Exercices: Milieu d'un segment

Calculer les coordonnées du milieu du segment dont les extrémités sont les points $A(2\,;\,4)$ et $B(6\,;\,10)$.

Le milieu du segment $AB$ est $M(3 ; 5)$. Si l'extrémité $A$ a pour coordonnées $(1 ; 2)$, déterminer les coordonnées de l'extrémité $B$.

Déterminer les coordonnées du milieu du segment dont les extrémités sont les points $P(-4 ; -6)$ et $Q(2 ; -8)$.

Déterminer le symétrique de $A(5 ; -3)$ par rapport à l'origine du repère $O(0 ; 0)$.

Calculer le milieu du segment qui relie les points $C\left(\frac{1}{2}\,;\,3\right)$ et $D\left(\frac{3}{2}\,;\,-1\right)$.

Vérifier analytiquement si le point $M(-1 ; 2)$ est le milieu du segment d'extrémités $E(-4 ; 5)$ et $F(2 ; -1)$.

Les points $A(0 ; 4)$ et $B(4 ; 0)$ forment un segment dans le plan muni d'un repère. Calculer les coordonnées de son milieu.

Étant donné le segment d'extrémités $G(-3\,;\,7)$ et $H(-3\,;\,-1)$, déterminer son milieu et indiquer sur quel axe ou sur quelle droite parallèle aux axes se trouve ce segment.

Mathis doit calculer le milieu du segment qui relie les points $A(-4\ ;\ 7)$ et $B(2\ ;\ -1)$. Dans son cahier, il écrit ceci :

Identifier l'erreur conceptuelle commise par Mathis, en expliquant avec quelle autre formule ou procédure de géométrie analytique il l'a confondu. Expliquer ensuite pourquoi son résultat est visuellement impossible compte tenu de la position des points, puis calculer la solution correcte.

On considère le segment d'extrémités $A(-9 ; 2)$ et $B(3 ; 10)$.

1. a) Avant tout calcul algébrique, estimer en justifiant dans quel quadrant du repère doit se trouver le milieu $M$ et prévoir le signe de son abscisse et de son ordonnée, en comparant les valeurs absolues des coordonnées des extrémités.
2. b) Appliquer la formule du milieu pour calculer les coordonnées exactes de $M$.
3. c) Vérifier si le résultat obtenu confirme l'estimation et justifier pourquoi l'abscisse de $M$ est exactement à la même distance de $-9$ que de $3$.

Une vedette de sauvetage navigue en ligne droite du point $A(-15 ; 20)$ au point $B(45 ; -10)$ (coordonnées en mètres). Si elle doit larguer une bouée de signalisation exactement à la moitié de son trajet, à quelles coordonnées le fera-t-elle ?

Les extrémités d'un diamètre d'un cercle sont les points $P(-3 ; 5)$ et $Q(7 ; -1)$. Calculer les coordonnées du centre du cercle et la mesure de son rayon.

Deux antennes de téléphonie sont situées aux coordonnées $T_1(4,5; 8,2)$ et $T_2(-1,5; 3,4)$ sur un plan topographique à l'échelle. On veut installer un relais exactement au milieu des deux. Calculer les coordonnées exactes où doit se situer le relais.

Un rayon laser arrive sur une lentille située au point $L(2 ; 5)$. Si le point d'origine du laser est $O(-3 ; 1)$ et que la lentille joue le rôle de centre de symétrie, calculer les coordonnées du point $P$ où le laser frappera après avoir traversé la lentille, en supposant qu'il conserve sa trajectoire rectiligne.

Étant donné le triangle de sommets $A(-2 ; 1)$, $B(4 ; 5)$ et $C(2 ; -3)$, déterminer les coordonnées du milieu du côté $BC$ puis calculer la longueur de la médiane issue du sommet $A$.

Le milieu du segment $AB$ est $M(a\,;\,3)$. Si l'on connaît les coordonnées des extrémités $A(-2\,;\,5)$ et $B(6\,;\,b)$, poser les équations correspondantes et calculer les valeurs des paramètres $a$ et $b$.

Dans un logiciel de conception assistée par ordinateur, on trace un segment de $P_1(-4\,;\,-2)$ à $P_2(8\,;\,6)$. Le concepteur doit placer trois points sur le segment qui le partagent en quatre parties exactement égales. Calculer les coordonnées du point central de ces trois points de partage.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Vérifier si le quadrilatère de sommets $A(-1 ; 2)$, $B(3 ; 4)$, $C(4 ; 0)$ et $D(0 ; -2)$ est un parallélogramme. Pour cela, calculer les milieux de ses deux diagonales et vérifier s'ils coïncident.

On souhaite construire un segment dans le plan muni d'un repère de sorte que son milieu exact soit $M(4 \,;\, -3)$.

1. a) Déterminer les coordonnées des extrémités $A$ et $B$ sachant que le point $A$ est obligatoirement situé sur l'axe des abscisses ($y = 0$) et le point $B$ sur l'axe des ordonnées ($x = 0$).
2. b) Poser le système d'équations correspondant et justifier si ce couple de points $(A, B)$ est unique ou s'il peut exister d'autres solutions vérifiant les deux conditions.
3. c) Écrire les coordonnées d'un autre couple d'extrémités, $C$ et $D$, dont le milieu soit toujours $M$, mais avec la condition qu'aucune des deux n'appartienne aux axes du repère.

Dans le massif des Alpes (parc national), le service de secours en montagne doit installer un relais de télécommunications au milieu exact du segment qui relie le refuge A, de coordonnées $(12\,;\,18)$, et le refuge B, de coordonnées $(36\,;\,6)$ (coordonnées exprimées en kilomètres).

1. a) Modéliser la situation dans le plan et calculer les coordonnées du relais principal.
2. b) Pour des raisons de sécurité dans le protocole de liaison, il faut aussi placer deux balises secondaires : la balise $S_1$ au milieu du segment entre le refuge A et le relais principal, et la balise $S_2$ au milieu du segment entre le relais principal et le refuge B. Déterminer les coordonnées des deux balises en utilisant la technique des milieux successifs.
3. c) Interpréter le partage du trajet : en combien de parties de même longueur le tronçon initial entre les deux refuges a-t-il été divisé ?

La conception d'un pont à haubans place les ancrages d'un câble aux points $A(2k\,;\,-4)$ et $B(6\,;\,k+2)$, où $k$ est un paramètre inconnu. Le milieu du câble doit reposer sur un pilier vertical situé exactement sur l'axe des abscisses (c'est-à-dire que son ordonnée est $y=0$). Calculer la valeur de $k$ et les coordonnées exactes du point d'appui.

Trois sommets consécutifs d'une parcelle topographique en forme de parallélogramme sont $A(-3 ; -1)$, $B(2 ; -2)$ et $C(5 ; 2)$. En utilisant la propriété géométrique selon laquelle les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu, calculer les coordonnées du quatrième sommet $D$.

Le segment $AB$ a pour milieu $M(4 ; 3)$. Sachant que l'extrémité $A$ se trouve sur l'axe des abscisses et que l'extrémité $B$ se trouve sur l'axe des ordonnées, poser les équations correspondantes et déterminer les coordonnées exactes de $A$ et de $B$.

Un bras robotisé déplace une pièce en ligne droite du point $P_1(-8 ; 4)$ au point $P_2(2 ; -6)$ et marque une pause au milieu $M_1$. Puis il déplace la pièce de $M_1$ à $P_3(10 ; 8)$, en marquant une nouvelle pause au milieu $M_2$ du segment $M_1 P_3$. Calculer les coordonnées exactes de $M_2$.

Deux masses ponctuelles identiques se déplacent de telle sorte qu'à l'instant $t$ (en secondes) elles se trouvent aux positions $A(t ; 2t-1)$ et $B(3t+2 ; -t+5)$. Déterminer l'expression des coordonnées du centre de masse (milieu $M$) en fonction du temps. À quel instant $t$ le centre de masse coupe-t-il l'axe des ordonnées ($x=0$) ?

On souhaite diviser le segment d'extrémités $A(-5 ; 1)$ et $B(7 ; 9)$ en quatre parties de même longueur en utilisant uniquement le calcul de milieux. Détailler la démarche et calculer les coordonnées des trois points qui divisent ce segment.

Soit le triangle de sommets $A(0 ; 0)$, $B(4 ; 0)$ et $C(2 ; 6)$. Calculer les milieux de ses trois côtés ($M_1$, $M_2$, $M_3$). Démontrer ensuite, en calculant les distances, que le périmètre du triangle formé par les milieux est exactement la moitié du périmètre du triangle initial.

Un segment du plan muni d'un repère a pour extrémités les points quelconques $A(a ; b)$ et $B(b ; a)$, avec $a \neq b$. Démontrer algébriquement que le milieu de ce segment appartient toujours à la droite d'équation $y = x$ (première bissectrice du repère), quelles que soient les valeurs numériques de $a$ et $b$.

On connaît trois sommets consécutifs d'une parcelle en forme de parallélogramme $ABCD$ : $A(-2 ; 1)$, $B(4 ; 3)$ et $C(6 ; 9)$. Pour trouver les coordonnées du quatrième sommet $D$, deux dessinateurs proposent des méthodes différentes :

• Méthode 1 : utiliser l'égalité de vecteurs en égalant les coordonnées de $\vec{AB}$ et $\vec{DC}$.

• Méthode 2 : calculer le milieu de la diagonale connue $AC$ et utiliser le fait qu'il doit coïncider avec le milieu de l'autre diagonale, $BD$.

1. a) Développer entièrement les deux méthodes et vérifier qu'elles conduisent au même résultat numérique pour $D$.
2. b) Si le plan topographique demandait en plus de trouver le centre de symétrie de la parcelle (le point central où se croisent les clôtures diagonales), comparer l'efficacité des deux méthodes et justifier laquelle permet d'économiser des calculs.
3. c) Si l'on ne précisait pas que les sommets $A$, $B$ et $C$ se suivent dans l'ordre alphabétique, déterminer combien de parallélogrammes distincts pourraient être construits avec ces trois mêmes points comme sommets.

Dans un triangle de sommets $A(-1 ; 3)$, $B(5 ; 7)$ et $C(3 ; -1)$ :

1. a) Calculer les coordonnées du milieu $M$ du côté $BC$ et déterminer les coordonnées du vecteur allant du sommet $A$ à ce milieu (segment qui définit la médiane du triangle).
2. b) Le centre de gravité $G$ d'un triangle est le point situé sur chaque médiane aux deux tiers de la distance du sommet correspondant au côté opposé, vérifiant la relation vectorielle $\vec{AG} = 2\cdot \vec{GM}$. Calculer les coordonnées exactes de $G$ pour ce triangle et démontrer algébriquement que ces coordonnées coïncident avec la moyenne arithmétique des coordonnées de ses trois sommets : $\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3},\ \frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)$.
3. c) Si l'on construit un parallélogramme ayant pour côtés consécutifs les segments $AB$ et $AC$, déterminer par un raisonnement, sans calculer de distances, si le centre de gravité $G$ peut coïncider avec le point d'intersection des diagonales de ce parallélogramme.