Exercices: Expressions littérales

Identifier le coefficient, la partie littérale et le degré du monôme suivant : $M(x,y) = -\frac{2}{3}x^4y^2$.

Calculer la valeur du polynôme $P(x) = 3x^2 - 5x + 2$ pour $x = -2$.

Exprimer sous forme littérale l'énoncé suivant : « Le cube d'un nombre moins le carré d'un autre nombre, différent du premier ».

Indiquer lesquelles des expressions littérales suivantes sont des polynômes et justifier la réponse :

• $A(x) = 3x^2 - \frac{5}{x}$

• $B(x) = \sqrt{2}x^3 - x$

• $C(x) = 4x^{1/2} + 1$

Effectuer la somme et la différence de monômes semblables suivantes et simplifier le résultat : $3x^2y - 5x^2y + 8x^2y$.

Effectuer la multiplication des monômes suivants : $(-3a^2b^3) \cdot (4ab^4)$.

Déterminer la valeur de $k$ pour que la valeur du polynôme $P(x) = 2x^3 - kx + 4$ en $x = 1$ soit égale à $5$.

Écrire l'expression littérale qui représente le périmètre d'un rectangle dont la base mesure $3x$ et la hauteur mesure $x + 2$.

Marc doit simplifier, lors d'un contrôle, l'expression littérale $E(x, y) = 4x^3y^2 + 2x^3y^2 - 3x \cdot (2x^2y^2)$. Sur sa copie, il écrit le développement suivant :

Étape 1 : $4x^3y^2 + 2x^3y^2 = 6x^6y^4$.

Étape 2 : $3x \cdot (2x^2y^2) = 6x^2y^2$.

Étape 3 : $6x^6y^4 - 6x^2y^2 = 0x^4y^2 = 0$.

1. a) Identifier et expliquer de façon argumentée les erreurs de raisonnement commises par Marc à chacune des trois étapes, en indiquant quelles propriétés des opérations sur les monômes il n'a pas respectées.
2. b) Effectuer la simplification correcte étape par étape, indiquer si le résultat obtenu est un monôme ou un polynôme et déterminer son degré.

On cherche à déterminer l'expression d'un monôme à deux variables de la forme $M(x, y) = c \cdot x^{a+2} y^{3a-1}$, où $c$ est un nombre réel et $a$ est un entier naturel.

1. a) Sachant que le degré du monôme est $9$, poser une équation du premier degré d'inconnue $a$ et trouver sa valeur.
2. b) Avec la valeur de $a$ trouvée, calculer le coefficient $c$ sachant que la valeur du monôme pour $x = -1$ et $y = 2$ est égale à $-64$.
3. c) Si l'on garde la valeur de $y = 2$ mais que l'on triple la valeur de $x$ en la remplaçant par $x = -3$, expliquer par quel facteur le résultat final est multiplié, sans avoir à recalculer toutes les puissances depuis le début.

Un magasin de vêtements propose une réduction de $20\%$ sur tous ses articles. On achète $x$ chemises coûtant initialement $25$ euros chacune et $y$ pantalons coûtant $40$ euros chacun. Écrire l'expression littérale du coût total de l'achat. Calculer ce coût pour $3$ chemises et $2$ pantalons.

L'énergie cinétique d'un corps en mouvement est donnée par l'expression $E_c = \frac{1}{2}mv^2$, où $m$ est la masse en kilogrammes et $v$ la vitesse en mètres par seconde. Calculer l'énergie cinétique d'un véhicule de $800$ kg roulant à $20$ m/s.

La figure représente un carré de côté $2x$ contenant un disque de rayon $x$. Écrire l'expression littérale qui représente l'aire de la région colorée (la partie du carré extérieure au disque).

Calculer la valeur de l'expression littérale $P(x,y) = \frac{x^2 - 2xy + y^2}{x - y}$ pour $x = \frac{1}{2}$ et $y = -\frac{3}{2}$. Indice : simplifier l'expression avant de remplacer les valeurs.

Un opérateur téléphonique facture un abonnement fixe mensuel de $15$ euros, plus $0,12$ euros par minute d'appel $m$ et $0,05$ euros par mégaoctet consommé $d$. Écrire l'expression littérale de la facture mensuelle et calculer son montant pour un mois où l'on a consommé $100$ minutes et $500$ mégaoctets.

Déterminer les valeurs des paramètres $a$ et $b$ du polynôme $P(x) = ax^2 + bx - 5$ sachant que sa valeur pour $x = 1$ est $-2$ et pour $x = -1$ est $-4$.

Un réservoir cylindrique a une base de rayon $r = x$ et une hauteur $h = 3x$. Écrire les expressions littérales qui représentent son volume et son aire latérale en fonction de $x$.

Effectuer la division de monômes suivante et indiquer le coefficient, la partie littérale et le degré du monôme obtenu : $\frac{-24x^5y^4z}{6x^2y^3}$.

Une coopérative de messagerie durable à vélo de Toulouse propose aux petites entreprises un tarif mensuel composé d'un abonnement fixe de $35$ euros, plus $2,40$ euros par livraison standard (moins de $3$ kg) et $4,50$ euros par livraison urgente ou volumineuse. De plus, pour encourager le commerce de proximité, si l'on effectue plus de $80$ livraisons au total dans un mois, une réduction de $15\%$ est appliquée exclusivement sur le coût des envois (l'abonnement fixe n'est pas réduit).

1. a) Définir les deux variables en jeu et écrire le polynôme qui exprime le coût mensuel $C_1(x, y)$ d'une entreprise qui ne dépasse pas $80$ livraisons au total. Indiquer quel est le terme constant et expliquer sa signification concrète.
2. b) Écrire le polynôme simplifié $C_2(x, y)$ qui représente le coût mensuel si l'entreprise dépasse $80$ livraisons dans le mois.
3. c) Une librairie du centre-ville a effectué le mois dernier $50$ livraisons standard et $40$ livraisons urgentes. Justifier quelle formule il faut appliquer, calculer le montant total de la facture et interpréter quel pourcentage de la dépense totale correspondait à l'abonnement fixe.

Dans un centre de contrôle environnemental du Massif central, on modélise la concentration d'un polluant dans l'air (en $\mu\text{g}/\text{m}^3$) au cours d'une journée de $8$ heures par le polynôme $C(t) = -0,25 t^3 + 2,4 t^2 - 3,5 t + 18$, où $t$ représente le temps en heures écoulé depuis 8 h 00 ($0 \leq t \leq 8$). On souhaite connaître la concentration à 12 h 00 ($t = 4$).

1. a) Avant de calculer exactement, faire une estimation en arrondissant les coefficients décimaux à l'entier le plus proche (en cas d'égalité, comme pour $-3,5$, arrondir à $-4$) et déterminer mentalement si la valeur de $C(4)$ sera supérieure ou inférieure à la concentration initiale $C(0) = 18\,\mu\text{g}/\text{m}^3$. Justifier la prévision.
2. b) Calculer la valeur exacte de $C(4)$ en respectant les priorités opératoires et la règle des signes.
3. c) Déterminer l'erreur absolue commise dans l'estimation ($|\text{valeur exacte} - \text{valeur estimée}|$) et expliquer, d'après les signes des monômes du polynôme, quels termes ont fait augmenter le polluant et lequel a freiné sa croissance.

On souhaite construire une boîte sans couvercle à partir d'une plaque de carton rectangulaire de $40$ cm de long sur $30$ cm de large. Pour cela, on découpe des carrés de côté $x$ dans chacun des quatre coins et l'on replie les rabats vers le haut. Écrire l'expression littérale du volume de la boîte en fonction de $x$ et calculer ce volume pour $x = 5$ cm.

Démontrer algébriquement que la différence entre les carrés de deux nombres impairs consécutifs est toujours un multiple de $8$. (Rappel : un nombre impair peut s'écrire sous la forme $2n+1$.)

Soit l'expression littérale $E(a,b) = \frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2}$. La simplifier au maximum en effectuant la division, puis utiliser le résultat pour calculer mentalement sa valeur lorsque $a = 4,5$ et $b = 1,5$.

Dans un circuit électrique, la résistance équivalente $R_{eq}$ de trois résistances $R_1$, $R_2$ et $R_3$ branchées en dérivation s'obtient à partir de la formule $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}$. Exprimer $R_{eq}$ en fonction des autres grandeurs et l'écrire sous la forme d'une seule fraction en fonction de $R_1$, $R_2$ et $R_3$.

Un jardin rectangulaire a pour dimensions $a$ mètres de long sur $b$ mètres de large. On construit deux allées perpendiculaires de largeur $x$, parallèles aux côtés du jardin, formant une croix. Écrire l'expression littérale factorisée de l'aire de la zone de pelouse restante.

Deux agences de location de voitures proposent des tarifs différents. L'agence A facture un forfait fixe de $30$ euros plus $0,20$ euros par kilomètre parcouru. L'agence B facture $50$ euros fixes plus $0,15$ euros par kilomètre. Écrire l'expression littérale qui représente la différence de coût entre l'agence A et l'agence B pour un trajet de $k$ kilomètres, et déterminer pour combien de kilomètres le coût est exactement le même.

Écrire l'expression littérale qui donne la somme des $n$ premiers multiples entiers positifs de $3$, sachant que la somme des $n$ premiers entiers naturels est $\frac{n(n+1)}{2}$. Utiliser cette expression pour calculer la somme des $50$ premiers multiples de $3$.

Un agriculteur dispose de $L$ mètres de clôture pour clôturer un terrain rectangulaire adjacent à une rivière rectiligne. Comme la rivière constitue une barrière naturelle, il n'a pas besoin de poser de clôture de ce côté. En notant $x$ la largeur du terrain (la dimension perpendiculaire à la rivière), écrire l'expression littérale de l'aire de l'enclos en fonction de $L$ et $x$. Quelle est l'aire s'il dispose de $100$ mètres de clôture et que la largeur est de $20$ mètres ?

On souhaite calculer la valeur de l'expression littérale rationnelle $E(x, y) = \dfrac{20x^5y^3 - 8x^3y^5 + 16x^4y^4}{4x^2y^2}$ pour les valeurs $x = 2,5$ et $y = -2$. Pour cela, deux élèves proposent des méthodes différentes :

• Méthode de Serge : remplacer directement les valeurs $x = 2,5$ et $y = -2$ au numérateur et au dénominateur, calculer les puissances d'exposants $5$, $4$ et $3$, effectuer les multiplications et les additions, puis diviser le numérateur obtenu par le dénominateur.

• Méthode d'Alice : diviser d'abord chaque terme du numérateur par le monôme du dénominateur en appliquant les règles de division des monômes pour obtenir un polynôme simplifié, puis remplacer les valeurs numériques uniquement dans l'expression obtenue.

1. a) Développer complètement la méthode d'Alice jusqu'à obtenir le polynôme réduit et calculer sa valeur pour les valeurs indiquées.
2. b) Analyser le nombre d'opérations avec des puissances d'exposant élevé et de multiplications décimales qu'exige la méthode de Serge par rapport à celle d'Alice. Justifier de façon critique laquelle des deux méthodes est la plus adaptée lors d'une épreuve sans calculatrice pour minimiser le temps et le risque d'erreur.
3. c) La méthode d'Alice serait-elle valable si les valeurs attribuées étaient $x = 0$ ou $y = 0$ ? Justifier la réponse à partir de la définition de l'expression initiale.

Soient $P(x)$ et $Q(x)$ deux polynômes non nuls à une variable, de degrés respectifs $\deg(P) = m$ et $\deg(Q) = n$, tels que $m > n \geq 1$.

1. a) On forme les polynômes $A(x) = [P(x)]^2 \cdot Q(x)$ et $B(x) = P(x) \cdot [Q(x)]^2$. Sachant que le degré de $A(x)$ est $11$ et que le degré de $B(x)$ est $10$, poser un système de deux équations linéaires d'inconnues $m$ et $n$ à partir des propriétés du degré d'un produit et d'une puissance de polynômes, et en déduire les degrés initiaux de $P(x)$ et $Q(x)$.
2. b) On considère le polynôme $C(x) = P(x) - k \cdot x^{m-n} \cdot Q(x)$, où $k$ est une constante réelle non nulle. Peut-on toujours affirmer que le degré de $C(x)$ est égal à $m$ ? Justifier théoriquement la réponse et donner un contre-exemple numérique concret avec des polynômes simples où $\deg(C) < m$, en indiquant quelle condition mathématique précise $k$ doit vérifier par rapport aux coefficients dominants de $P(x)$ et de $Q(x)$ pour que cette baisse de degré se produise.