Exercices: Fractions rationnelles

Simplifier la fraction rationnelle suivante en mettant en facteur un facteur commun au numérateur et au dénominateur : $\frac{4x^3 - 2x^2}{6x^2 - 2x}$

Vérifier, à l'aide du produit en croix, si les fractions rationnelles $\frac{x-3}{x+1}$ et $\frac{x^2-9}{x^2+4x+3}$ sont égales.

Effectuer la somme de fractions rationnelles suivante et simplifier le résultat : $\frac{3x+2}{x-2} + \frac{-x-6}{x-2}$

Multiplier les fractions rationnelles suivantes et donner le résultat sous la forme la plus simplifiée possible : $\frac{x}{x+2} \cdot \frac{x^2-4}{x^2}$

Effectuer la division de fractions rationnelles et simplifier : $\frac{2x+2}{x-1} : \frac{4x+4}{x^2-1}$

Calculer la valeur de la fraction rationnelle $\frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 + 1}$ pour $x = -2$.

Simplifier la fraction rationnelle suivante en appliquant les identités remarquables : $\frac{x^2 - 25}{x^2 - 10x + 25}$

Effectuer l'opération suivante et simplifier le résultat : $\frac{x^2+5x}{x+3} - \frac{x^2-9}{x+3}$

Lucie doit simplifier la fraction rationnelle $\dfrac{x^2+4x}{x^2+6x+8}$ lors d'un contrôle et écrit sur sa feuille :

1. a) Identifier l'erreur conceptuelle commise par Lucie dans sa première étape et expliquer en détail pourquoi il n'est pas mathématiquement valide de barrer le terme $x^2$. Donner un contre-exemple numérique simple (avec une fraction de nombres concrets et des sommes) qui montre que barrer des termes d'une somme conduit à un résultat erroné.
2. b) Effectuer correctement la simplification en factorisant le numérateur et le dénominateur, et indiquer quelles valeurs de $x$ n'appartiennent pas à l'ensemble de définition de la fraction initiale.

Trouver une fraction rationnelle $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ qui vérifie simultanément les trois conditions suivantes :

1) Sa forme irréductible est $\dfrac{2}{x-5}$.

2) Les seules valeurs qui n'appartiennent pas à son ensemble de définition (valeurs interdites) sont $x = 5$ et $x = -3$.

3) Les polynômes $P(x)$ et $Q(x)$ doivent être entièrement développés dans la réponse finale (sans produits indiqués ni facteurs entre parenthèses).

Expliquer pas à pas comment vous avez déduit le numérateur et le dénominateur à partir des restrictions de l'ensemble de définition données.

Simplifier la fraction rationnelle suivante en factorisant au préalable le numérateur et le dénominateur : $\frac{x^3 - 4x^2 + 4x}{x^3 - 2x^2 - 4x + 8}$

Effectuer les opérations suivantes en réduisant au même dénominateur et simplifier le résultat : $\frac{2}{x-1} + \frac{x}{x+1} - \frac{2x}{x^2-1}$

La base d'un panneau solaire rectangulaire mesure $x+5$ mètres et sa hauteur mesure $x-5$ mètres. Le côté d'un panneau solaire carré mesure $x$ mètres. Écrire la fraction rationnelle qui représente le quotient de l'aire du panneau rectangulaire par l'aire du panneau carré. Calculer la valeur de cette fraction pour $x = 10$ mètres.

Un robinet d'eau chaude met $x$ heures à remplir une baignoire, tandis que le robinet d'eau froide met $x+3$ heures. Écrire une fraction rationnelle simplifiée qui représente la part de la baignoire remplie en une heure lorsque les deux robinets sont ouverts en même temps.

Effectuer l'opération combinée suivante avec des fractions rationnelles et simplifier le résultat : $\left( \frac{1}{x} - \frac{2}{x+2} \right) : \frac{x-2}{x^2+2x}$

Le coût total en euros de fabrication de $x$ vélos est donné par le polynôme $C(x) = 3x^2 + 150x$. Les recettes totales en euros de la vente de ces $x$ vélos sont exprimées par le polynôme $I(x) = 5x^2 + 200x$. Écrire la fraction rationnelle irréductible qui représente le rapport entre les recettes et les coûts.

Effectuer la soustraction de fractions rationnelles suivante et simplifier au maximum : $\frac{x^2+x}{x^2-1} - \frac{x}{x-1}$

Un train parcourt une distance de $120$ km à une vitesse constante de $v$ km/h. Au trajet retour, à cause de la pluie, sa vitesse diminue de $10$ km/h. Écrire la fraction rationnelle qui représente la durée totale du trajet aller-retour en fonction de $v$, en la réduisant à une seule fraction.

Pour calculer et simplifier la différence $\dfrac{x}{x^2-9} - \dfrac{1}{2x+6}$, deux élèves de seconde proposent des stratégies différentes :

• Marcus propose de multiplier directement les deux dénominateurs entre eux pour obtenir un dénominateur commun : $(x^2-9) \cdot (2x+6) = 2x^3+6x^2-18x-54$.

• Chloé propose de factoriser d'abord chaque dénominateur, ce qui donne $x^2-9 = (x-3)(x+3)$ et $2x+6 = 2(x+3)$, pour calculer à partir de là le plus petit multiple commun ($\text{PPCM}$).

1. a) Comparer les deux procédures et justifier laquelle est préférable pour minimiser la difficulté des calculs et éviter des polynômes de degré inutilement élevé.
2. b) Effectuer l'opération en suivant la méthode la plus adaptée, simplifier le résultat jusqu'à obtenir une fraction irréductible et indiquer quelles valeurs de $x$ doivent être exclues de l'expression.

On considère l'expression littérale $F(x) = \dfrac{3x^2 - 5x}{x^2 - 1} - 3$.

1. a) Estimer : avant de calculer avec papier et crayon, analyser mentalement ce qui se passe lorsque la variable $x$ prend une très grande valeur positive (par exemple $x = 100\,000$). Vers quelle valeur pensez-vous que tende le quotient $\dfrac{3x^2-5x}{x^2-1}$ si l'on ignore les termes de plus bas degré ? À partir de cette déduction, estimer en justifiant vers quelle valeur tendra $F(x)$ pour de très grands nombres et si vous vous attendez à ce que le résultat soit légèrement positif ou légèrement négatif.
2. b) Vérifier : réduire la différence au même dénominateur, effectuer les opérations du numérateur et simplifier $F(x)$ en une unique fraction rationnelle irréductible.
3. c) Remplacer $x = 100$ dans la fraction simplifiée obtenue à la question b), calculer sa valeur décimale et justifier si elle confirme l'estimation formulée à la question a).

Effectuer et simplifier au maximum l'expression suivante : $\frac{x^2-1}{x^2+2x+1} \cdot \left( \frac{2x}{x-1} - \frac{x+1}{x} \right)$

Déterminer la valeur du paramètre $k$ pour que la fraction rationnelle $\frac{x^2 - kx + 10}{x-5}$ puisse être simplifiée (c'est-à-dire que le numérateur soit divisible par le dénominateur). Une fois $k$ trouvé, écrire l'expression simplifiée.

Déterminer le polynôme $P(x)$ qui rend vraie l'égalité suivante entre fractions rationnelles : $\frac{x^2-9}{P(x)} = \frac{x-3}{x^2+2x}$

On veut construire une boîte sans couvercle à partir d'une feuille rectangulaire de carton de dimensions $x+6$ et $x+4$ centimètres, en découpant des carrés de $2$ cm de côté aux quatre coins et en pliant les rabats. Écrire la fraction rationnelle irréductible qui représente le rapport entre le volume de la boîte et l'aire de sa base.

Démontrer, en effectuant les opérations et en simplifiant les fractions rationnelles, que l'expression suivante est égale à $2ab$ : $\frac{a^3-b^3}{a-b} - \frac{a^3+b^3}{a+b}$

Dans un laboratoire de chimie, on mélange $x$ litres d'une solution A, dont le coût est de $\frac{20}{x}$ euros par litre, avec $x+4$ litres d'une solution B, dont le coût est de $\frac{30}{x+4}$ euros par litre. Écrire la fraction rationnelle qui représente le prix par litre de la solution obtenue, en simplifiant l'expression au maximum.

Simplifier l'expression littérale suivante, sous forme de « fractions imbriquées » : $1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{x-1}}$

Un athlète court sur une piste circulaire. Pendant la première moitié du parcours, il court à une vitesse de $v$ m/s, et pendant la seconde moitié, il court à une vitesse de $v-2$ m/s. Sachant que la vitesse moyenne sur tout le parcours se calcule comme la distance totale divisée par la durée totale, démontrer à l'aide de fractions rationnelles que la vitesse moyenne est $\frac{2v(v-2)}{2v-2}$ m/s.

Un TER effectue un trajet aller-retour entre deux villes reliées par une voie de $120\text{ km}$ de longueur. À l'aller, il circule à une vitesse constante $v$ (en $\text{km/h}$), tandis qu'au retour il circule à une vitesse plus rapide, de $(v + 20)\text{ km/h}$.

1. a) Sachant que la durée se calcule comme le quotient de la distance par la vitesse, écrire la fraction rationnelle qui représente la durée totale du trajet aller-retour, $T(v)$, en additionnant les durées des deux trajets à l'aide du plus petit multiple commun de leurs dénominateurs.
2. b) La vitesse moyenne globale sur tout le trajet se définit comme la distance totale parcourue divisée par la durée totale : $V_m(v) = \dfrac{240}{T(v)}$. Simplifier cette fraction complexe et démontrer que la vitesse moyenne globale peut s'exprimer sous la forme $V_m(v) = \dfrac{v(v+20)}{v+10}$.
3. c) Un voyageur affirme : « Comme à l'aller nous sommes allés à $v$ et au retour à $v+20$, la vitesse moyenne du voyage complet est exactement la moyenne arithmétique ordinaire : $\dfrac{v + (v+20)}{2} = v + 10$ ». Démontrer algébriquement, en calculant la différence $V_m(v) - (v+10)$ sous la forme d'une seule fraction irréductible, que cette affirmation est fausse et en déduire si la vraie vitesse moyenne globale est toujours strictement supérieure ou inférieure à cette moyenne arithmétique pour toute vitesse $v > 0$.

Hélène résout au tableau l'opération combinée suivante :

Dans son cahier, elle note les étapes suivantes :

• Étape 1 : Soustraction dans la parenthèse : $\dfrac{x(x+1)-2(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{x^2-x+2}{x^2-1}$.

• Étape 2 : Transformation de la division en produit en inversant la seconde fraction : $\dfrac{x^2-x+2}{x^2-1} \cdot \dfrac{x^2-1}{x^2+x-2}$.

• Étape 3 : Simplification du bloc $(x^2-1)$ présent au numérateur et au dénominateur : $\dfrac{x^2-x+2}{x^2+x-2}$.

• Étape 4 : Simplification de $x^2$ avec $x^2$, division de $\dfrac{-x}{x} = -1$ et $\dfrac{2}{-2} = -1$, d'où elle déduit que le résultat final est $1$.

• Étape 5 : Elle affirme que l'expression peut être évaluée en tout nombre réel sauf en $x = 1$ et $x = -1$.

1. a) Hélène a commis deux erreurs conceptuelles graves : une erreur algébrique à l'étape 4 et une erreur d'analyse de l'ensemble de définition à l'étape 5 (relative à la division de fractions). Expliquer en quoi consiste chaque erreur et pourquoi elle invalide son raisonnement.
2. b) Résoudre correctement l'exercice à partir de l'étape 3 en factorisant les polynômes lorsque c'est possible et déterminer la liste complète de toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles l'expression initiale n'a pas de sens.