Exercices: Parallélisme et perpendicularité de droites

Donner le coefficient directeur d'une droite parallèle et celui d'une droite perpendiculaire à la droite d'équation $y = 4x - 7$.

Soit les droites $r: y = -2x + 5$ et $s: y = \frac{1}{2}x - 3$. Indiquer en justifiant si elles sont parallèles, perpendiculaires ou sécantes non perpendiculaires.

Déterminer l'équation réduite de la droite parallèle à $y = -3x + 2$ et passant par le point $P(0 ; 5)$.

Un vecteur directeur de la droite $r$ est $\vec{v} = (3 ; -1)$. Donner un vecteur directeur d'une droite parallèle à $r$ et un autre d'une droite perpendiculaire à $r$.

Déterminer l'équation, sous la forme $y - y_A = m(x - x_A)$, de la droite perpendiculaire à $y = \frac{2}{5}x - 1$ passant par le point $A(4 ; 2)$.

Vérifier analytiquement si les droites données par leur équation cartésienne $r: 3x - 6y + 2 = 0$ et $s: x - 2y - 5 = 0$ sont parallèles.

Écrire l'équation cartésienne de la droite parallèle à l'axe des abscisses et passant par le point $Q(-3 ; 8)$.

Calculer le coefficient directeur de la droite passant par les points $A(2 ; -1)$ et $B(5 ; 8)$, puis en déduire le coefficient directeur de toute droite perpendiculaire à celle-ci.

Marc doit déterminer l'équation réduite de la droite $s$, perpendiculaire à la droite $r: y = -\dfrac{3}{4}x + 2$ et passant par le point $P(0 ; -5)$. Sur sa copie, il écrit :

« Comme elle est perpendiculaire, je change le signe du coefficient directeur, donc $m_s = \dfrac{3}{4}$. Comme elle coupe l'axe des ordonnées en $-5$, la droite est $y = \dfrac{3}{4}x - 5$ ».

1. a) Identifier et expliquer l'erreur conceptuelle de Marc. S'appuyer sur la signification géométrique du coefficient directeur (déplacement horizontal et vertical) pour justifier pourquoi sa droite ne forme pas un angle de $90^\circ$ avec $r$.
2. b) Corriger la résolution et écrire l'équation réduite correcte de la droite $s$.

Construire les équations cartésiennes ($Ax + By + C = 0$) de deux droites distinctes, $r$ et $s$, vérifiant simultanément les conditions suivantes :

1) Toutes deux sont perpendiculaires à la droite donnée $t: 2x - 5y + 10 = 0$.

2) La droite $r$ passe par l'origine du repère $(0 ; 0)$.

3) La droite $s$ coupe l'axe des abscisses au point $(4 ; 0)$.

Une fois ces équations obtenues, démontrer que $r$ et $s$ sont parallèles en analysant leurs coefficients directeurs ou les coefficients de $x$ et de $y$, et expliquer la signification géométrique de la différence de leurs termes constants $C$.

Sur le plan d'une ville, la rue d'Alésia suit la droite $2x + 5y - 10 = 0$. La rue Goya lui est perpendiculaire et passe par une place de coordonnées $P(-2 ; 3)$. Déterminer l'équation cartésienne de la rue Goya.

Calculer la valeur du paramètre $k$ pour que la droite $kx - 3y + 6 = 0$ soit parallèle à la droite passant par les points $A(1 ; 2)$ et $B(4 ; 11)$.

Un faisceau laser se propage le long de la droite $y = 3x - 2$. Au point exact où le laser coupe l'axe des ordonnées, on place un miroir perpendiculaire à la trajectoire du rayon. Déterminer l'équation réduite de la droite qui représente le miroir.

Les côtés consécutifs d'une parcelle rectangulaire reposent sur les droites $r: 2x - 4y + 7 = 0$ et $s: 4x + 2y - 3 = 0$. Vérifier analytiquement que les côtés forment un angle droit. Déterminer ensuite l'équation d'une droite parallèle à $r$ passant par l'origine du repère.

Deux avions volent à la même altitude. La route du premier avion est donnée par les équations paramétriques $x = 1 + 5t$, $y = -2 - 3t$. La route du second avion est parallèle à celle du premier et passe par la tour de contrôle $T(0 ; 0)$. Écrire les équations paramétriques de la route du second avion.

Déterminer la valeur du paramètre $m$ pour que les droites $r: mx + 4y - 1 = 0$ et $s: 2x - 5y + 8 = 0$ soient perpendiculaires.

Une canalisation principale d'irrigation suit la droite d'équation $\frac{x-2}{4} = \frac{y+1}{-3}$. On doit installer une canalisation secondaire perpendiculaire à la principale, reliée à un arroseur situé en $S(-1 ; 5)$. Déterminer une équation de cette canalisation secondaire, sous la même forme que celle de la canalisation principale.

Déterminer l'équation réduite de la médiatrice du segment d'extrémités $A(-2 ; 3)$ et $B(4 ; 1)$. (Rappel : la médiatrice est la droite perpendiculaire au segment passant par son milieu.)

Deux antennes-relais de télécommunications sont situées aux points de coordonnées $A(-2 ; -1)$ et $B(4 ; 3)$. Pour répartir la couverture de façon équilibrée, les techniciens doivent tracer la médiatrice du segment $AB$.

1. a) Avant tout calcul algébrique :

• Déduire en justifiant si le coefficient directeur du segment $AB$ est positif ou négatif et, à partir de là, quel doit être le signe du coefficient directeur de la médiatrice.

• Déterminer mentalement dans quel quadrant se trouve le milieu du segment $AB$ et estimer si l'ordonnée à l'origine de la médiatrice sera positive ou négative.

1. b) Effectuer les calculs analytiques : calculer les coordonnées du milieu de $AB$, le coefficient directeur de la médiatrice et écrire son équation cartésienne ($Ax + By + C = 0$).
2. c) Vérifier si les valeurs calculées à la question b confirment les estimations de la question a et expliquer pourquoi le résultat est cohérent géométriquement.

Sur le réseau ferroviaire, un tronçon rectiligne de voie à grande vitesse suit la droite $r: 3x + 4y - 24 = 0$ (où les coordonnées $x$ et $y$ sont en kilomètres par rapport à un centre de contrôle). Une plateforme logistique située au point $P(7 ; 7)$ doit être reliée à la voie principale par un embranchement entièrement rectiligne.

1. a) Pour minimiser le coût et l'impact environnemental, l'embranchement doit suivre la plus courte distance possible jusqu'à la voie. Déterminer l'équation cartésienne de la droite $s$ le long de laquelle doit passer cet embranchement et justifier quelle propriété géométrique garantit que ce tracé est le plus court.
2. b) Calculer les coordonnées exactes du point de raccordement $Q$ où l'embranchement rejoindra la voie principale en résolvant le système formé par les deux droites.
3. c) La réglementation prévoit que, si la distance entre la plateforme et la voie principale dépasse $4\text{ km}$, une gare technique intermédiaire doit être construite. Justifier si cette gare sera nécessaire en calculant la distance exacte entre $P$ et $Q$.

La conception de la toiture d'un gymnase comprend deux poutres d'acier qui se croisent. La poutre 1 repose sur la droite $ax + 3y - 5 = 0$ et la poutre 2 sur la droite $2x - by + 4 = 0$. Calculer les valeurs exactes de $a$ et $b$ sachant que les poutres sont perpendiculaires et que la poutre 1 passe par le point $P(1 ; -2)$.

Démontrer analytiquement que le quadrilatère de sommets $A(1\,;\,1)$, $B(5\,;\,3)$, $C(4\,;\,5)$ et $D(0\,;\,3)$ est un rectangle. Pour cela, vérifier les coefficients directeurs de ses côtés et confirmer que les angles consécutifs sont droits.

Un bateau navigue en ligne droite le long de la trajectoire $r: 3x + 4y - 24 = 0$. Un phare est situé au point $F(7 ; 7)$. Calculer la plus courte distance entre le phare et la trajectoire du bateau. (Indication : déterminer la droite perpendiculaire à $r$ passant par $F$, trouver le point d'intersection puis calculer la distance entre les deux points.)

Soit les droites $r: \frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{k}$ et $s: 3x - 5y + 2 = 0$. Déterminer la valeur de $k$ pour qu'elles soient parallèles. Calculer ensuite la valeur de $k$ pour qu'elles soient perpendiculaires.

Calculer les coordonnées exactes de l'orthocentre (point de concours des trois hauteurs) du triangle de sommets $A(-2 ; 1)$, $B(4 ; 3)$ et $C(2 ; -5)$.

Un panneau solaire est aligné avec la droite passant par les points $P(1 ; 4)$ et $Q(5 ; 2)$. Pour maximiser le rendement, les rayons du soleil doivent arriver perpendiculairement au panneau. Écrire les équations paramétriques de la trajectoire d'un rayon de soleil qui frappe exactement le milieu du panneau.

Déterminer les coordonnées exactes de la projection orthogonale du point $P(3\,;\,-2)$ sur la droite $r: x - 2y + 5 = 0$. (Remarque : la projection orthogonale est le point d'intersection de la droite $r$ avec la droite perpendiculaire à celle-ci passant par $P$.)

Deux robots aspirateurs se déplacent dans une salle dégagée. Le premier suit la trajectoire d'équation $y = \frac{1}{2}x + 2$. Le second se déplace sur une droite perpendiculaire à celle du premier, de sorte que les deux robots se heurteraient exactement au point où la première trajectoire coupe l'axe des ordonnées. Déterminer l'équation réduite de la trajectoire du second robot et calculer l'aire du triangle formé par les trajectoires des deux robots et l'axe des abscisses.

Pour vérifier si les droites $r: 12x - 15y + 8 = 0$ et $s: 10x + 8y - 3 = 0$ sont perpendiculaires, deux élèves proposent des méthodes différentes :

• Méthode 1 : exprimer l'équation réduite ($y = mx + n$) de chacune, identifier leurs coefficients directeurs et vérifier si $m_r \cdot m_s = -1$.

• Méthode 2 : appliquer directement la condition sur les coefficients de l'équation cartésienne ($A_r \cdot A_s + B_r \cdot B_s = 0$).

1. a) Résoudre le problème avec les deux méthodes et vérifier qu'elles mènent à la même conclusion.
2. b) Comparer les deux méthodes : laquelle est la plus efficace et limite le risque d'erreurs avec les fractions et les signes ? Déduire algébriquement pourquoi la condition $A_r \cdot A_s + B_r \cdot B_s = 0$ équivaut exactement à $m_r \cdot m_s = -1$.
3. c) Sachant que $r$ et $s$ sont perpendiculaires, existe-t-il une droite du plan parallèle à $r$ et non perpendiculaire à $s$ ? Justifier logiquement la réponse sans poser d'équations numériques.

Sur un plan d'urbanisme, on veut placer trois bâtiments $A$, $B$ et $C$ de façon à former un triangle rectangle dont l'angle droit est au sommet $B$. Les positions des deux premiers sont fixes : $A(-1 ; 2)$ et $B(3 ; 5)$. Le troisième bâtiment, $C$, doit être situé sur une avenue dont la trajectoire est la droite horizontale d'équation $y = 11$.

1. a) Poser la condition analytique de perpendicularité entre les droites contenant les côtés $AB$ et $BC$, et calculer les coordonnées exactes $(x_C ; y_C)$ où doit être construit le bâtiment $C$.
2. b) On suppose maintenant que le projet change et que le bâtiment $C$ doit obligatoirement être situé sur une rue verticale d'équation $x = k$. Démontrer algébriquement s'il existe une valeur particulière de $k$ pour laquelle il est totalement impossible de construire le triangle rectangle d'angle droit en $B$, et expliquer quelle situation géométrique particulière se produit dans ce cas.