Exercices: Implication, réciproque, contre-exemple et négation

Écrire la négation de chacune des propositions suivantes :

1. a) « Tous les élèves de la classe de seconde 4 du lycée Voltaire portent des lunettes. »
2. b) « Il existe un nombre entier $n$ tel que $n^2 = 50$. »
3. c) « Pour tout réel $x$, $x^2 \geqslant 0$. »

On considère l'implication : « Si un nombre entier se termine par 0, alors il est divisible par 5. »

1. a) Énoncer la réciproque de cette implication.
2. b) L'implication de départ est-elle vraie ? Justifier.
3. c) La réciproque est-elle vraie ? Si elle est fausse, donner un contre-exemple.

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse. Si elle est fausse, donner un contre-exemple :

1. a) « Pour tout réel $x$, $x^2 > x$. »
2. b) « Pour tout entier naturel $n$, $n^2 + n$ est pair. »
3. c) « Pour tous réels $a$ et $b$, $(a+b)^2 = a^2 + b^2$. »

Pour chacune des implications suivantes, indiquer si elle est vraie, énoncer sa réciproque et indiquer si la réciproque est vraie (donner un contre-exemple le cas échéant) :

1. a) « Si un quadrilatère est un losange, alors ses diagonales sont perpendiculaires. »
2. b) « Si $x = 3$, alors $x^2 = 9$. »
3. c) « Si un triangle $ABC$ vérifie $AB^2 + AC^2 = BC^2$, alors il est rectangle en $A$. »

Soit $A$ l'ensemble des réels $x$ tels que $x^2 = 4$ et $B$ l'ensemble des réels $x$ tels que $x = 2$.

1. a) Comparer $A$ et $B$ : l'implication « $x \in B \Rightarrow x \in A$ » est-elle vraie ? Et sa réciproque ?
2. b) L'équivalence « $x^2 = 4 \Leftrightarrow x = 2$ » est-elle vraie ? Justifier.
3. c) Par quelle condition sur $x$ peut-on compléter « $x^2 = 4$ et … » pour obtenir une équivalence avec $x = 2$ ?

Un site de vente propose la promotion : « Tout client dont le panier dépasse 50 € bénéficie de la livraison gratuite. »

1. a) Marie a payé sa livraison. Que peut-on conclure sur son panier ? Justifier.
2. b) Hugo a bénéficié de la livraison gratuite. Peut-on affirmer que son panier dépasse 50 € ? Justifier.
3. c) Écrire la négation de la phrase « Tout client dont le panier dépasse 50 € bénéficie de la livraison gratuite. »

Soit $n$ un entier naturel. On considère l'affirmation : « Si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair. »

1. a) Énoncer la contraposée de cette affirmation.
2. b) Démontrer la contraposée.
3. c) En déduire que l'affirmation est vraie, puis énoncer sa réciproque et démontrer qu'elle est vraie.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 4x + 5$.

1. a) Écrire avec des quantificateurs la proposition « $f$ ne s'annule jamais sur $\mathbb{R}$ » puis sa négation.
2. b) Démontrer que, pour tout réel $x$, $f(x) = (x-2)^2 + 1$.
3. c) En déduire que la proposition de la question a) est vraie.

Démontrer par disjonction des cas que, pour tout entier relatif $n$, le nombre $n(n+1)(n+2)$ est divisible par 2, puis que $n^3 - n$ est divisible par 3 (on distinguera selon le reste de la division de $n$ par 3).