Résolution graphique et algébrique de f(x) = g(x) et f(x) < g(x)

Lire les solutions sur deux courbes

Soit deux fonctions $f$ et $g$ définies sur un même intervalle, de courbes représentatives $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ dans un repère.

Pourquoi ? Un point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $x$ a pour ordonnée $f(x)$, et le point de $\mathcal{C}_g$ de même abscisse a pour ordonnée $g(x)$. Comparer les ordonnées revient donc à regarder quelle courbe est la plus haute.

Ici, $f(x) = x^2$ et $g(x) = x + 2$.

Les courbes se coupent aux abscisses $-1$ et $2$, donc $f(x) = g(x)$ pour $x = -1$ ou $x = 2$. Entre ces deux abscisses, la parabole est sous la droite (trait vert sur l'axe). L'ensemble des solutions de $f(x) < g(x)$ est donc $]-1\,;2[$. Les bornes sont exclues car l'inégalité est stricte : en $-1$ et en $2$, on a l'égalité.

Déplace les curseurs pour voir comment les solutions changent quand la droite bouge.

Résoudre f(x) = g(x) par le calcul

Le dessin donne une lecture rapide mais souvent approchée. Pour une valeur exacte, on traduit « les deux courbes ont la même ordonnée » par une équation en $x$.

Résoudre f(x) < g(x) : étudier le signe de f(x) − g(x)

On ne peut pas lire une inéquation sur un dessin que l'on n'a pas. L'idée est de se ramener à une question de signe.

Pourquoi ? Si $f(x)$ est plus petit que $g(x)$, la différence $f(x) - g(x)$ est négative, et réciproquement. On a transformé la comparaison de deux expressions en une seule expression à étudier, que l'on factorise pour utiliser un tableau de signes.

Certains cas se traitent sans tableau, avec les fonctions de référence. Pour $x^2 < 4$, on sait que $x^2 = 4$ pour $x = -2$ ou $x = 2$, et que la parabole est sous la droite $y = 4$ entre ces deux points. Donc $x^2 < 4 \iff x \in {]-2\,;2[}$ et $x^2 \geqslant 4 \iff x \in {]-\infty\,;-2]} \cup {[2\,;+\infty[}$.

Quand il y a un quotient ou une fonction inverse

Avec la fonction inverse $x \mapsto \dfrac{1}{x}$, on est tenté de multiplier les deux membres par $x$ pour supprimer le quotient. Cela est possible, mais le sens de l'inégalité dépend du signe de $x$.

Pourquoi ? Sur la droite numérique, $2 < 5$. Multiplier par $-1$ donne $-2$ et $-5$, et $-2 > -5$ : l'ordre est retourné.

Quand le dénominateur est une expression qui peut changer de signe, on ne multiplie pas : on utilise la méthode de la différence, on met sur un même dénominateur et on fait un tableau de signes. Pour $f(x) = \dfrac{2x+3}{x+1}$ et $g(x) = x+1$ :

Sur $]-1\,;+\infty[$, le dénominateur $x + 1$ est strictement positif : le signe du quotient est donc celui du numérateur $-x^2 + 2$.

Valeurs approchées avec la calculatrice

Parfois, on ne sait pas factoriser. On cherche alors des valeurs approchées, avec un logiciel de géométrie, un tableur ou la calculatrice.

On peut aussi chercher l'abscisse en cherchant le changement de signe de $h(x) = f(x) - g(x)$ dans un tableau de valeurs de pas $0{,}1$, ou avec un petit programme Python (balayage) :

def h(x):

    return x**2 - (x + 3)

k = 0

while h(k / 10) < 0:   # on teste x = k/10, avec un pas de 1/10

    k = k + 1

print(k / 10)   # affiche 2,4 (avec un point en Python)

La boucle s'arrête dès que $h(x) \geqslant 0$, c'est-à-dire juste après le point d'intersection. Ici, $h(2{,}3) = -0{,}01 < 0$ et $h(2{,}4) = 0{,}36 \geqslant 0$ : le programme affiche $2{,}4$, la première décimale après le point d'intersection (qui est entre $2{,}3$ et $2{,}4$). Remarque : en Python, le séparateur décimal est le point.

Négation : « pour tout » et « il existe »

Pour parler d'une fonction, on emploie souvent des phrases comme « $f(x) \geqslant 0$ pour tous les réels $x$ » ou « il existe un réel $x$ tel que $f(x) = 0$ ». Au programme de seconde, on les écrit avec des mots (les symboles sont hors programme).

Pourquoi ? Pour qu'une affirmation sur tous les réels soit fausse, il suffit d'un seul réel qui ne la vérifie pas : c'est un contre-exemple. À l'inverse, pour montrer qu'un réel existe, il suffit d'en exhiber un.

L'essentiel

• Les solutions de $f(x) = g(x)$ sont les abscisses des points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ ; celles de $f(x) < g(x)$ sont les abscisses où $\mathcal{C}_f$ est strictement sous $\mathcal{C}_g$.

• Par le calcul, on résout $f(x) = g(x)$ comme une équation, puis on calcule l'ordonnée du point d'intersection avec $f(x)$.

• Pour une inéquation, on étudie le signe de $f(x) - g(x)$ : on le factorise, puis on dresse un tableau de signes.

• On ne multiplie une inégalité que par un nombre dont on connaît le signe : positif, le sens est conservé ; négatif, le sens change.

• À la calculatrice, on obtient des valeurs approchées, que l'on écrit comme telles.

• La négation de « pour tout… » est « il existe… qui ne vérifie pas » ; un seul contre-exemple réfute un « pour tout ».