Exercices: Résolution de f(x) = g(x) et f(x) < g(x)

On donne $f(x) = 2x + 1$ et $g(x) = -x + 7$.

1. a) Résoudre algébriquement $f(x) = g(x)$.
2. b) Calculer l'ordonnée du point d'intersection des deux droites.

On donne $f(x) = x^2$ et $g(x) = 4$.

1. a) Résoudre $f(x) = g(x)$.
2. b) Résoudre $f(x) < g(x)$.
3. c) Résoudre $f(x) \geqslant g(x)$.

Les courbes de $f$ et $g$ se coupent aux points d'abscisses $-2$ et $3$. La courbe de $f$ est au-dessus de celle de $g$ sur $]-2\,;3[$ et en dessous ailleurs.

1. a) Donner les solutions de $f(x) = g(x)$.
2. b) Donner les solutions de $f(x) > g(x)$.
3. c) Donner les solutions de $f(x) \leqslant g(x)$.

Deux opérateurs téléphoniques proposent : forfait A, $f(x) = 0,10x + 5$, et forfait B, $g(x) = 0,05x + 9$, où $x$ est le nombre de minutes d'appel hors forfait et le prix est en euros.

1. a) Résoudre $f(x) = g(x)$.
2. b) Résoudre $f(x) < g(x)$ et interpréter.

On donne $f(x) = (x-1)^2$ et $g(x) = 2x + 2$ sur $\mathbb{R}$.

1. a) Montrer que $f(x) - g(x) = x^2 - 4x - 1$.
2. b) À l'aide d'un logiciel de géométrie ou d'une calculatrice, donner une valeur approchée au dixième des abscisses des points d'intersection des courbes.
3. c) En déduire une valeur approchée de l'ensemble des solutions de $f(x) < g(x)$.

Soit $f(x) = \dfrac{1}{x}$ pour $x > 0$ et $g(x) = x$.

1. a) Résoudre $f(x) = g(x)$ sur $]0\,;+\infty[$.
2. b) Résoudre $f(x) < g(x)$ en multipliant par $x$ et en justifiant le sens de l'inégalité.
3. c) Interpréter graphiquement.

Soit $f(x) = x^2 - 3x$ et $g(x) = x - 3$ définies sur $\mathbb{R}$.

1. a) Montrer que $f(x) - g(x) = (x-1)(x-3)$ en développant $(x-1)(x-3)$.
2. b) Dresser le tableau de signe de $f(x) - g(x)$.
3. c) En déduire les solutions de $f(x) \leqslant g(x)$ et la position relative des courbes.

Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$. On considère les propositions :

P : « Pour tout réel $x$, $f(x) \geqslant 0$. »

Q : « Il existe un réel $x$ tel que $f(x) = 0$. »

1. a) Écrire la négation de P.
2. b) Pour $f(x) = (x-2)^2$, P et Q sont-elles vraies ?
3. c) Pour $f(x) = x^2 + 1$, P et Q sont-elles vraies ? Justifier.

Soit $f(x) = \dfrac{2x+3}{x+1}$ définie sur $]-1\,;+\infty[$ et $g(x) = x + 1$.

1. a) Montrer que $f(x) - g(x) = \dfrac{-x^2 + 2}{x+1}$.
2. b) Résoudre $f(x) > g(x)$ sur $]-1\,;+\infty[$.
3. c) Donner la valeur exacte de l'abscisse du point d'intersection des deux courbes.