Exercices: Longueurs, aires, volumes, trigonométrie et optimisation

Calculer :

1. a) L'aire d'un disque de rayon 5 cm (valeur exacte puis arrondie au dixième).
2. b) Le volume d'un cylindre de rayon 3 cm et de hauteur 10 cm (valeur exacte).
3. c) Le volume d'une boule de rayon 6 cm (valeur exacte).

Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, on a $AB = 6$ cm et $AC = 8$ cm.

1. a) Calculer $BC$.
2. b) Calculer $\cos \widehat{B}$ et $\sin \widehat{B}$.
3. c) Vérifier que $\cos^2 \widehat{B} + \sin^2 \widehat{B} = 1$.

Soit $ABC$ un triangle et $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur la droite $(BC)$, avec $B(0\,;0)$, $C(6\,;0)$ et $A(2\,;4)$ dans un repère orthonormé.

1. a) Donner les coordonnées de $H$.
2. b) Calculer $AH$.
3. c) Calculer l'aire du triangle $ABC$.

Un silo de forme cylindrique, de rayon 2 m et de hauteur 6 m, est surmonté d'une demi-sphère de même rayon.

1. a) Calculer son volume total, arrondi au dixième de m³.
2. b) Les céréales stockées occupent 80 % du volume. Calculer ce volume en litres, arrondi à l'unité.

Un mât vertical est maintenu par un câble tendu de son sommet jusqu'au sol. Le câble mesure 12 m et forme un angle de $62°$ avec le sol horizontal.

1. a) Calculer la hauteur du mât, arrondie au centimètre.
2. b) Calculer la distance entre le pied du mât et le point d'attache du câble au sol, arrondie au centimètre.

Un pâtissier réduit un cône de crème de hauteur 12 cm et de rayon de base 4 cm en le coupant par un plan parallèle à la base, à 3 cm du sommet.

1. a) Calculer le coefficient de réduction du petit cône.
2. b) Calculer le volume du petit cône (valeur exacte).
3. c) Calculer le volume du tronc de cône restant (valeur exacte).

On dispose d'une clôture de 40 m pour délimiter un enclos rectangulaire contre un mur (le mur constitue un côté, sans clôture). On note $x$ la longueur, en mètres, des deux côtés perpendiculaires au mur.

1. a) Exprimer l'aire $A(x)$ de l'enclos en fonction de $x$ et préciser l'intervalle de variation de $x$.
2. b) Montrer que $A(x) = 200 - 2(x-10)^2$.
3. c) En déduire les dimensions de l'enclos d'aire maximale et cette aire.

Soit $\alpha$ un angle aigu tel que $\cos \alpha = \dfrac{3}{5}$.

1. a) Calculer $\sin \alpha$ en utilisant $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$.
2. b) En déduire $\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.
3. c) Démontrer que, pour tout angle aigu $\alpha$, $(\cos\alpha + \sin\alpha)^2 = 1 + 2\sin\alpha\cos\alpha$, et calculer cette valeur pour l'angle ci-dessus.

Une boîte de conserve cylindrique doit avoir un volume de $500\ \text{cm}^3$. On note $r$ son rayon et $h$ sa hauteur, en cm.

1. a) Exprimer $h$ en fonction de $r$.
2. b) Montrer que l'aire totale de métal est $S(r) = 2\pi r^2 + \dfrac{1000}{r}$.
3. c) À l'aide d'un tableau de valeurs de $S$ pour $r$ entier de 3 à 7, déterminer l'entier $r$ pour lequel $S$ est la plus petite et calculer la hauteur correspondante, arrondie au dixième.