Exercices: Opérations sur les vecteurs

Étant donné les points $A(3 ; -2)$ et $B(5 ; 4)$, calculer les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ et du vecteur $\vec{BA}$.

Calculer la norme du vecteur $\vec{v} = (-6 ; 8)$.

Étant donné les vecteurs $\vec{u} = (4 ; -1)$ et $\vec{v} = (-2 ; 5)$, calculer les coordonnées du vecteur somme $\vec{u} + \vec{v}$ et du vecteur différence $\vec{u} - \vec{v}$.

Étant donné le vecteur $\vec{w} = (3\,;\,-7)$, calculer les coordonnées des vecteurs $2\vec{w}$ et $-\frac{1}{2}\vec{w}$.

Calculer les coordonnées du milieu du segment d'extrémités $P(-4 ; 7)$ et $Q(8 ; -1)$.

Vérifier si les vecteurs $\vec{a} = (2 ; -5)$ et $\vec{b} = (-6 ; 15)$ ont la même direction, c'est-à-dire s'ils sont colinéaires.

Déterminer les coordonnées du symétrique du point $A(1 ; 4)$ par rapport au point $M(3 ; -2)$.

Le vecteur $\vec{v} = (5 ; 2)$ a pour origine le point $A(-3 ; 1)$. Déterminer les coordonnées de son extrémité $B$.

Pour obtenir un vecteur unitaire de même direction et de même sens que $\vec{v} = (-6 ; 8)$, Mathis raisonne ainsi dans son devoir :

« Comme les coordonnées ont pour somme $-6 + 8 = 2$, pour que le vecteur mesure $1$ il me suffit de diviser chaque coordonnée par $2$. J'obtiens ainsi le vecteur $\vec{u} = \left(\frac{-6}{2} ; \frac{8}{2}\right) = (-3 ; 4)$, qui est unitaire. »

1. a) Identifier les deux erreurs conceptuelles graves commises par Mathis dans le calcul de la norme et dans la définition d'un vecteur unitaire.
2. b) Démontrer analytiquement que le vecteur $(-3 ; 4)$ n'est pas unitaire en calculant sa norme réelle.
3. c) Corriger la démarche et déterminer les coordonnées exactes du véritable vecteur unitaire $\vec{u}$ de même direction et de même sens que $\vec{v}$, en vérifiant que sa norme vaut exactement $1$.

Étant donné les vecteurs $\vec{u} = (4 ; -1)$ et $\vec{v} = (-1 ; 3)$ :

1. a) Avant de faire les calculs sur papier, analyser l'effet de la multiplication de $\vec{u}$ par $2$ et de $\vec{v}$ par $3$, et estimer en justifiant dans quel quadrant du repère se trouvera le vecteur $\vec{w} = 2\vec{u} + 3\vec{v}$. Justifier la prévision en observant les signes dominants de chaque coordonnée.
2. b) Comparer visuellement les grandeurs de $2\vec{u}$ et $3\vec{v}$ et faire une estimation : la norme de $\vec{w}$ sera-t-elle supérieure ou inférieure à $10$ ?
3. c) Calculer avec précision les coordonnées de $\vec{w}$ et sa norme exacte $|\vec{w}|$.
4. d) Confronter les calculs aux estimations des questions a) et b) et expliquer si les conjectures initiales étaient cohérentes avec le résultat obtenu.

Un robot d'entrepôt effectue le parcours suivant depuis sa base située à l'origine du repère : il se déplace d'abord selon le vecteur $\vec{d_1} = (4,5; 2,1)$ m, puis suit le vecteur $\vec{d_2} = (-1,2; 3,4)$ m et avance enfin selon $\vec{d_3} = (0; -1,5)$ m. Déterminer le vecteur position final du robot et la distance à vol d'oiseau qui le sépare de la base.

Dans la conception d'un jeu vidéo, le déplacement d'un personnage est donné par le vecteur $\vec{u} = (x\,;\,12)$ et celui d'un projectile par le vecteur $\vec{v} = (5\,;\,-4)$. Calculer la valeur de $x$ pour que les deux vecteurs aient la même direction et déterminer s'ils ont le même sens.

Exprimer le vecteur $\vec{w} = (1\,;\,11)$ comme combinaison linéaire des vecteurs $\vec{u} = (2\,;\,3)$ et $\vec{v} = (-1\,;\,5)$. Autrement dit, déterminer les valeurs de $a$ et $b$ telles que $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$.

Deux villes sont situées sur une carte aux coordonnées $A(-15 ; 20)$ et $B(35 ; -4)$ (en kilomètres). On veut installer une antenne de télécommunications exactement au milieu des deux. Calculer les coordonnées où doit se situer l'antenne et la longueur du câble de fibre optique nécessaire pour la relier en ligne droite à la ville $A$.

Sur un chantier de génie civil, trois piliers doivent être alignés. Sur le plan, leurs positions sont $P(1 ; -2)$, $Q(4 ; 2)$ et $R(10 ; k)$. Déterminer la valeur de $k$ pour que les trois piliers soient parfaitement alignés.

Calculer les coordonnées d'un point $P$ qui partage le segment d'extrémités $A(-2 ; 5)$ et $B(7 ; -1)$ de sorte que la distance de $A$ à $P$ soit le double de la distance de $P$ à $B$. Autrement dit, la relation vectorielle $\vec{AP} = 2\vec{PB}$ est vérifiée.

Sur un corps agissent deux forces représentées par les vecteurs $\vec{F_1} = (15\,;\,-8)$ N et $\vec{F_2} = (-5\,;\,12)$ N. Calculer le vecteur force résultante $\vec{R} = \vec{F_1} + \vec{F_2}$ et déterminer l'intensité (la norme) de cette force résultante.

Les sommets d'une parcelle triangulaire sont $A(0 ; 0)$, $B(8 ; 6)$ et $C(12 ; -3)$ (mesurés en décamètres). Calculer le périmètre de la parcelle.

Un drone de secours doit atteindre une position fixée par le vecteur déplacement total $\vec{d}_{\text{total}} = (7 ; -1)$. Pour naviguer, son système dispose de deux mouvements élémentaires calibrés : $\vec{u} = (3 ; 1)$ et $\vec{v} = (-1 ; 3)$. Le pilote automatique doit déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que $\vec{d}_{\text{total}} = a\vec{u} + b\vec{v}$.

1. a) Poser le système de deux équations linéaires reliant les coordonnées horizontale et verticale des vecteurs.
2. b) Résoudre le système pour déterminer les valeurs exactes des coefficients $a$ et $b$.
3. c) Interpréter la signification géométrique et physique des valeurs et des signes trouvés pour $a$ et $b$ : chaque vecteur de base a-t-il été étiré, raccourci ou son sens a-t-il été inversé ? Justifier la réponse à partir de ce qu'explique le cours sur le produit d'un vecteur par un réel.

Un drone de surveillance de la Sécurité routière survole un tronçon de l'autoroute A6 dans le département de la Côte-d'Or. Ses moteurs lui donnent un vecteur vitesse propre par rapport à l'air égal à $\vec{v}_p = (45 ; 60)\text{ km/h}$. Cependant, la station de Météo-France de la zone enregistre un vent constant de vecteur vitesse $\vec{v}_w = (-15 ; 20)\text{ km/h}$.

1. a) Modéliser la vitesse résultante du drone par rapport au sol comme la somme vectorielle $\vec{v}_r = \vec{v}_p + \vec{v}_w$ et déterminer ses coordonnées.
2. b) Calculer la vitesse propre du drone ($|\vec{v}_p|$) et la vitesse résultante par rapport au sol ($|\vec{v}_r|$). En comparant les deux normes, expliquer si le vent favorise ou freine l'avancée globale du drone.
3. c) Si le drone maintient ce vol pendant $15$ minutes ($0,25\text{ h}$), déterminer son vecteur déplacement net $\vec{d} = 0,25\cdot \vec{v}_r$ et calculer à quelle distance en ligne droite il se trouvera du point de départ.

Un robot explorateur sur Mars part du point $A(-3 ; 2)$ et effectue un déplacement décrit par le vecteur $\vec{u} = (5 ; 4)$ jusqu'à atteindre un point $B$. Depuis $B$, il se dirige vers un point $C$ tel que $\vec{BC} = -2\vec{u} + \vec{w}$, avec $\vec{w} = (1 ; -6)$. Déterminer les coordonnées des points $B$ et $C$, et calculer la norme du vecteur déplacement total $\vec{AC}$.

Trois des sommets d'un panneau solaire en forme de parallélogramme $ABCD$ sont situés aux points $A(-1 ; 3)$, $B(5 ; 1)$ et $C(6 ; 4)$. Calculer les coordonnées du quatrième sommet $D$ sachant que les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{DC}$ sont égaux. Vérifier le résultat en calculant le milieu des deux diagonales.

En physique des particules, un faisceau de protons suit une trajectoire rectiligne de vecteur directeur $\vec{v} = (3\,;\,-4)$. Déterminer un vecteur unitaire (de norme 1) ayant la même direction et le même sens que $\vec{v}$, ainsi qu'un autre vecteur de même direction, de sens opposé et de norme 10.

Étant donné les points $A(1 ; 2)$, $B(3 ; -1)$ et $C(0 ; 4)$, déterminer les coordonnées d'un point $D$ vérifiant l'égalité vectorielle $2\vec{AB} - 3\vec{CD} = \vec{v}$, sachant que le vecteur $\vec{v}$ a pour coordonnées $(-5 ; 2)$.

Le centre d'un hexagone régulier est situé à l'origine du repère $O(0 ; 0)$ et l'un de ses sommets est le point $A(4 ; 0)$. En utilisant les propriétés des vecteurs et sachant que l'hexagone peut se décomposer en 6 triangles équilatéraux identiques, déterminer les coordonnées des cinq autres sommets.

Démontrer analytiquement que le quadrilatère de sommets $A(-2\,;\,1)$, $B(4\,;\,3)$, $C(6\,;\,-1)$ et $D(0\,;\,-3)$ est un parallélogramme. Pour cela, vérifier que les côtés opposés sont des vecteurs égaux.

Un avion vole avec une vitesse propre représentée par le vecteur $\vec{v_m} = (250 ; 150)$ km/h. Le vent souffle à une vitesse $\vec{v_v} = (-30 ; 40)$ km/h. La vitesse réelle de l'avion par rapport au sol est la somme des deux vecteurs. On souhaite modifier la vitesse des moteurs en ajoutant un vecteur de correction $\vec{c} = a\vec{u} + b\vec{w}$, où $\vec{u} = (1 ; 0)$ et $\vec{w} = (0 ; 1)$, afin que la vitesse réelle finale de l'avion soit exactement $\vec{v_r} = (300 ; 0)$ km/h. Poser l'équation vectorielle et déterminer les valeurs de $a$ et $b$.

Déterminer les coordonnées d'un point $P$ situé sur l'axe des ordonnées de sorte que le triangle formé par les points $A(-3 ; 2)$, $B(1 ; 4)$ et $P$ soit isocèle, les côtés $AP$ et $BP$ ayant la même longueur. Autrement dit, on doit avoir $|\vec{AP}| = |\vec{BP}|$.

On veut partager le segment d'extrémités $A(-4 ; 7)$ et $B(5 ; -2)$ en trois parties exactement égales en introduisant deux points intérieurs, $P$ et $Q$ ($P$ étant le plus proche de $A$). En classe, trois propositions apparaissent :

• Proposition d'Alba : Calculer le milieu $M$ de $A$ et $B$, puis déterminer le milieu de $A$ et $M$.

• Proposition de Bruno : Calculer le vecteur pas $\vec{u} = \frac{1}{3}\vec{AB}$ et obtenir successivement $P = A + \vec{u}$ et $Q = P + \vec{u}$.

• Proposition de Camille : Poser deux égalités vectorielles indépendantes à l'aide de proportions : $\vec{AP} = \frac{1}{2}\vec{PB}$ et $\vec{AQ} = 2\vec{QB}$, en résolvant les coordonnées $(x ; y)$ de chaque point.

1. a) Expliquer par un argument géométrique pourquoi la proposition d'Alba est conceptuellement erronée et quel partage du segment elle produirait en réalité.
2. b) Comparer les propositions de Bruno et de Camille : argumenter laquelle des deux méthodes valides est la plus efficace, présente le moins de risque d'erreur sur les signes et se généralise le mieux à des partages en $5$ parties ou plus.
3. c) Appliquer la méthode la plus efficace pour calculer les coordonnées exactes des points $P$ et $Q$.

Dans le plan muni d'un repère, on considère les points $A(-2 ; 1)$, $B(4 ; 3)$ et $C(2 ; 7)$, sommets d'un triangle.

1. a) Déterminer les coordonnées du milieu $M$ du côté $BC$ et, à l'aide de la relation vectorielle de symétrie $A' = 2M - A$, calculer les coordonnées du point $A'$, symétrique de $A$ par rapport à $M$.
2. b) Calculer les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ et $\vec{AA'}$, et vérifier numériquement si la relation $\vec{AA'} = \vec{AB} + \vec{AC}$ est satisfaite.
3. c) Démontrer algébriquement pourquoi la relation $\vec{AA'} = \vec{AB} + \vec{AC}$ est toujours vérifiée pour n'importe quel triangle du plan, en substituant de façon générale les expressions $M = \frac{B + C}{2}$ et $A' = 2M - A$ dans le vecteur $\vec{AA'} = A' - A$, sans utiliser de coordonnées numériques. À partir de ce résultat, justifier quel type de quadrilatère forment les points $A$, $B$, $A'$ et $C$.