Exercices: Tableau des effectifs

Lors d'une enquête auprès de $20$ élèves, on a posé des questions sur le nombre de frères et sœurs ($X$) et le nombre d'animaux de compagnie ($Y$). Les résultats figurent dans le tableau à double entrée suivant :

$X \setminus Y$	$0$	$1$	$2$
0	$2$	$4$	$1$
1	$3$	$5$	$2$
2	$1$	$1$	$1$

Indiquer combien d'élèves ont exactement $1$ frère ou sœur et $2$ animaux de compagnie, et vérifier que la somme de tous les effectifs conjoints est égale au nombre total d'élèves interrogés.

On a demandé à $10$ personnes le nombre de fois où elles vont au cinéma par mois ($X$) et le nombre de livres qu'elles lisent par mois ($Y$). Les réponses obtenues pour chaque individu $(X,Y)$ sont :

$(1, 0), (2, 1), (1, 0), (3, 2), (2, 1), (1, 1), (3, 2), (2, 0), (1, 0), (2, 1)$.

Construire le tableau à double entrée correspondant à ces deux variables en indiquant les effectifs conjoints.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

On donne le tableau des effectifs conjoints suivant, qui relie les notes de mathématiques ($X$) et les notes de physique ($Y$) d'un groupe d'élèves :

$X \setminus Y$	$5$	$6$	$7$
5	$4$	$2$	$0$
6	$1$	$5$	$3$
7	$0$	$2$	$6$

Écrire le tableau de la distribution marginale de la variable $X$ (notes de mathématiques), en indiquant chaque valeur de $X$ et son effectif marginal $f_{i\bullet}$.

À partir du même tableau que dans l'exercice précédent, qui relie les notes de mathématiques ($X$) et de physique ($Y$) :

$X \setminus Y$	$5$	$6$	$7$
5	$4$	$2$	$0$
6	$1$	$5$	$3$
7	$0$	$2$	$6$

Écrire le tableau de la distribution marginale de la variable $Y$ (notes de physique), en indiquant chaque valeur de $Y$ et son effectif marginal $f_{\bullet j}$.

Compléter les totaux marginaux (lignes et colonnes) du tableau croisé suivant, qui relie le nombre d'heures de travail quotidien ($X$) et le nombre de matières où l'élève est en échec ($Y$) :

$X \setminus Y$	$0$	$1$	$2$	Total $X$
1	$1$	$3$	$2$
2	$4$	$1$	$0$
3	$0$	$2$	$2$
Total $Y$

Recopier le tableau dans votre cahier et remplir les cases vides avec les sommes correspondantes.

Le tableau suivant montre la relation entre l'âge de plusieurs jeunes ($X$) et le nombre d'heures qu'ils consacrent au sport par semaine ($Y$) :

$X \setminus Y$	$2$	$4$	$6$
14	$5$	$3$	$1$
15	$2$	$6$	$4$
16	$1$	$2$	$5$

Écrire la distribution conditionnelle du nombre d'heures de sport ($Y$) pour les jeunes qui ont exactement $15$ ans ($X=15$).

Dans une étude sur les familles, on a relevé le nombre de voitures ($X$) et le nombre de vélos ($Y$). On sait que la variable $X$ prend les valeurs $0, 1, 2$ et que la variable $Y$ prend les valeurs $0, 1$. Construire le tableau à double entrée sachant que :

• Il y a $2$ familles avec $(0\,;\,0)$ et $3$ familles avec $(0\,;\,1)$.

• Il y a $4$ familles avec $(1\,;\,0)$ et $5$ familles avec $(1\,;\,1)$.

• Il y a $1$ famille avec $(2\,;\,0)$ et $0$ familles avec $(2\,;\,1)$.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

On donne la distribution marginale suivante de la variable $X$ avec les effectifs $f_i$ :

$X$	$1$	$2$	$3$
$f_i$	$4$	$5$	$1$

Sachant que la variable $Y$ ne prend que la valeur $Y=2$ pour tous les individus de l'échantillon, construire le tableau à double entrée complet de la distribution conjointe de $(X,Y)$.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Lors d'une enquête auprès de $30$ élèves de 3e sur le nombre d'heures quotidiennes de loisirs sur écran ($X$ : 1, 2 ou 3 heures) et le nombre de jours par semaine où ils pratiquent un sport en dehors du collège ($Y$ : 0, 1 ou 2 jours), on a obtenu le tableau d'effectifs à double entrée suivant :

$X \setminus Y$	$0$ jours	$1$ jour	$2$ jours	Total $X$
1 heure	$2$	$5$	$4$	$11$
2 heures	$3$	$6$	$3$	$12$
3 heures	$4$	$2$	$1$	$7$
Total $Y$	$9$	$13$	$8$	$30$

Arthur analyse ces données et commet deux erreurs courantes dans son cahier de travail :

1. Il affirme : « Pour savoir combien de personnes ont participé à l'étude au total, je dois additionner les totaux des lignes ($11 + 12 + 7 = 30$) et les totaux des colonnes ($9 + 13 + 8 = 30$), donc on a interrogé $60$ personnes au total. »

2. Il affirme : « La case qui contient le nombre $6$ indique qu'il y a $6$ élèves qui font du sport $2$ jours par semaine et passent $1$ heure devant les écrans. »

Identifier quelle notion Arthur confond dans chacune de ses affirmations, expliquer pourquoi son raisonnement est erroné et rédiger l'interprétation correcte des deux questions à partir du tableau.

Le syndicat régional des transports d'une région étudie la mobilité des jeunes et interroge $40$ élèves du secondaire sur deux variables : le titre de transport qu'ils utilisent habituellement ($X$ : « Abonnement jeune », « Carte multivoyage » ou « Ticket unitaire ») et le nombre de jours par semaine où ils utilisent le bus ou le métro ($Y$ : « 1-2 jours », « 3-4 jours » ou « 5-7 jours »). Les entretiens fournissent ces données :

• $18$ jeunes ont un Abonnement jeune ; parmi eux, aucun ne voyage seulement 1 à 2 jours et $12$ voyagent de 5 à 7 jours.

• $14$ jeunes utilisent la Carte multivoyage ; parmi eux, $6$ voyagent de 1 à 2 jours et $5$ voyagent de 3 à 4 jours.

• Les $8$ jeunes restants utilisent le Ticket unitaire ; aucun ne voyage de 5 à 7 jours, et ceux qui voyagent de 1 à 2 jours sont trois fois plus nombreux que ceux qui voyagent de 3 à 4 jours.

1. a) Modéliser cette situation en construisant un tableau d'effectifs à double entrée complet : placer en lignes les titres de transport ($X$), en colonnes la fréquence d'usage ($Y$), et calculer tous les effectifs conjoints et les totaux marginaux des lignes et des colonnes.
2. b) À partir du tableau, calculer quel pourcentage de l'ensemble des jeunes voyage en transport en commun de 5 à 7 jours par semaine et expliquer pourquoi il est cohérent avec la réalité qu'aucun utilisateur de Ticket unitaire n'appartienne à cette catégorie d'usage intensif.

Un tableau à double entrée montre la relation entre le nombre de buts marqués ($X$) et le nombre de buts encaissés ($Y$) par une équipe de football lors de plusieurs matchs. Certaines cases intérieures ont été effacées, mais les totaux marginaux sont conservés.

$X \setminus Y$	$0$	$1$	$2$	Total $X$
0	$2$	$a$	$0$	$5$
1	$b$	$3$	$1$	$8$
2	$1$	$1$	$c$	$4$
Total $Y$	$7$	$7$	$3$	$17$

Calculer les valeurs inconnues $a$, $b$ et $c$ pour que le tableau soit cohérent.

Le tableau suivant relie la quantité d'engrais en grammes ($X$) et la hauteur de la plante en centimètres ($Y$) après un mois de croissance :

$X \setminus Y$	$10$	$15$	$20$
5	$2$	$4$	$1$
10	$1$	$5$	$3$
15	$0$	$2$	$6$

Calculer la distribution marginale de la hauteur des plantes ($Y$) et déterminer sa moyenne marginale $\bar{y}$.

En utilisant le tableau de l'exercice précédent sur l'engrais ($X$) et la hauteur ($Y$) :

$X \setminus Y$	$10$	$15$	$20$
5	$2$	$4$	$1$
10	$1$	$5$	$3$
15	$0$	$2$	$6$

Calculer la moyenne conditionnelle de la hauteur des plantes sachant qu'on leur a appliqué exactement $10\text{ g}$ d'engrais (c'est-à-dire calculer $\bar{y}_{X=10}$).

Dans une étude économique, on relie le niveau de revenus mensuels en milliers d'euros ($X$) et les dépenses de loisirs en centaines d'euros ($Y$) de plusieurs familles.

$X \setminus Y$	$1$	$2$	$3$
1	$12$	$6$	$2$
2	$5$	$10$	$5$
3	$1$	$4$	$5$

Répondre aux questions suivantes en calculant les pourcentages correspondants :

1. a) Quel pourcentage de l'ensemble des familles interrogées a des revenus de $2$ mille euros et dépense $3$ centaines d'euros en loisirs ?
2. b) Quel pourcentage des familles qui gagnent $3$ mille euros dépensent $2$ centaines d'euros en loisirs ?

Les tailles en centimètres ($X$) et le nombre de médailles obtenues ($Y$) d'un groupe d'athlètes ont été recueillis dans le tableau suivant, la variable $X$ étant regroupée en classes :

$X \setminus Y$	$0$	$1$	$2$
$[160 ; 170[$	$6$	$3$	$1$
$[170 ; 180[$	$4$	$8$	$2$
$[180 ; 190[$	$2$	$5$	$9$

Déterminer la distribution marginale des tailles ($X$) et calculer sa moyenne marginale $\bar{x}$, en utilisant les centres de classe de chaque intervalle.

On donne le tableau à double entrée suivant sur le nombre de jours de pluie par semaine ($X$) et le nombre d'accidents de la route par jour ($Y$) dans une ville :

$X \setminus Y$	$0$	$1$	$2$
1	$10$	$4$	$1$
2	$5$	$8$	$2$
3	$2$	$6$	$12$

Calculer la variance marginale de la variable $Y$ (accidents de la route).

À partir des mêmes données que dans l'exercice précédent sur les jours de pluie ($X$) et les accidents ($Y$) :

$X \setminus Y$	$0$	$1$	$2$
1	$10$	$4$	$1$
2	$5$	$8$	$2$
3	$2$	$6$	$12$

Calculer la variance conditionnelle du nombre d'accidents de la route ($Y$) lorsque le nombre de jours de pluie est exactement $X=3$.

Le nuage de points suivant montre les notes obtenues à deux épreuves d'aptitude, $X$ et $Y$, par un groupe de candidats. Les nombres à l'intérieur des cercles indiquent l'effectif conjoint (le nombre de candidats ayant obtenu ce couple de notes). Construire le tableau à double entrée associé à ce graphique et calculer la moyenne marginale de l'épreuve $X$.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Météo-France a relevé pendant les $30$ jours du mois de novembre, dans une zone côtière, deux variables : le niveau de vigilance pour tempête de vent ($X$ : 0 = pas de vigilance, 1 = vigilance jaune, 2 = vigilance orange) et le niveau de précipitations cumulées ($Y$ : 0 = pas de pluie, 1 = pluie modérée, 2 = pluie forte). Les relevés sont résumés dans le tableau suivant :

$X \setminus Y$	Pas de pluie ($0$)	Modérée ($1$)	Forte ($2$)	Total $X$
Pas de vigilance (0)	$11$	$4$	$0$	$15$
Jaune (1)	$2$	$5$	$3$	$10$
Orange (2)	$0$	$1$	$4$	$5$
Total $Y$	$13$	$10$	$7$	$30$

1. a) Estimer sans calculer : Observer la position des effectifs les plus élevés le long de la diagonale et dans les coins du tableau. Estimer si une vigilance vent plus sévère tend à être associée à un niveau de pluie plus élevé ou si les deux variables semblent se comporter de manière totalement indépendante. Justifier sur quelles cases vous vous appuyez pour votre estimation.
2. b) Vérifier avec les données : Calculer la proportion de jours de pluie forte ($Y=2$) dans le groupe des jours sans vigilance vent ($X=0$) et la comparer numériquement à la proportion de jours de pluie forte dans le groupe des jours en vigilance orange ($X=2$). Ces pourcentages confirment-ils votre estimation initiale ? Justifier la réponse.

Dans une étude sur les habitudes de vie saines fondée sur des indicateurs d'une enquête nationale de santé (INSEE), une équipe de médecine de ville recueille des données sur $60$ patients adultes. On analyse deux variables : la consommation quotidienne de fruits frais ($X$ : 0 = moins de 1 fruit, 1 = 1 à 2 fruits, 2 = 3 fruits ou plus) et le niveau hebdomadaire d'activité physique ($Y$ : 0 = sédentaire, 1 = modérée, 2 = régulière). Lors de l'impression du rapport, une tache d'encre a effacé quatre cases ($a$, $b$, $c$ et $d$) :

$X \setminus Y$	Sédentaire ($0$)	Modérée ($1$)	Régulière ($2$)	Total $X$
$< 1$ fruit (0)	$12$	$6$	$a$	$20$
1-2 fruits (1)	$8$	$b$	$10$	$25$
$\ge 3$ fruits (2)	$c$	$4$	$9$	$d$
Total $Y$	$22$	$17$	$21$	$60$

1. a) Déduire de façon argumentée la valeur des quatre cases inconnues ($a$, $b$, $c$ et $d$) à partir des propriétés des totaux marginaux des lignes et des colonnes, en indiquant clairement l'ordre suivi pour les calculer.
2. b) Une médecin affirme, après avoir vu les résultats : « Le pourcentage de personnes sédentaires parmi celles qui mangent à peine de fruits ($< 1$ fruit) est plus du triple du pourcentage de personnes sédentaires parmi celles qui mangent trois fruits ou plus par jour. » Vérifier par des calculs de fréquences si l'affirmation de la médecin est vraie ou fausse.

Dans un tableau à double entrée reliant deux variables $X$ et $Y$, l'effectif de la case correspondant à $X=2$ et $Y=3$ est une valeur inconnue $k$.

$X \setminus Y$	$1$	$2$	$3$
1	$4$	$5$	$2$
2	$1$	$3$	$k$
3	$2$	$6$	$1$

Sachant que la taille totale de l'échantillon est $N=30$, déterminer la valeur de $k$ puis calculer l'écart type marginal de la variable $X$.

Le tableau suivant relie les heures d'entraînement hebdomadaire ($X$) et le temps réalisé lors d'une course, en minutes ($Y$). Deux effectifs conjoints, $a$ et $b$, sont inconnus.

$X \setminus Y$	$15$	$20$	$25$
2	$4$	$2$	$1$
4	$a$	$5$	$3$
6	$1$	$b$	$4$

On sait qu'il y a en tout $N=40$ athlètes dans l'étude et que la moyenne marginale des heures d'entraînement est $\bar{x} = 4,25$. Poser un système d'équations linéaires et déterminer les valeurs exactes de $a$ et $b$.

On donne le tableau de contingence à double entrée suivant pour les variables discrètes $X$ et $Y$ :

$X \setminus Y$	$2$	$4$	$6$
10	$1$	$3$	$0$
20	$2$	$5$	$2$
30	$0$	$2$	$5$

Calculer la covariance $\sigma_{xy}$ de la distribution conjointe. Rappel : la formule de la covariance est $\sigma_{xy} = \frac{\sum x_i y_j f_{ij}}{N} - \bar{x}\bar{y}$.

Une étude économique regroupe en classes la variable $X$ (dépenses de publicité en milliers d'euros) ainsi que la variable $Y$ (ventes en milliers d'euros).

$X \setminus Y$	$[10 ; 20[$	$[20 ; 30[$	$[30 ; 40[$
$[0 ; 2[$	$2$	$5$	$1$
$[2 ; 4[$	$3$	$8$	$4$
$[4 ; 6[$	$0$	$2$	$5$

En utilisant les centres de classe de chaque intervalle, calculer les moyennes marginales $\bar{x}$ et $\bar{y}$, ainsi que la covariance de la distribution à deux variables.

Démontrer numériquement une propriété fondamentale des moyennes conditionnelles à l'aide du tableau suivant :

$X \setminus Y$	$1$	$3$	$5$
2	$3$	$1$	$0$
4	$1$	$4$	$1$
6	$0$	$2$	$8$

Calculer d'abord les moyennes conditionnelles de $Y$ pour chaque valeur de $X$ : $\bar{y}_{X=2}$, $\bar{y}_{X=4}$ et $\bar{y}_{X=6}$. Calculer ensuite la moyenne marginale $\bar{y}$ et vérifier que la relation de la moyenne pondérée est satisfaite : $\bar{y} = \frac{\sum \bar{y}_{X=x_i} \cdot f_{i\bullet}}{N}$.

Reconstituer un tableau à double entrée pour les variables $X$ (nombre de pannes d'une machine) et $Y$ (ligne de production : $1$ ou $2$). On connaît les données suivantes :

• La distribution marginale de $X$ prend les valeurs $0, 1, 2$ avec les effectifs marginaux $f_{0\bullet} = 20$, $f_{1\bullet} = 15$ et $f_{2\bullet} = 5$.

• La distribution conditionnelle de $Y$ sachant $X=0$ est équirépartie (la moitié des pannes concerne la ligne $1$ et l'autre moitié la ligne $2$).

• Pour $X=1$, il y a deux fois plus de pannes sur la ligne $1$ que sur la ligne $2$.

• Pour $X=2$, toutes les pannes ont lieu sur la ligne $2$.

Dessiner le tableau à double entrée avec tous les effectifs conjoints $f_{ij}$.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Dans une classe, les notes obtenues au premier trimestre ($X$) et au deuxième trimestre ($Y$) sont regroupées dans le tableau à double entrée suivant :

$X \setminus Y$	$4$	$6$	$8$
4	$2$	$3$	$0$
6	$1$	$5$	$2$
8	$0$	$1$	$6$

On définit une nouvelle variable à une dimension $Z = X + Y$, qui représente la somme des notes des deux trimestres. À partir du tableau à double entrée, construire le tableau des effectifs de la variable $Z$ et calculer sa moyenne $\bar{z}$.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Une machine de conditionnement classe les produits selon leur masse en grammes ($X$) et leur longueur en millimètres ($Y$). Au lieu des effectifs, on fournit le tableau suivant des fréquences conjointes $h_{ij} = \frac{f_{ij}}{N}$ :

$X \setminus Y$	$10$	$20$	$30$
100	$0,10$	$0,20$	$0,15$
200	$0,05$	$0,30$	$0,20$

Sachant que l'effectif marginal des produits de masse $100\text{ g}$ est $f_{100\bullet} = 45$, déterminer le nombre total de produits examinés $N$ et reconstituer le tableau des effectifs conjoints $f_{ij}$.

Dans une étude sur le bien-être numérique dans un établissement scolaire, $N = 50$ élèves de seconde participent. On analyse deux variables : le temps hebdomadaire consacré à la lecture de livres par loisir ($X$ : 1 = moins de 2 heures, 2 = 2 heures ou plus) et l'usage récréatif quotidien du téléphone portable ($Y$ : 1 = moins de 3 heures, 2 = 3 heures ou plus). Les données individuelles ont été perdues, mais le rapport final du projet indique avec certitude les trois conditions suivantes :

1. Exactement $30$ des $50$ élèves interrogés déclarent utiliser leur portable $3$ heures ou plus par jour ($Y = 2$).

2. Exactement la moitié de l'échantillon consacre $2$ heures ou plus par semaine à la lecture de livres ($X = 2$).

3. Parmi les élèves qui lisent moins de 2 heures par semaine ($X = 1$), le nombre de ceux qui utilisent leur portable 3 heures ou plus par jour est le quadruple de celui de ceux qui l'utilisent moins de 3 heures.

1. a) Reconstituer le tableau à double entrée complet (les quatre effectifs conjoints et tous les totaux marginaux des lignes et des colonnes). Poser et justifier chaque raisonnement ou équation utilisé pour déterminer chaque case.
2. b) Calculer la proportion d'élèves ayant un usage élevé du portable ($Y = 2$) parmi les lecteurs réguliers ($X = 2$) et la comparer à la même proportion parmi les non-lecteurs ($X = 1$). À la vue des deux valeurs, expliquer quel type de relation ou de tendance ces deux variables présentent dans l'échantillon étudié.

La Sécurité routière enregistre, sur un tronçon de route interurbaine, un échantillon de $100$ infractions pour excès de vitesse, classées selon le type de voie ($X$ : route conventionnelle ou autoroute) et la gravité de l'infraction ($Y$ : légère, grave ou très grave). À la suite d'une panne informatique, trois cases intérieures ($x$, $y$, $z$) ont été effacées, mais tous les totaux marginaux ont été conservés :

$X \setminus Y$	Légère ($L$)	Grave ($G$)	Très grave ($M$)	Total $X$
Conventionnelle	$x$	$25$	$y$	$60$
Autoroute	$z$	$15$	$5$	$40$
Total $Y$	$50$	$40$	$10$	$100$

Pour calculer les trois effectifs inconnus, deux membres de l'équipe technique proposent des méthodes différentes :

• Méthode A (déduction marginale directe) : calculer d'abord $y$ à l'aide de la colonne « Très grave » ($y + 5 = 10$), puis $z$ avec la ligne « Autoroute » ($z + 15 + 5 = 40$), et enfin $x$ par soustraction dans la colonne « Légère » ou dans la ligne « Conventionnelle ».

• Méthode B (système algébrique global) : poser un système linéaire de trois équations à trois inconnues en sommant les lignes et les colonnes où interviennent les inconnues :

$$\begin{cases} x + y + 25 = 60 \\ z + 15 + 5 = 40 \\ x + z = 50 \end{cases}$$

puis le résoudre par substitution.

1. a) Déterminer les valeurs de $x$, $y$ et $z$. Comparer les deux méthodes et justifier laquelle est la plus efficace et la plus pratique pour les tableaux à double entrée, en considérant le nombre d'opérations et le risque d'erreur.
2. b) On suppose que le total marginal de la ligne « Conventionnelle » ($60$) avait aussi été effacé du rapport. Expliquer s'il serait encore possible de reconstituer tout le tableau avec l'une des méthodes ou s'il manquerait de l'information, en justifiant la réponse à partir de la relation entre les totaux marginaux et l'effectif total de l'échantillon $N$.