Exercices: Signe d'une fonction. Points d'intersection et asymptotes d'une fonction rationnelle

Calculer les coordonnées des points d'intersection de la courbe de la fonction $f(x) = \frac{2x-6}{x+4}$ avec les axes du repère.

Déterminer les intervalles sur lesquels la fonction $f(x) = \frac{x-3}{x+2}$ prend des valeurs strictement positives.

Déterminer les équations des asymptotes verticale et horizontale de la fonction rationnelle $f(x) = \frac{5x+1}{2x-4}$.

Calculer l'équation de l'asymptote oblique de la fonction $f(x) = \frac{x^2-5x+6}{x-1}$.

Déterminer l'ensemble de définition et les équations des asymptotes verticales de la fonction $f(x) = \frac{x+7}{x^2-9}$.

Observer le graphique suivant d'une fonction rationnelle et en déduire les équations de ses asymptotes et les coordonnées de ses points d'intersection avec les axes.

Soit la fonction $f(x) = \frac{3x^2-2}{x^2+1}$. Déterminer l'équation de son asymptote horizontale en calculant les limites appropriées lorsque $x \to +\infty$ et $x \to -\infty$.

Étudier analytiquement le signe de la fonction $f(x) = \frac{-2x}{x^2-4}$ sur tout son ensemble de définition.

Pour étudier la fonction rationnelle $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 3x + 2}$, Lucie affirme dans sa copie :

« Le dénominateur s'annule en $x = 1$ et en $x = 2$, donc la courbe a deux asymptotes verticales : les droites $x = 1$ et $x = 2$. Par ailleurs, comme le numérateur s'annule en $x = 2$ et en $x = -2$, la fonction coupe l'axe $X$ aux points $(2\,;\,0)$ et $(-2\,;\,0)$ ».

1. Relever les deux erreurs conceptuelles commises par Lucie et expliquer pourquoi son raisonnement est incorrect, en s'appuyant sur la définition de l'ensemble de définition et de l'asymptote verticale.

2. Corriger l'exercice : calculer l'ensemble de définition de $f(x)$, ses véritables asymptotes verticales (en justifiant par les limites à gauche et à droite) et tous ses points d'intersection avec les axes du repère.

Soit la fonction rationnelle $f(x) = \frac{4 - 2x}{x + 3}$ :

1. Estimer le signe de la fonction aux extrémités de la droite réelle : avant tout calcul détaillé, observer les termes dominants du numérateur et du dénominateur et prévoir si, pour des valeurs de $x$ très grandes (comme $x = +1000$) et très négatives (comme $x = -1000$), la fonction prend des valeurs positives ou négatives. À partir de cette observation, estimer l'équation de son asymptote horizontale.

2. Déterminer analytiquement les points d'intersection avec les axes et les équations des asymptotes (horizontale et verticale).

3. Construire le tableau de signes de $f(x)$ en découpant la droite réelle selon ses points critiques et vérifier que votre estimation initiale sur le comportement aux extrémités est cohérente avec les régions de positivité et de négativité obtenues.

La population d'une espèce d'algue dans un étang, mesurée en milliers d'individus, évolue selon la fonction $P(t) = \frac{120t+50}{2t+5}$, où $t \geq 0$ est le temps écoulé en jours. Calculer la population initiale, l'instant où la population atteint $40$ milliers d'individus et la limite de la population à très long terme (asymptote horizontale).

La concentration d'un gaz polluant dans une chambre d'essai est donnée par l'expression $C(t) = \frac{5t}{t^2+4}$ parties par million (ppm), avec $t \geq 0$ mesuré en heures. Déterminer à quels instants la concentration est nulle, étudier le signe de $C(t)$ pour en interpréter la signification physique, et déterminer l'asymptote horizontale en indiquant ce qui se passe à long terme.

Le coût total de production de $x$ centaines de pièces d'un composant électronique est $C(x) = 3x^2+5x+12$ centaines d'euros. Si la fonction de coût moyen pour cent pièces est définie par $C_m(x) = \frac{C(x)}{x}$, déterminer l'asymptote oblique de $C_m(x)$ et expliquer sa signification économique pour de très grandes quantités produites.

Déterminer les valeurs numériques des paramètres $a$ et $b$ sachant que la fonction $f(x) = \frac{ax+3}{bx-2}$ admet une asymptote verticale d'équation $x = 1$ et une asymptote horizontale d'équation $y = 4$.

Calculer l'équation de l'asymptote oblique de la fonction $f(x) = \frac{2x^2+1}{x-1}$ et étudier analytiquement la position relative de la courbe par rapport à cette asymptote lorsque $x \to +\infty$ et lorsque $x \to -\infty$.

La quantité de médicament présente dans le sang, en milligrammes, $t$ heures après son administration par voie orale est modélisée par la fonction $M(t) = \frac{50t^2}{t^3+8}$. Étudier les points d'intersection avec les axes, le signe de la fonction pour $t \geq 0$ et son comportement asymptotique.

À partir de la courbe de la fonction rationnelle $f(x)$ représentée ci-dessous, en déduire son expression analytique sachant qu'elle est de la forme $f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$.

Déterminer les asymptotes et les points d'intersection avec les axes de la fonction $f(x) = \frac{x^3-8}{x^2-4}$. Porter une attention particulière aux éventuelles discontinuités évitables apparaissant lors de la simplification de l'expression.

Une entreprise de messagerie express utilisant des fourgonnettes électriques dans l'agglomération de Marseille modélise le coût moyen d'exploitation par kilomètre parcouru, en euros par kilomètre (€/km), en fonction du nombre de kilomètres quotidiens $x$ effectués par chaque véhicule, par la fonction rationnelle :

1. Justifier pourquoi le modèle mathématique n'est pas défini pour $x = 5$ et interpréter ce qui se passe pour le coût moyen lorsqu'une fourgonnette parcourt une distance très proche de $5$ km, en calculant la limite à droite $\lim_{x \to 5^+} C(x)$ et en indiquant l'asymptote verticale.

2. Déterminer l'asymptote horizontale de la fonction au moyen de $\lim_{x \to +\infty} C(x)$ et interpréter sa signification économique pour l'entreprise lors de journées à fort kilométrage.

3. Démontrer en justifiant si le coût moyen par kilomètre peut être inférieur ou égal à $0,18$ €/km en étudiant le signe de l'expression $C(x) - 0,18$ sur l'intervalle $]5 ; +\infty[$, et expliquer si la courbe coupe son asymptote horizontale.

Concevoir l'expression simplifiée d'une fonction rationnelle irréductible de la forme $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ vérifiant simultanément les quatre conditions suivantes :

1. Elle admet exactement deux asymptotes verticales : les droites $x = -2$ et $x = 3$.

2. Son unique asymptote horizontale est la droite $y = 2$.

3. Elle coupe l'axe $X$ en un unique point : $(1 ; 0)$.

4. La courbe est tangente à l'axe $X$ en ce point d'intersection ; autrement dit, elle ne change pas de signe en traversant $x = 1$ (la fonction garde le même signe immédiatement à gauche et à droite de $x = 1$).

Expliquer comment vous déterminez les degrés de $P(x)$ et $Q(x)$, leurs racines et leurs multiplicités. Pour finir, calculer les coordonnées du point d'intersection avec l'axe $Y$ et dresser le tableau de signes complet de votre fonction en vérifiant que toutes les conditions sont satisfaites.

Déterminer les valeurs des paramètres $a$, $b$ et $c$ pour que la fonction rationnelle $f(x) = \frac{ax^2+bx+c}{x+2}$ admette une asymptote oblique d'équation $y = 3x - 1$ et coupe l'axe des abscisses exactement au point $x = 1$.

La flèche d'une poutre sur appuis, soumise à une charge variable, peut être approchée par la fonction $D(x) = \frac{x^3-4x^2+3x}{x^2+1}$, où $x$ est la distance en mètres mesurée depuis l'extrémité gauche de l'appui. Déterminer les points où la flèche est nulle, étudier le signe de $D(x)$ sur l'intervalle $x \in [0, 4]$ et calculer l'équation de l'asymptote oblique de la fonction.

Discuter, selon les valeurs du paramètre réel $k$, le nombre et le type d'asymptotes verticales de la fonction $f(x) = \frac{x^2-x-2}{x^2-k}$. Déterminer également pour quelle valeur exacte de $k$ la fonction présente une discontinuité évitable.

Soit la fonction rationnelle $f(x) = \frac{x^3+kx^2+x-1}{x^2-1}$. Déterminer la valeur du paramètre $k$ pour que la courbe représentative de la fonction coupe sa propre asymptote oblique au point d'abscisse $x = 2$.

Le rendement d'un cycle thermique modifié, en fonction d'un rapport de compression $v > 1$, est donné par le modèle $E(v) = \frac{v^2-3v+2}{v^2+v}$. Étudier le signe du rendement pour déterminer pour quelles valeurs de $v$ le cycle produit un travail utile (c'est-à-dire lorsque $E(v) > 0$) et déterminer le rendement limite théorique lorsque $v \to +\infty$.

Le graphique suivant représente une fonction rationnelle qui admet une asymptote oblique et une asymptote verticale. Sachant que la fonction est de la forme $f(x) = \frac{x^2+ax+b}{x+c}$, analyser ses éléments visuels (asymptotes et points d'intersection) pour déterminer la valeur des coefficients $a$, $b$ et $c$.

Étudier de façon complète les asymptotes et la position relative de la courbe par rapport à celles-ci pour la fonction $f(x) = \frac{2x^3-5x^2+4x+1}{x^2-2x+1}$. Tenir compte des éventuelles racines multiples pouvant apparaître au dénominateur lors du calcul des limites.

Un modèle démographique établit que le taux de croissance d'une population, mesuré en pourcentage annuel, est donné par la fonction $T(x) = \frac{x^2-8x+15}{x^2+4}$, où $x \geq 0$ est le temps écoulé en décennies. Étudier le signe de $T(x)$ pour déterminer les périodes historiques de croissance et de décroissance de la population, et calculer l'asymptote horizontale pour interpréter la tendance limite du taux à très long terme.

On considère la fonction rationnelle $f(x) = \frac{2x^3 - 3x^2 - 8x + 5}{x^2 - 4}$. Pour calculer son asymptote oblique $y = mx + n$ et déterminer la position relative de la courbe par rapport à cette droite lorsque $x \to +\infty$ et lorsque $x \to -\infty$, on envisage deux méthodes de travail :

• Méthode A (formules de limites) : Calculer $m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}$ et $n = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - mx)$, puis évaluer à la calculatrice la différence $f(100) - (m \cdot 100 + n)$ pour estimer si la courbe est au-dessus ou en dessous.

• Méthode B (division euclidienne de polynômes) : Exprimer $f(x) = (mx + n) + \frac{R(x)}{Q(x)}$ au moyen de la division de $P(x)$ par $Q(x)$ et en déduire la position relative en analysant formellement le signe de la fraction $\frac{R(x)}{Q(x)}$ aux extrémités.

On demande :

1. Appliquer la méthode B : effectuer la division de polynômes étape par étape, écrire l'équation de l'asymptote oblique et démontrer analytiquement (sans recourir à des tableaux de valeurs ni à la calculatrice) si la courbe s'approche de l'asymptote par au-dessus ou par en dessous en $+\infty$ et en $-\infty$.

2. Justifier pourquoi la méthode B est théoriquement supérieure et plus riche d'informations que la méthode A pour les fonctions rationnelles.

3. Déterminer si la courbe coupe son asymptote oblique en un point d'abscisse finie, en posant et en résolvant l'équation correspondante à partir de la décomposition obtenue.

Considérer la famille de fonctions rationnelles $f_k(x) = \frac{x^2 - kx + 4}{x^2 - 4}$, où $k \in \mathbb{R}$ est un paramètre réel.

1. Estimer et conjecturer : sachant que le dénominateur s'annule en $x = 2$ et en $x = -2$, raisonner avant de calculer pour dire s'il est possible de trouver des valeurs de $k$ pour lesquelles la fonction a exactement deux asymptotes verticales, exactement une, ou aucune. Formuler une hypothèse fondée sur la relation entre les racines du numérateur et celles du dénominateur.

2. Vérification analytique :

a) Déterminer les valeurs exactes de $k$ pour lesquelles la fonction présente une discontinuité évitable au lieu d'une asymptote verticale. Pour ces valeurs, donner l'équation de l'unique asymptote verticale restante et calculer les coordonnées $(x, y)$ du « point manquant » de la courbe.

b) Pour le cas particulier $k = 5$, déterminer analytiquement les points d'intersection avec les axes, toutes les asymptotes et le signe de la fonction sur chacun des intervalles qui partitionnent $\mathbb{R}$.

c) Pour le cas particulier $k = 0$, étudier si la courbe coupe son asymptote horizontale et conclure si votre hypothèse initiale sur la possibilité que la fonction n'ait aucune asymptote verticale était correcte ou impossible dans $\mathbb{R}$.