Exercices: Distance entre deux points

Calculer la distance exacte entre les points $A(2\,;\,3)$ et $B(5\,;\,7)$ dans le plan muni d'un repère.

Un bateau se trouve aux coordonnées $P(-4 ; 1)$ et un phare en $Q(2 ; -7)$. Si chaque unité du plan correspond à un kilomètre, à quelle distance en ligne droite le bateau se trouve-t-il du phare ?

Déterminer la longueur du segment dont les extrémités sont l'origine du repère $O(0 ; 0)$ et le point $M(-8 ; 6)$.

Les sommets d'un triangle sont $A(1 ; 1)$, $B(4 ; 1)$ et $C(1 ; 5)$. Calculer le périmètre de ce triangle en additionnant les longueurs de ses trois côtés.

Sur un écran radar bidimensionnel, deux avions sont situés aux points $R(-3 ; -2)$ et $S(9 ; 3)$. Déterminer la distance en ligne droite qui les sépare, dans les unités du radar.

Calculer la longueur de la diagonale d'un rectangle sachant que deux de ses sommets opposés ont pour coordonnées $V_1(-1 ; 4)$ et $V_2(5 ; -4)$.

Vérifier par le calcul si les segments $\overline{AB}$ et $\overline{CD}$ ont exactement la même longueur, les coordonnées des points étant $A(0\,;\,2)$, $B(3\,;\,6)$, $C(-2\,;\,-1)$ et $D(2\,;\,2)$.

Un géomètre repère deux points sur un terrain plat : $T_1(12\,;\,5)$ et $T_2(24\,;\,10)$. Si les coordonnées sont exprimées en mètres, combien de mètres de câble faut-il pour les relier en ligne droite ?

Marcos veut calculer la distance entre les points $A(-1 ; 5)$ et $B(3 ; 2)$ dans un repère. Dans son cahier, il écrit le développement suivant :

1. a) Indiquer précisément l'erreur conceptuelle et algébrique commise par Marcos à la dernière étape et expliquer pourquoi la racine carrée d'une somme n'est pas égale à la somme des racines carrées.
2. b) Corriger la démarche et calculer la valeur exacte de la distance entre $A$ et $B$.

On considère les points $A(1 ; 2)$ et $B(7 ; 10)$ dans le plan muni d'un repère.

1. a) Avant d'appliquer la formule de la distance, analyser les déplacements horizontal ($\Delta x = |7 - 1| = 6$) et vertical ($\Delta y = |10 - 2| = 8$). Expliquer pourquoi la valeur de $d(A,B)$ doit nécessairement être supérieure à $8$ et inférieure à $14$ en s'appuyant sur les propriétés géométriques des côtés de l'angle droit et de l'hypoténuse d'un triangle rectangle (inégalité triangulaire).
2. b) Calculer maintenant la valeur exacte de $d(A,B)$ et vérifier si votre estimation et vos encadrements initiaux étaient corrects.

La distance entre les points $A(1 ; 2)$ et $B(x ; 5)$ est exactement égale à $5$ unités. Déterminer les deux valeurs possibles de la coordonnée $x$.

Un livreur à vélo part du magasin situé en $O(0 ; 0)$, va en ligne droite jusqu'à la première livraison en $A(6 ; 8)$, puis change de direction pour se rendre à la seconde livraison en $B(15 ; -4)$. Si chaque unité du plan représente $100$ mètres, quelle est la distance totale parcourue en kilomètres ?

Sur un plan d'architecte, trois colonnes principales seront placées aux coordonnées $P(-2\,;\,1)$, $Q(2\,;\,4)$ et $R(5\,;\,0)$. Démontrer par le calcul si le triangle formé par ces trois colonnes est isocèle.

Une antenne de télécommunications a une portée circulaire maximale de $10\text{ km}$. Si l'antenne est située au point $C(3\,;\,-2)$ d'une carte (où $1$ unité de coordonnée correspond à $1\text{ km}$), déterminer si un utilisateur situé à la position $U(-4\,;\,5)$ se trouve dans la zone de couverture.

Déterminer les coordonnées de tous les points situés sur l'axe des abscisses (axe X) qui se trouvent à exactement $10$ unités de distance du point $M(-6 ; 8)$.

Lors d'une action travaillée au football, un joueur situé en $J_1(10 ; 20)$ fait une passe au ras du sol à son coéquipier en $J_2(34 ; 27)$, qui, sans contrôler le ballon, tire directement vers le centre du but en $P(50 ; 15)$. Calculer la distance totale parcourue par le ballon. (Les coordonnées sont données en mètres.)

Démontrer, en calculant les longueurs des trois côtés et en utilisant le théorème de Pythagore, que le triangle de sommets $A(2\,;\,1)$, $B(6\,;\,1)$ et $C(2\,;\,4)$ est un triangle rectangle.

La gare de départ d'un téléphérique est en $B(0 ; 0)$ et le sommet de la montagne en $C(120 ; 50)$ dans un plan à deux dimensions. On doit installer un pylône de soutien exactement au milieu du trajet rectiligne. Calculer les coordonnées de ce milieu et la distance entre la gare de départ et le pylône.

Concevoir les coordonnées de trois points distincts du plan, $A$, $B$ et $C$, situés tous dans le premier quadrant et à coordonnées entières non nulles, qui vérifient simultanément les conditions suivantes :

1. La distance entre $A$ et $B$ doit être exactement égale à $\sqrt{13}$ unités.

2. La distance entre $B$ et $C$ doit être exactement égale à $\sqrt{52}$ unités.

3. Les trois points doivent être alignés, en vérifiant la relation $d(A,B) + d(B,C) = d(A,C)$.

Expliquer le raisonnement suivi pour construire leurs coordonnées et démontrer par le calcul, en déterminant la distance $d(A,C)$, que les points sont bien alignés sans s'appuyer sur un dessin.

Le centre de coordination du CROSS surveille deux embarcations en détresse dans le détroit de Gibraltar. Sur l'écran radar (où chaque unité du quadrillage représente $1\text{ mille marin}$), un chalutier en panne est à la position $P(2 ; 5)$ et un voilier en $V(8 ; -3)$. Une vedette de secours rapide se trouve sur la côte au point $C(2 ; -1)$.

1. a) Si la vedette navigue en ligne droite à vitesse constante, déterminer laquelle des deux embarcations elle secourra en premier. Justifier votre conclusion en calculant les distances exactes de $C$ à chacune d'elles.
2. b) Une embarcation d'appui se trouve au point intermédiaire $M(5 ; 1)$. Vérifier par le calcul, en appliquant la condition métrique d'alignement de points, si cette embarcation se trouve exactement sur la route directe reliant le chalutier $P$ au voilier $V$.

Déterminer les coordonnées d'un point $P$ situé sur la bissectrice du premier quadrant (la droite $y = x$) et équidistant des points fixes $A(2 ; 0)$ et $B(0 ; 4)$.

Les points $A(-1\,;\,3)$, $B(4\,;\,5)$ et $C(2\,;\,-2)$ sont trois sommets consécutifs d'un parallélogramme $ABCD$. Déterminer les coordonnées du quatrième sommet $D$ et calculer la longueur exacte des deux diagonales du parallélogramme.

Dans un simulateur de vol spatial en 3D, un vaisseau se déplace de la coordonnée $P_1(2\,;\,-1\,;\,4)$ jusqu'à la station orbitale en $P_2(5\,;\,3\,;\,16)$. Calculer la distance exacte parcourue par le vaisseau dans l'espace.

Une canalisation rectiligne doit relier un puits situé au point $A(-3\,;\,2)$ à une pompe à eau $P$ qui doit obligatoirement être installée sur l'axe des ordonnées (axe Y). Si, pour des contraintes de pression, la longueur de la canalisation doit être exactement de $\sqrt{29}$ unités, déterminer les coordonnées possibles de la pompe $P$.

Les sommets d'un terrain triangulaire sont $A(-4 ; -2)$, $B(2 ; 6)$ et $C(6 ; 3)$. Démontrer d'abord que le terrain forme un triangle rectangle, puis calculer son périmètre et son aire exacte.

Un système d'arrosage automatique comporte un arroseur circulaire de centre $C(x ; y)$ qui doit arroser de façon égale trois arbres situés aux coordonnées $T_1(0 ; 0)$, $T_2(6 ; 0)$ et $T_3(0 ; 8)$. Déterminer les coordonnées où placer l'arroseur $C$ et sa portée exacte.

Déterminer si les points $A(-2 ; 1)$, $B(1 ; 3)$ et $C(7 ; 7)$ sont parfaitement alignés. Pour cela, calculer les distances $d(A,B)$, $d(B,C)$ et $d(A,C)$, puis vérifier si l'égalité $d(A,B) + d(B,C) = d(A,C)$ est satisfaite.

Une entreprise de télécommunications veut installer un câble de fibre optique reliant deux bâtiments $E_1(0\,;\,0)$ et $E_2(21\,;\,0)$. Le coût d'installation est de $150\text{ \euro}$ par unité de longueur. S'ils décident d'ajouter un nœud intermédiaire en $N(16\,;\,12)$ et de relier $E_1$ à $N$, puis $N$ à $E_2$, combien d'argent supplémentaire coûtera ce détour par rapport à la liaison directe entre les deux bâtiments ?

Pour vérifier si les points $A(-1 ; -2)$, $B(1 ; 2)$ et $C(3 ; 6)$ sont alignés sur une même droite, on envisage deux stratégies mathématiques différentes :

• Méthode 1 (métrique) : calculer les trois distances $d(A,B)$, $d(B,C)$ et $d(A,C)$ à l'aide de la norme des déplacements et vérifier si la somme des deux plus petites est égale à la plus grande.

• Méthode 2 (vectorielle) : calculer les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{BC}$ et vérifier si elles sont proportionnelles.

1. a) Appliquer la méthode 1 en simplifiant au maximum les radicaux afin de travailler avec des valeurs exactes.
2. b) Appliquer la méthode 2.
3. c) Comparer les deux démarches et argumenter laquelle est préférable du point de vue de l'économie de calcul et de la sécurité pour éviter les erreurs d'arrondi lorsque les distances sont des nombres irrationnels.

Une entreprise de télécommunications prévoit d'installer une antenne relais pour couvrir deux villages ruraux représentés sur une carte par les points $A(-3 ; 2)$ et $B(5 ; 6)$ (coordonnées mesurées en kilomètres). Pour des raisons techniques d'accès, la station doit être construite sur une route rectiligne dont le tracé a pour équation $y = 3x - 4$. De plus, pour équilibrer la puissance du signal reçu dans les deux communes, la station $P(x ; y)$ doit être équidistante de ces deux villages ($d(P,A) = d(P,B)$).

1. a) Modéliser la condition d'équidistance en développant l'égalité $d(P,A)^2 = d(P,B)^2$ et déterminer l'équation cartésienne de la médiatrice du segment reliant les deux villages.
2. b) Poser et résoudre le système d'équations pour déterminer les coordonnées exactes de l'emplacement de l'antenne.
3. c) Calculer la distance exacte en kilomètres entre l'antenne et chacune des deux communes en vérifiant qu'elles coïncident.