Exercices: Intervalles, demi-droites et voisinages

Observer la représentation graphique de l'ensemble de nombres réels suivant et l'exprimer à l'aide de la notation d'intervalle et sous forme d'inégalité.

Exprimer à l'aide d'un intervalle l'inégalité suivante et la représenter approximativement sur une droite graduée : $-3 < x \le 5$.

Écrire sous la forme d'un voisinage $E(a ; r)$ l'intervalle ouvert $]2 ; 10[$.

Exprimer le voisinage $E(-1 ; 4)$ sous la forme d'un intervalle et le traduire par une inégalité.

Indiquer lesquels des nombres suivants appartiennent à l'intervalle $[-1,5 ; 3[$ :

$-2$, $-1,5$, $0$, $2,99$, $3$, $\pi$

Écrire sous forme de demi-droite l'ensemble de tous les nombres réels inférieurs ou égaux à $7$.

Exprimer sous forme d'inégalité et à l'aide d'un intervalle l'ensemble des nombres réels dont la distance à zéro est strictement inférieure à $5$.

Associer chacune des phrases suivantes à l'intervalle mathématique correspondant :

• « Températures négatives. »

• « Âges compris entre 12 et 16 ans, bornes incluses. »

• « Prix supérieurs à 50 euros. »

Lors d'un contrôle, Marc doit exprimer comme réunion d'intervalles l'ensemble des nombres réels vérifiant $|x - 2| > 4$. Marc écrit :

« Comme le centre est $2$ et le rayon est $4$, je calcule $2 - 4 = -2$ et $2 + 4 = 6$. Donc la solution est l'intervalle ouvert $]-2 ; 6[$ »

1. a) Expliquer quelle erreur conceptuelle commet Marc en interprétant l'inégalité avec valeur absolue en termes de distance.
2. b) Corriger sa résolution et écrire l'ensemble solution correct sous la forme d'une réunion de deux demi-droites en notation d'intervalles.

Un ensemble de nombres réels est donné par la réunion de demi-droites $]-\infty ; -1[ \cup ]7 ; +\infty[$.

1. a) Calculer le milieu (centre) et la distance de ce centre aux extrémités $-1$ et $7$ (rayon).
2. b) Écrire une inégalité avec valeur absolue de la forme $|x - a| > r$ dont l'ensemble solution coïncide exactement avec cet ensemble.
3. c) Quel signe d'inégalité faudrait-il changer, et par lequel, pour que l'ensemble solution devienne l'intervalle fermé $[-1 ; 7]$ ? Justifier la réponse.

En nutrition, l'indice de masse corporelle (IMC) est considéré comme sain lorsqu'il appartient à l'intervalle $[18,5 ; 24,9]$. Exprimer cet ensemble sous forme de voisinage fermé, en calculant au préalable son centre et son rayon.

Une machine produit des axes en acier dont la longueur idéale est de $120\text{ mm}$. Le contrôle qualité autorise une erreur maximale de $0,5\text{ mm}$. Exprimer l'ensemble des longueurs autorisées sous la forme d'un voisinage, d'une inégalité avec valeur absolue et, enfin, d'un intervalle.

Étant donné les intervalles $A = [-4 ; 3[$ et $B = ]0 ; 6]$, déterminer l'intervalle correspondant à la réunion $A \cup B$ et à l'intersection $A \cap B$.

Dans un aquarium, les poissons-clowns vivent bien à des températures comprises dans l'intervalle $]24 ; 28]$ °C, tandis que les poissons-anges ont besoin de températures dans l'intervalle $[26 ; 30[$ °C. Déterminer dans quel intervalle de températures les deux espèces peuvent cohabiter et l'exprimer sous forme d'inégalité.

Trouver tous les nombres entiers qui appartiennent simultanément aux intervalles $]-3,2 ; 4]$ et $[0 ; 5,1[$.

Exprimer à l'aide d'une valeur absolue l'ensemble des nombres réels dont la distance au nombre $-2$ est inférieure ou égale à $6$, et écrire l'intervalle obtenu.

Le prix d'un jeu vidéo dans une boutique en ligne a oscillé pendant la semaine dans le voisinage $E(24,5; 1,8)$ euros. Déterminer le prix maximal et le prix minimal atteints par le jeu vidéo et l'exprimer sous forme d'intervalle fermé.

Résoudre l'inéquation avec valeur absolue $|x - 4| < 3$ et exprimer la solution sous forme d'intervalle et de voisinage.

Un laboratoire pharmaceutique conditionne du sérum physiologique en flacons. Le volume nominal doit être de $100\text{ ml}$, et le contrôle qualité interne considère comme acceptable tout flacon dont le volume $V$ vérifie $|V - 100| \le 1,5$. Par ailleurs, la machine de calibrage de la ligne de distribution rejette automatiquement tout flacon n'appartenant pas à l'intervalle $[99; 101,2]$.

1. a) Avant de calculer les extrémités numériques exactes, estimer de façon argumentée si la machine de distribution acceptera tous les flacons approuvés par le laboratoire ou si elle en écartera certains. Justifier la prévision à partir des centres et des marges de tolérance des deux critères.
2. b) Exprimer le critère du laboratoire sous forme d'intervalle et calculer l'intersection des deux ensembles, en indiquant ce que représente ce résultat dans le contexte du problème.
3. c) Vérifier si l'estimation initiale était correcte et déterminer l'ensemble des volumes qui, tout en étant valides pour le laboratoire, sont rejetés par la machine de distribution.

L'agence météorologique nationale espagnole (AEMET) établit les niveaux de vigilance canicule suivants dans une zone selon la température maximale prévue $T$ (en $^{\circ}\text{C}$) :

• Niveau vert (aucun risque) : $T < 36$

• Niveau jaune (risque faible) : $36 \le T < 39$

• Niveau orange (risque important) : $39 \le T < 42$

• Niveau rouge (risque extrême) : $T \ge 42$

Pour les premiers jours d'août, les modèles météorologiques indiquent que la température maximale vérifiera la condition $|T - 38,5| \le 2,5$.

1. a) Traduire la prévision météorologique par un unique intervalle fermé et l'exprimer aussi sous la forme d'un double encadrement.
2. b) Déterminer quels niveaux de vigilance seront activés selon cette prévision et écrire le sous-intervalle de températures associé à chaque niveau activé.
3. c) Les arrêtés municipaux interdisent les travaux sur la voie publique si le niveau orange ou rouge est activé. Pour quel intervalle de températures de la prévision les travaux seront-ils interdits ?

Un pont est conçu pour supporter des charges $C$ (en kg) vérifiant la condition $|C - 4500| \le 1500$. Par ailleurs, une réglementation locale interdit le passage des véhicules dépassant $5500\text{ kg}$. Déterminer l'intervalle réel des charges pouvant circuler sur le pont en respectant les deux conditions.

Soit les ensembles $I = ]-\infty ; 2]$, $J = ]-1 ; 5[$ et $K = [3 ; 8]$. Déterminer l'ensemble obtenu par l'opération $(I \cap J) \cup K$.

Exprimer l'intervalle fermé $[3,2; 8,8]$ sous la forme d'un voisinage $E(a ; r)$ (intervalle de centre $a$ et de rayon $r$), puis le traduire par une inégalité avec valeur absolue de la forme $|x - a| \le r$. Expliquer brièvement ce que représentent géométriquement les paramètres $a$ et $r$ sur la droite réelle.

Pour que l'eau d'une piscine soit sans danger, son pH doit appartenir strictement à l'intervalle $[7,2; 7,6]$. Si l'on dispose d'un appareil de mesure électronique dont l'erreur absolue maximale est de $0,1$, déterminer dans quel intervalle la lecture de l'appareil doit se situer pour avoir la certitude absolue que le pH réel est sans danger. L'exprimer aussi sous forme de voisinage.

Déterminer l'intervalle des nombres réels $x$ vérifiant simultanément les inéquations $3x - 2 < 7$ et $5 - x < 4$. Une fois trouvé, l'exprimer sous forme de voisinage.

Un fabricant de vis accepte celles dont la longueur $L$ (en mm) vérifie la condition $|L - 30| < 0,5$. Il reçoit un lot de vis dont les longueurs varient uniformément dans l'intervalle $[29,2; 30,8]$. Quel pourcentage de l'étendue des longueurs de ce lot sera rejeté par le contrôle qualité ?

La « zone habitable » d'une étoile naine rouge est définie par un voisinage de centre $0,8\text{ UA}$ et de rayon $0,2\text{ UA}$. Une exoplanète a une orbite elliptique dont la distance à l'astre varie dans l'intervalle $[0,5; 1,1]\text{ UA}$. Déterminer quels intervalles de l'orbite de la planète se situent en dehors de la zone habitable.

Déterminer la valeur du paramètre $k$ pour que l'intervalle solution de l'inéquation $|x - k| \le 5$ ait pour borne supérieure le nombre $12$. Une fois $k$ calculé, indiquer quelle est la borne inférieure de l'intervalle et l'exprimer sous forme de voisinage.

Pour résoudre l'inéquation avec valeur absolue $|x - 4| \le 3$ et l'exprimer sous forme d'intervalle, deux élèves suivent des stratégies différentes :

• Chemin 1 (géométrique) : Andrea interprète $|x - 4| \le 3$ comme « les nombres dont la distance à $4$ est inférieure ou égale à $3$ ». Elle identifie le centre $c = 4$ et le rayon $r = 3$, et obtient $[4 - 3 ; 4 + 3] = [1 ; 7]$.

• Chemin 2 (algébrique) : Berta pose le double encadrement $-3 \le x - 4 \le 3$ et ajoute $4$ aux trois membres pour isoler $x$, et obtient $1 \le x \le 7$, c'est-à-dire $[1 ; 7]$.

1. a) Comparer les deux chemins en les appliquant à l'inéquation $|x + 2| < 5$. Expliquer comment fonctionne chacun d'eux et vérifier qu'ils conduisent au même intervalle.
2. b) Résoudre maintenant l'inéquation $|2x - 5| \le 3$ avec les deux méthodes. Dans le Chemin 1, indiquer quelle transformation algébrique préalable il faut effectuer pour pouvoir identifier le centre et le rayon sur la droite réelle.
3. c) À la lumière de la question précédente, analyser les avantages et les inconvénients de chaque méthode lorsque le coefficient de l'inconnue $x$ n'est pas $1$. Justifier lequel des deux chemins est le plus commode et le plus sûr dans ce cas.

On considère l'ensemble $A = \{x \in \mathbb{R} \mid |x - 3| < 5\}$ et l'intervalle fermé $B = [p ; q]$, où $p$ et $q$ sont des nombres réels avec $p < q$.

1. a) Exprimer l'ensemble $A$ sous la forme d'un intervalle ouvert et déterminer son milieu (centre) et sa longueur.
2. b) Déterminer en justifiant les valeurs exactes de $p$ et $q$ pour que les deux conditions suivantes soient vérifiées simultanément :

1. L'intersection $A \cap B$ est exactement l'intervalle semi-ouvert $[1 ; 8[$.

2. La longueur de l'intervalle $B$ est égale à $10$.

1. c) Avec les valeurs trouvées pour $p$ et $q$, calculer la réunion $A \cup B$ et justifier pourquoi l'ensemble obtenu est un unique intervalle et non deux intervalles disjoints.

Défi du thème. Vous êtes-vous déjà demandé quelles mathématiques se cachent derrière les objets que vous utilisez chaque jour pour étudier ? Étudier la nature numérique de vos écrans et de votre matériel.

1. Mesure : Mesurer à la règle la longueur et la largeur (en cm) d'une feuille A4 et de l'écran de votre téléphone ou ordinateur.

2. Analyse numérique : Ouvrir un tableur et calculer le rapport longueur/largeur des deux objets. Rechercher les valeurs théoriques normalisées : le rapport ISO 216 du papier ($\sqrt{2}$) et le standard de votre écran (habituellement $16/9$). Les classer en justifiant : rationnels ou irrationnels selon leur développement décimal.

3. Contrôle de précision : Consulter les dimensions officielles du fabricant de votre écran et celles du standard A4 ($29,7 \times 21,0\text{ cm}$). Calculer dans le tableur l'erreur absolue et l'erreur relative en pourcentage commises dans vos mesures, en encadrant et arrondissant les résultats à deux décimales avec une virgule ($0,01\%$).

4. Rapport final : Présenter un tableau comparatif et une brève réflexion : pourquoi pensez-vous que le papier est conçu avec un irrationnel et les formats vidéo avec une fraction rationnelle ?

Seront évalués :

• La classification mathématique correcte et argumentée des nombres rationnels et irrationnels.

• La précision dans le calcul des approximations, de l'erreur absolue et de l'erreur relative dans le tableur.

• La qualité du rapport, la rigueur dans l'emploi de la virgule décimale et la cohérence des conclusions.