Exercices: Position relative de deux droites

Donner la position relative des droites $r: y = 3x - 5$ et $s: y = -2x + 4$ en justifiant votre réponse à partir de leurs coefficients directeurs.

Déterminer la position relative des droites $r: 2x - 4y + 6 = 0$ et $s: -x + 2y - 3 = 0$ en comparant leurs coefficients.

Calculer les coordonnées du point d'intersection des droites sécantes $r: x + y - 4 = 0$ et $s: 2x - y - 5 = 0$.

Déterminer l'équation réduite de la droite parallèle à $r: y = -4x + 1$ passant par le point $P(0 ; 3)$.

Vérifier si les droites données sous forme continue $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{3}$ et $s: \frac{x}{4} = \frac{y-1}{6}$ sont parallèles ou sécantes.

Calculer la valeur du paramètre $k$ pour que les droites $r: 3x + ky - 2 = 0$ et $s: x - 2y + 5 = 0$ soient parallèles.

Étant données les droites $r: x = 2 - t, y = 3 + 2t$ et $s: 2x + y - 7 = 0$, étudier leur position relative en comparant leurs vecteurs directeurs et en vérifiant si un point de $r$ appartient à $s$.

Déterminer le point d'intersection de la droite $r: 3x - 2y - 12 = 0$ avec l'axe des abscisses (axe X).

Marcos doit déterminer en classe la position relative des droites $r: 2x - 3y + 6 = 0$ et $s: 4x - 6y - 10 = 0$. Dans son cahier, il écrit :

« Je calcule le rapport des coefficients : $\frac{2}{4} = \frac{-3}{-6} = \frac{1}{2}$. Comme on obtient le même résultat, les deux droites ont exactement les mêmes points et sont donc confondues ».

1. a) Identifier l'erreur conceptuelle commise par Marcos et expliquer quelle vérification il a oubliée.
2. b) Corriger sa résolution en déterminant la position relative correcte à l'aide du critère des coefficients.
3. c) Quelle valeur devrait avoir le terme constant de la droite $s$ pour que la conclusion de Marcos soit réellement correcte ? Justifier votre réponse.

Soit la droite $r: 3x - 4y + 12 = 0$ :

1. a) Écrire l'équation cartésienne d'une droite $s$ parallèle à $r$ et passant par l'origine du repère $(0 ; 0)$. Justifier leur parallélisme en comparant les rapports de leurs coefficients.
2. b) Déterminer les coordonnées du point d'intersection de la droite $r$ avec l'axe des abscisses ($y = 0$).
3. c) Écrire l'équation cartésienne d'une droite $t$ sécante à $r$ et dont l'intersection avec elle est exactement ce point d'intersection avec l'axe des abscisses. Expliquer comment vous avez choisi les coefficients de $t$ pour garantir qu'elle ne soit pas parallèle à $r$.

Deux canalisations principales d'irrigation d'un champ suivent les trajectoires des droites $r: 5x + 3y - 15 = 0$ et $s: 2x - y + 5 = 0$. Déterminer si elles se croisent et, si oui, déterminer les coordonnées exactes du point de raccordement.

Une route rectiligne a pour équation $2x - y + 4 = 0$. Une antenne relais est située au point $P(5\,;\,1)$. Déterminer l'équation cartésienne de la ligne de câblage la plus courte (qui doit être perpendiculaire) reliant l'antenne à la route.

Sur le plan d'architecte d'un bâtiment, deux murs porteurs sont donnés par les équations $r: ax - 6y + 12 = 0$ et $s: 2x + by - 4 = 0$. Déterminer les valeurs de $a$ et $b$ pour que les deux murs représentent exactement la même ligne (droites confondues).

Un bateau de sauvetage se déplace sur la droite passant par les points $A(-2\,;\,1)$ et $B(4\,;\,5)$. Un voilier suit la trajectoire donnée par la droite $s: y = \frac{2}{3}x + 4$. Déterminer si leurs trajectoires sont parallèles ou si, au contraire, elles se coupent en un point.

Deux bateaux naviguent sur des trajectoires données par les équations paramétriques $r: x = 1 + 2t, y = -3 + t$ et $s: x = -1 + 4k, y = 2 + 2k$. Vérifier par le calcul si leurs routes sont parallèles ou si elles suivent la même ligne.

Calculer la valeur du paramètre $m$ pour que les droites $r: mx + 2y - 5 = 0$ et $s: 3x - y + 1 = 0$ soient perpendiculaires.

Dans un logiciel de conception 3D, un laser découpe une plaque métallique le long de la droite $r: 4x - 3y - 12 = 0$. Déterminer l'équation cartésienne d'une autre droite de coupe, parallèle à la précédente, passant par le point $Q(-1 ; 2)$.

Deux comètes suivent des trajectoires rectilignes dans un modèle spatial 2D. La première passe par les points $P(0 ; 4)$ et $Q(3 ; 0)$. La seconde a pour équation continue $\frac{x-1}{-3} = \frac{y-2}{4}$. Vérifier si leurs trajectoires se croisent en un point ou si elles sont parallèles.

Pour déterminer la position relative des droites $r: y = -\frac{3}{4}x + 2$ et $s: 6x + 8y - 5 = 0$, deux élèves proposent des méthodes différentes :

• Léa propose de transformer la droite $r$ sous sa forme cartésienne ($Ax + By + C = 0$) et d'appliquer directement le critère de proportionnalité des coefficients ($\frac{A_1}{A_2}$, $\frac{B_1}{B_2}$, $\frac{C_1}{C_2}$).

• David préfère exprimer la variable $y$ dans l'équation de $s$ pour obtenir la forme réduite ($y = mx + n$) et comparer les coefficients directeurs et les ordonnées à l'origine.

1. a) Appliquer la méthode de Léa et conclure sur la position relative des deux droites.
2. b) Appliquer la méthode de David et vérifier que l'on aboutit à la même conclusion.
3. c) Comparer les deux procédés : expliquer lequel vous semble le plus direct ou le moins risqué en termes d'erreurs de calcul (signes ou fractions) pour ce couple d'équations précis.

On considère les droites $r: 2x - y - 6 = 0$ et $s: x + y - 6 = 0$.

1. a) Sans résoudre le système, analyser le signe des coefficients directeurs et déterminer les points d'intersection de chaque droite avec les axes du repère. À partir de ces informations géométriques qualitatives, estimer de façon argumentée dans quel quadrant du plan se situera le point d'intersection de $r$ et $s$.
2. b) Vérifier formellement que ces droites sont sécantes grâce à la relation entre leurs coefficients, puis calculer les coordonnées exactes de leur point d'intersection en résolvant le système linéaire.
3. c) Apprécier si les coordonnées obtenues confirment votre estimation préalable et expliquer pourquoi anticiper le quadrant aide à repérer d'éventuelles erreurs de signe dans le calcul algébrique.

Trois rues forment un parc triangulaire au centre d'une ville. Les équations des rues sont $r: x + y - 6 = 0$, $s: 2x - y - 3 = 0$ et $t: x - 2y + 6 = 0$. Calculer les coordonnées exactes des trois sommets du parc.

Discuter la position relative des droites $r: kx + y - 3 = 0$ et $s: 4x + ky - 6 = 0$ en fonction des valeurs possibles du paramètre $k$.

Un robot aspirateur se déplace sur la trajectoire décrite par la droite $r: 3x + 4y - 24 = 0$. Lorsqu'il rencontre un obstacle exactement au point d'intersection avec l'axe des ordonnées (axe Y), il tourne de $90^{\circ}$ et poursuit sa route en ligne droite. Déterminer l'équation cartésienne de la nouvelle trajectoire et le point où elle coupera l'axe des abscisses (axe X).

Déterminer les coordonnées du point symétrique de $A(2 ; 5)$ par rapport à la droite $r: x - 2y + 3 = 0$.

Les côtés d'un terrain en forme de quadrilatère sont situés sur les droites $r: 2x + y - 5 = 0$ et $s: x - 2y + 5 = 0$. Sachant que l'un des sommets du terrain est le point $P(4 ; 2)$ et que l'enclos est un rectangle parfait, déterminer les équations cartésiennes des droites qui contiennent les deux autres côtés.

Calculer l'aire du triangle formé par la droite $r: 5x + 2y - 20 = 0$ et les deux axes du repère.

Étant données les droites $r: 2x - y + 4 = 0$ et $s: x + y - 1 = 0$, déterminer l'équation réduite d'une droite parallèle à $r$ passant par le point d'intersection de $s$ avec l'axe des abscisses.

Un rayon lumineux suit la trajectoire de la droite $r: x - y + 2 = 0$ et frappe un miroir plan situé le long de l'axe X. Sachant que l'angle d'incidence est égal à l'angle de réflexion par rapport à la normale, déterminer l'équation cartésienne de la droite qui décrit le rayon réfléchi.

Le syndicat des transports d'une région propose deux formules d'abonnement mensuel pour voyager sur une ligne interurbaine :

• Formule Fréquente : un forfait fixe de $15$ € par mois plus $1,20$ € par trajet effectué.

• Formule Occasionnelle : sans forfait fixe, avec un coût de $2,20$ € par trajet effectué.

1. a) Modéliser le coût mensuel total ($y$, en euros) en fonction du nombre de trajets effectués par mois ($x$) pour chaque formule, en exprimant les deux relations sous forme d'équations cartésiennes de droites ($Ax + By + C = 0$).
2. b) Justifier par le calcul la position relative des deux droites à partir du quotient de leurs coefficients. Déterminer les coordonnées exactes du point d'intersection et interpréter sa signification concrète pour un usager qui doit choisir quel abonnement acheter.
3. c) L'organisme gestionnaire prévoit de remplacer la Formule Occasionnelle par un nouveau tarif dont la droite associée soit strictement parallèle à celle de la Formule Fréquente. Quel prix exact par trajet devrait-il fixer pour ce nouveau tarif ? Serait-il possible, dans ce cas, que les deux formules coûtent la même chose pour un certain nombre de trajets ? Justifier votre réponse à partir des propriétés géométriques des droites parallèles.

On considère les droites $r: kx + 3y - 6 = 0$ et $s: 3x + ky - (k + 3) = 0$, où $k$ est un paramètre réel :

1. a) Discuter la position relative des deux droites selon les différentes valeurs de $k$, en distinguant clairement, grâce à la proportionnalité des coefficients, quand elles sont sécantes, parallèles ou confondues.
2. b) Dans le cas particulier $k = 1$, les droites sont sécantes. Calculer de façon exacte les coordonnées de leur point d'intersection et vérifier algébriquement que ce point appartient aux deux droites.
3. c) Un camarade de classe affirme : « Si deux droites ont la même direction, il s'agit forcément de la même droite ». En vous appuyant sur les conclusions obtenues à la question a) pour la valeur $k = -3$, réfuter son affirmation de façon argumentée en expliquant la différence algébrique et géométrique entre droites parallèles et droites confondues.