersections avec les axes.\nb) À partir de la définition d'une fonction, justifier pourquoi il est mathématiquement impossible que la courbe d'une fonction coupe l'axe $Y$ en deux points distincts ou plus.\nc) Corriger la démarche de Hugo et déterminer les coordonnées correctes des points d'intersection de $f(x)$ avec les deux axes du repère.

Concevoir l'expression algébrique d'une fonction rationnelle de la forme $f(x) = \dfrac{a \cdot x + b}{x + c}$ qui vérifie simultanément les trois conditions suivantes :\n1) Son ensemble de définition est $\mathbb{R} \setminus \{2\}$.\n2) Sa courbe coupe l'axe des ordonnées (axe $Y$) au point $(0 ; -3)$.\n3) Sa courbe coupe l'axe des abscisses (axe $X$) au point $(3 ; 0)$.\nExpliquer pas à pas comment déduire la valeur numérique de chacun des paramètres $a$, $b$ et $c$, puis écrire la formule définitive de la fonction en vérifiant que le numérateur ne s'annule pas pour la valeur exclue de l'ensemble de définition.

Calculer le taux de variation moyen de la fonction $f(x) = x^2 - 4$ sur les intervalles $[-1 ; 2]$ et $[2 ; 5]$.

La distance $d$ (en mètres) parcourue par un objet en chute libre en fonction du temps $t$ (en secondes) est modélisée par la fonction $d(t) = 5t^2$. Calculer la vitesse moyenne de l'objet (qui correspond au taux de variation moyen) entre la première et la troisième seconde ($t \in [1 ; 3]$), puis entre la troisième et la cinquième seconde ($t \in [3 ; 5]$).

Calculer le taux de variation moyen de la fonction $f(x) = \frac{1}{x}$ sur les intervalles $[1 ; 2]$ et $[2 ; 4]$. Qu'indique le signe des résultats sur le sens de variation de la fonction sur ces intervalles ?

Soit la fonction du second degré $f(x) = x^2 + kx$. Déterminer la valeur du paramètre $k$ sachant que le taux de variation moyen de la fonction sur l'intervalle $[1 ; 3]$ est égal à $8$.

Une compagnie de taxis facture $3$ euros de prise en charge et $1,20$ euros par kilomètre parcouru.

1. a) Écrire la fonction qui relie le prix total de la course aux kilomètres parcourus.
2. b) Quel est l'ensemble de définition de cette fonction compte tenu du contexte du problème ?
3. c) Combien coûtera une course de $15$ km ?
4. d) Si un client a payé $21$ euros, combien de kilomètres a-t-il parcourus ?

La température $T$ (en degrés Celsius) à l'intérieur d'un four industriel, de son allumage à son extinction, est donnée par la fonction $T(t) = -t^2 + 8t + 20$, où $t$ est le temps écoulé en heures. À quel instant la température maximale est-elle atteinte ? Quelle est la valeur de cette température maximale ?

La température $T$ (en degrés Celsius) relevée par une station de Météo-France en zone de montagne durant un après-midi d'hiver est donnée par la fonction $T(t) = -0,5 \cdot t^2 + 2t + 4$, où $t$ est le temps écoulé en heures depuis 12 h ($t = 0$), pour $t \in [0 ; 6]$.\na) Sans effectuer de calcul exact, estimer qualitativement si le taux de variation moyen sur l'intervalle $[1 ; 5]$ (c'est-à-dire $\text{TVM}[1 ; 5]$) sera positif ou négatif. Justifier l'estimation en s'appuyant sur la forme de la parabole et le signe de son coefficient dominant.\nb) Calculer algébriquement la valeur exacte de $\text{TVM}[1 ; 5]$ en appliquant sa formule et indiquer les unités physiques correspondant au résultat.\nc) Vérifier si la valeur obtenue coïncide avec l'estimation précédente et expliquer la signification physique de ce résultat en ce qui concerne le refroidissement ou le réchauffement moyen de l'air durant ces heures.

Un agriculteur dispose de $100$ mètres de clôture pour enclore un potager rectangulaire en s'appuyant sur le mur rectiligne d'un bâtiment déjà construit, de sorte qu'il n'a besoin de clôturer que trois des quatre côtés du rectangle.

1. a) Déterminer l'expression de la fonction qui donne l'aire du potager en fonction de la longueur $x$ de l'un des côtés perpendiculaires au mur.
2. b) Déterminer l'ensemble de définition valable pour $x$ dans le contexte de ce problème.
3. c) Quelles dimensions le potager doit-il avoir pour que son aire soit maximale ?

Déterminer algébriquement si les fonctions suivantes sont paires, impaires ou n'ont aucune symétrie :

1. a) $f(x) = x^4 - 2x^2$
2. b) $g(x) = x^3 - 3x + 1$

Pour déterminer si la fonction rationnelle $f(x) = \dfrac{4x}{x^2 - 9}$ présente un type de symétrie (paire, impaire ou aucune), deux élèves de seconde défendent des méthodes différentes :\n- Stratégie d'Arthur : Il évalue la fonction en une valeur particulière de son ensemble de définition, par exemple $x = 1$, et obtient $f(1) = -0,5$ et $f(-1) = 0,5$. Constatant que $f(-1) = -f(1)$, il affirme que cela démontre avec certitude que la fonction est impaire sur tout son ensemble de définition.\n- Stratégie de Manon : Elle soutient que vérifier un cas particulier ne démontre pas une propriété générale. Elle propose de remplacer la variable $x$ par $-x$ de façon générale, de simplifier l'expression algébrique de $f(-x)$ et de la comparer formellement à $-f(x)$ et à $f(x)$.\na) Analyser la stratégie d'Arthur : expliquer pourquoi un exemple numérique ne constitue pas une démonstration mathématique valable et donner la formule d'une fonction $g(x)$ qui vérifie $g(-1) = -g(1)$ mais qui n'est pas impaire sur le reste de son ensemble de définition.\nb) Appliquer la stratégie de Manon en développant algébriquement $f(-x)$ et conclure rigoureusement sur le type de symétrie de $f(x)$.\nc) Justifier dans quelle situation d'un contrôle la méthode d'Arthur peut être utile (pour écarter une possibilité ou formuler une conjecture) et pourquoi la méthode de Manon est la seule mathématiquement concluante.

Déterminer par le calcul l'équation des asymptotes verticales et horizontales de la fonction rationnelle $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}$.

Analyser la courbe suivante de la fonction $f(x)$ et déterminer :

1. a) Son ensemble de définition et son ensemble image.
2. b) Les équations de ses asymptotes.
3. c) Les intervalles de croissance et de décroissance.
4. d) Les coordonnées de ses extremums locaux (maximums et minimums).

Soit la fonction rationnelle $f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 4}$ :

1. a) Démontrer par le calcul si c'est une fonction paire, impaire ou si elle ne présente aucune symétrie.
2. b) Déterminer les points d'intersection avec les axes du repère.
3. c) Déterminer les équations de toutes ses asymptotes (verticales et horizontales).

Soit la fonction rationnelle $f(x) = \frac{ax^2 + 3}{2x^2 - x}$. Déterminer la valeur du paramètre $a$ pour que la fonction admette la droite $y = 4$ pour asymptote horizontale. Avec cette valeur de $a$, déterminer aussi les équations des asymptotes verticales de la fonction.

Soit la courbe suivante d'une fonction définie par morceaux. Déterminer les valeurs de $f(-2)$, $f(1)$ et $f(4)$. Indiquer ensuite en quels points la fonction est discontinue et de quel type est chaque discontinuité.

La courbe ci-contre représente la hauteur, en mètres, à laquelle se trouve une cabine de grande roue en fonction du temps, en minutes. Observer la courbe et répondre :

1. a) La fonction est-elle périodique ? Si oui, indiquer sa période.
2. b) Quelles sont la hauteur maximale et la hauteur minimale atteintes par la cabine ?
3. c) À quelle hauteur se trouve la cabine exactement $10$ minutes après le début de la rotation ?

Le service municipal de location de vélos électriques d'une ville facture le coût $C(t)$ (en euros) en fonction de la durée d'utilisation $t$ (en minutes, avec $0 \le t \le 90$) par une fonction définie par morceaux. Les 20 premières minutes combinent des frais de déverrouillage et un tarif réduit, et à partir de la 20e minute le coût par minute augmente afin d'éviter que les vélos soient monopolisés :\n$C(t) = \begin{cases} 0,60 + 0,05 \cdot t & \text{si } 0 \le t \le 20 \\ k + 0,15 \cdot (t - 20) & \text{si } 20 < t \le 90 \end{cases}$\na) Déterminer la valeur que doit prendre le paramètre $k$ pour que la fonction soit continue en $t = 20$. Expliquer quelle conséquence économique ou quelle injustice pour l'utilisateur surviendrait s'il y avait une discontinuité avec saut à cet instant.\nb) Sachant que le tarif est continu, si un utilisateur reçoit un débit exact de $4,60$ € sur son application mobile, poser et résoudre l'équation correspondante pour trouver la durée de son trajet en minutes.\nc) Calculer le taux de variation moyen du coût sur l'intervalle $[5 ; 15]$ et sur l'intervalle $[30 ; 50]$. Expliquer ce que représentent ces deux valeurs numériques par rapport au prix par minute de chaque tranche tarifaire.

Déterminer les valeurs des paramètres $a$ et $b$ pour que la fonction définie par morceaux suivante soit continue sur tout son ensemble de définition :

$f(x) = \begin{cases} 2x + a & \text{si } x < 1 \\ x^2 - 3x + 5 & \text{si } 1 \le x < 4 \\ bx - 1 & \text{si } x \ge 4 \end{cases}$

Un parking public applique le tarif suivant : $2$ euros pour la première heure (ou fraction d'heure), et $1,50$ euros pour chaque heure supplémentaire (ou fraction). Le coût maximal par jour est de $12$ euros. Écrire l'expression de la fonction définie par morceaux qui relie le prix à payer à la durée de stationnement $t$ (en heures) pour les $5$ premières heures, en indiquant clairement les intervalles de définition de chaque morceau.

Observer la courbe suivante d'une fonction $f(x)$ et déterminer ses intervalles de croissance et de décroissance, ainsi que les coordonnées exactes de ses maximums et minimums locaux.

À partir de la courbe de la fonction $h(x)$, sachant que l'ordonnée du point ouvert en $x = -2$ est $1,25$, indiquer sous forme d'intervalle son ensemble de définition et son ensemble image.