Exercices: Valeur absolue d'un nombre réel

Calculer la valeur numérique de l'expression suivante : $|-7| - |4 - 9| + |-3|$.

Résoudre l'équation avec valeur absolue : $|3x| = 12$.

Exprimer l'inégalité $|x| \le 5$ sous forme d'intervalle.

Écrire l'intervalle $]-8 ; 8[$ à l'aide de la notation de valeur absolue.

Calculer la distance sur la droite réelle entre les points $A = -6$ et $B = 11$ à l'aide de la valeur absolue.

Résoudre l'équation $|x - 4| = 3$.

Exprimer l'inégalité $|x + 2| > 4$ sous forme de réunion d'intervalles.

Déterminer quelles valeurs réelles de $x$ vérifient l'équation $|x| = -5$ et justifier la réponse.

Lucas essaie de résoudre au tableau l'équation $|3x - 6| = -9$ et écrit le développement suivant :

$3x - 6 = -9 \Rightarrow 3x = -3 \Rightarrow x = -1$

$3x - 6 = 9 \Rightarrow 3x = 15 \Rightarrow x = 5$

Il affirme donc avec assurance que l'équation a deux solutions : $x = -1$ et $x = 5$.

1. a) Sans remplacer les valeurs obtenues dans l'équation initiale, expliquer quelle erreur conceptuelle Lucas commet dès la première étape.
2. b) Déterminer l'ensemble exact des solutions et justifier la réponse en s'appuyant sur l'interprétation géométrique de la valeur absolue comme distance.
3. c) Quelle condition le nombre situé de l'autre côté de l'égalité devrait-il vérifier pour que la méthode consistant à séparer deux cas de signes opposés soit valable ?

Dans un laboratoire de métrologie, on analyse des capteurs industriels selon la marge de tolérance admissible de leurs mesures.

1. a) Écrire une inéquation avec valeur absolue de la forme $|x - c| \le r$ dont l'ensemble des solutions est exactement l'intervalle fermé $[-3\,;\,7]$. Déduire, en justifiant, les valeurs du centre $c$ et du rayon de tolérance $r$ à partir des bornes de l'intervalle.
2. b) Sans recalculer le centre ni le rayon, modifier l'inéquation précédente pour décrire les capteurs à rejeter parce qu'ils dépassent la tolérance permise, c'est-à-dire ceux dont la mesure appartient à l'ensemble $]-\infty\,;\,-3[\;\cup\;]7\,;\,+\infty[$.

Une usine de roulements en acier stipule que la longueur idéale d'une pièce est de $250 \text{ mm}$. Le contrôle qualité rejette toute pièce dont la longueur diffère de la longueur idéale de plus de $1,2 \text{ mm}$. Exprimer cette condition à l'aide d'une inéquation avec valeur absolue et déterminer l'intervalle des longueurs valides.

Résoudre l'inéquation $\left| \frac{2x - 3}{4} \right| \le 1$ et représenter la solution sous forme d'intervalle.

Exprimer l'intervalle fermé $[3 ; 11]$ à l'aide d'une inéquation de la forme $|x - c| \le r$, en déterminant la valeur du centre $c$ et du rayon $r$.

Une culture de bactéries dans un laboratoire de biologie doit être maintenue à une température exacte de $37^\circ\text{C}$. L'expérience est compromise si la température varie de $2,5^\circ\text{C}$ ou plus. Écrire la condition d'échec de l'expérience à l'aide de la valeur absolue et la résoudre pour trouver les intervalles de température critiques.

Trouver toutes les valeurs réelles de $x$ vérifiant l'équation avec deux valeurs absolues : $|3x - 1| = |x + 5|$.

Le prix d'une action en bourse est aujourd'hui de $60$ euros. Un modèle financier prédit que le prix $p$ de la semaine prochaine vérifiera la relation $|p - 60| \le 4,8$. Quels sont les prix maximum et minimum envisagés par la prédiction ?

Simplifier l'expression littérale $|x - 3| + |x + 2|$ sachant que la variable $x$ appartient à l'intervalle $]-2 ; 3[$.

Déterminer tous les nombres réels $x$ tels que leur distance au point $7$ soit exactement le double de leur distance au point $-2$.

Météo-France déclenche la vigilance jaune canicule dans la plaine de la Garonne lorsque la température maximale prévue $T$ (en $^\circ\text{C}$) vérifie l'inéquation $|T - 39,5| \le 2,5$.

1. a) Résoudre l'inéquation et interpréter le résultat en déterminant l'intervalle fermé de températures correspondant à ce niveau de vigilance. Préciser clairement la température centrale de référence et l'écart maximal permis.
2. b) Météo-France passe à la vigilance orange si la température dépasse strictement la limite supérieure de la vigilance jaune sans atteindre $44,0\,^\circ\text{C}$. Modéliser ce nouvel intervalle de températures à l'aide d'une unique inéquation avec valeur absolue de la forme $|T - c| < r$.
3. c) Si une station météorologique automatique enregistre $36,4\,^\circ\text{C}$, justifier mathématiquement si cette valeur se situe ou non dans la plage de vigilance jaune en calculant la valeur numérique de $|T - 39,5|$ et en interprétant la distance obtenue.

On considère l'équation avec deux valeurs absolues $|x - 1| + |x - 7| = 10$.

1. a) Interpréter géométriquement $|x - 1|$ et $|x - 7|$ comme les distances d'un nombre réel $x$ aux points $1$ et $7$ sur la droite numérique. Quelle est la valeur de la somme de ces deux distances si $x$ est situé en un point quelconque de l'intérieur du segment $[1 ; 7]$ ?
2. b) À partir du raisonnement précédent, expliquer pourquoi il est impossible qu'il existe des solutions dans l'intervalle $[1 ; 7]$ et estimer, en justifiant, en exploitant la symétrie de la droite réelle et sans calcul algébrique, quelles doivent être les deux solutions exactes de l'équation.
3. c) Résoudre l'équation de façon formelle en étudiant les trois intervalles déterminés par les points critiques $x = 1$ et $x = 7$ (ou en définissant le premier membre comme une fonction définie par morceaux) et vérifier si l'estimation initiale était correcte.

Résoudre l'inéquation du second degré avec valeur absolue : $|x^2 - 2x| < 3$.

Le système de navigation d'un sous-marin exige que sa profondeur idéale $h$ (en mètres, où $h > 0$) se maintienne dans la plage $|h - 250| \le 30$. Cependant, de fortes courants marins introduisent une perturbation, de sorte que la profondeur réelle $h_r$ du sous-marin vérifie $|h_r - h| \le 12$. Déterminer l'intervalle des profondeurs réelles entre lesquelles le sous-marin peut évoluer dans le pire des cas.

Discuter le nombre de solutions de l'équation $|x - 4| + |x + 1| = k$ en fonction des valeurs du paramètre réel $k$.

Résoudre l'équation suivante contenant des valeurs absolues imbriquées : $||x - 2| - 5| = 3$.

Démontrer, à l'aide de l'inégalité triangulaire ($|x + y| \le |x| + |y|$), que pour tous nombres réels $a$ et $b$, l'inégalité $|a - b| \ge ||a| - |b||$ est vérifiée.

Le graphique suivant représente une fonction définie par la différence de deux valeurs absolues, $f(x) = |x - a| - |x - b|$ avec $a < b$. En observant les sommets et les paliers constants sur la figure, déterminer les valeurs des paramètres $a$ et $b$, et écrire l'expression de $f(x)$ définie par morceaux sans valeur absolue.

Résoudre l'inéquation avec quotient $\frac{3}{|x - 1|} \ge 2$.

Dans un modèle d'apprentissage automatique, l'erreur $E$ entre la prédiction $y$ et la valeur réelle $t$ est définie par $E = |y - t|$. Si la conception du modèle garantit que $|y - 15| \le 1,5$ et $|t - 15| \le 2,5$, déterminer un majorant de l'erreur maximale possible $E$ à l'aide des propriétés de la valeur absolue, et trouver l'intervalle des valeurs possibles pour la différence $y - t$.

Pour résoudre l'inéquation $|2x - 3| \le |x + 3|$, deux élèves de lycée proposent des méthodes différentes :

• Méthode A : Découper la droite réelle en trois intervalles à partir des points critiques qui annulent chaque valeur absolue ($x = -3$ et $x = 1,5$), réécrire l'expression sans barres dans chaque zone et résoudre les trois systèmes obtenus.

• Méthode B : Comme les deux membres sont positifs ou nuls pour tout $x \in \mathbb{R}$, éléver les deux membres au carré pour obtenir $(2x - 3)^2 \le (x + 3)^2$, et résoudre en factorisant une différence de carrés $(2x - 3)^2 - (x + 3)^2 \le 0$.

1. a) Appliquer la méthode B en factorisant la différence de carrés (sans développer les binômes au carré) pour trouver l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.
2. b) Justifier formellement pourquoi la méthode B est rigoureuse sur le plan mathématique dans cet exercice et expliquer pourquoi elle ne serait plus directement applicable si l'inéquation était $|2x - 3| \le |x + 3| - 4$.
3. c) Comparer la charge algébrique et le risque d'erreur entre les deux méthodes. Laquelle est la plus avantageuse pour les inéquations de la forme $|A(x)| \le |B(x)|$ ?

Lors d'une évaluation, Mathis essaie de déduire et d'appliquer des propriétés de la valeur absolue, mais commet des erreurs conceptuelles en chaîne :

« D'après l'inégalité triangulaire, on sait que $|a| = |(a - b) + b| \le |a - b| + |b|$, d'où en soustrayant $|b|$ on obtient $|a| - |b| \le |a - b|$. Comme une distance n'est jamais négative, on peut conclure que $|a - b| = |a| - |b|$ toujours. Par conséquent, pour résoudre l'inéquation $|x - 4| \ge 5$, il suffit d'écrire $|x| - 4 \ge 5$, c'est-à-dire $|x| \ge 9$, dont la solution est $]-\infty ; -9] \cup [9 ; +\infty[$ ».

1. a) Relever précisément les deux erreurs de raisonnement logique commises par Mathis et donner un contre-exemple numérique simple, avec des valeurs concrètes de $a$ et $b$, qui réfute l'égalité $|a - b| = |a| - |b|$.
2. b) À partir de l'étape correcte de Mathis ($|a| - |b| \le |a - b|$), échanger les rôles de $a$ et $b$ pour déduire rigoureusement l'inégalité triangulaire inverse : $\big||a| - |b|\big| \le |a - b|$. Quelle condition les signes de $a$ et $b$ doivent-ils vérifier pour que cette expression atteigne l'égalité ?
3. c) Résoudre correctement l'inéquation $|x - 4| \ge 5$ et interpréter sur la droite réelle pourquoi la solution obtenue par Mathis était décalée par rapport à la solution exacte.