Exercices: Distributions marginales

On donne le tableau à double entrée suivant pour les variables $X$ et $Y$ :

$X \setminus Y$	3	4
1	2	5
2	4	1

Écrire le tableau de la distribution marginale de la variable $X$.

On a étudié la relation entre deux variables statistiques $X$ et $Y$ et obtenu le tableau des effectifs conjoints suivant :

$X \setminus Y$	10	20
0	3	2
1	1	6
2	4	0

Déterminer la distribution marginale de la variable $Y$ et calculer l'effectif total de la population $N$.

La distribution marginale d'une variable à deux caractères pour sa composante $X$ est donnée par le tableau suivant :

$x_i$	2	4	6
$n_i$	3	5	2

Calculer la moyenne marginale $\bar{x}$.

On a relevé les couples de valeurs $(x_i ; y_i)$ suivants en observant 5 individus :

$(1 ; 5)$, $(2 ; 5)$, $(1 ; 6)$, $(3 ; 5)$, $(2 ; 6)$

À partir de ces données, construire le tableau de la distribution marginale de la variable $Y$.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Dans le tableau à double entrée suivant, les totaux marginaux (les sommes des lignes et des colonnes) sont manquants.

$X \setminus Y$	1	2	3	Total $X$
5	2	0	4	?
6	1	3	1	?
Total $Y$	?	?	?	$N = ?$

Recopier le tableau et compléter les valeurs marginales manquantes.

La distribution marginale de la variable $Y$ dans une étude statistique est la suivante :

$y_j$	0	1	2
$n_j$	4	4	2

Sachant que sa moyenne marginale est $\bar{y} = 0,8$, calculer la variance marginale $\sigma_Y^2$.

Observer le tableau des effectifs conjoints suivant :

$X \setminus Y$	100	200	300
1	5	8	2
2	3	1	7

Déterminer la valeur de l'effectif marginal $n_{2 \bullet}$ (le total des individus avec $X=2$) et la valeur de l'effectif marginal $n_{\bullet 3}$ (le total des individus avec $Y=300$).

Dans un groupe de 10 amis, on a demandé le nombre de frères et sœurs ($X$) et le nombre d'animaux de compagnie ($Y$). Les résultats $(X\,;\,Y)$ sont :

$(1\,;\,1)$, $(2\,;\,0)$, $(1\,;\,1)$, $(0\,;\,2)$, $(2\,;\,1)$, $(1\,;\,0)$, $(3\,;\,0)$, $(1\,;\,1)$, $(0\,;\,1)$, $(2\,;\,0)$

Écrire le tableau de la distribution marginale du nombre d'animaux de compagnie ($Y$).

Dans une enquête sur la mobilité urbaine menée par le syndicat des transports, on interroge 50 usagers du bus sur le nombre de correspondances de leur trajet habituel ($X$) et sur le temps d'attente moyen en minutes ($Y$). Les résultats figurent dans le tableau à double entrée suivant :

$X \setminus Y$	5	10	15
0	14	6	0
1	5	15	4
2	1	2	3

1. a) Construire le tableau de la distribution marginale de la variable $X$ (nombre de correspondances), en indiquant les valeurs $x_i$ et leurs effectifs marginaux $f_{i\bullet}$.
2. b) Calculer la moyenne marginale $\bar{x}$.
3. c) Interpréter ce que décrit la valeur de $\bar{x}$ dans le contexte des déplacements habituels de ces usagers.

Un groupe d'élèves de seconde recueille des données sur le nombre de frères et sœurs ($X$) et le nombre d'heures hebdomadaires consacrées aux jeux vidéo ($Y$) pour un échantillon de 30 camarades de lycée :

$X \setminus Y$	2	5	8
0	5	4	3
1	4	6	2
2	2	3	1

Marc veut calculer la moyenne marginale du nombre de frères et sœurs ($\bar{x}$) et écrit dans son cahier :

« Les valeurs possibles de la variable $X$ sont 0, 1 et 2 frères et sœurs. Donc la moyenne est $\bar{x} = \frac{0 + 1 + 2}{3} = \frac{3}{3} = 1$ frère ou sœur ».

1. a) Expliquer clairement quelle est l'erreur de raisonnement commise par Marc et pourquoi sa méthode donnerait toujours le même résultat, quel que soit le nombre réel d'élèves ayant 0, 1 ou 2 frères et sœurs.
2. b) Corriger la démarche : déterminer la distribution marginale de $X$ avec ses effectifs correspondants et calculer la vraie valeur de la moyenne marginale $\bar{x}$.

Un biologiste étudie une espèce d'amphibien et relève sa masse $X$ (en kg) et sa longueur $Y$ (en cm). Les résultats sont regroupés dans le tableau à double entrée suivant :

$X \setminus Y$	15	20	25
0,5	4	2	0
1,0	1	5	3
1,5	0	2	3

Calculer les moyennes marginales $\bar{x}$ et $\bar{y}$ des deux variables.

Dans une étude de marché sur le prix d'un produit $X$ (regroupé en intervalles d'euros) et le nombre de ventes quotidiennes $Y$, on obtient :

$X \setminus Y$	10	20	30
$[10 ; 20[$	5	12	3
$[20 ; 30[$	8	15	7
$[30 ; 40[$	2	6	12

Déterminer la distribution marginale de $X$ en utilisant les centres de classe et calculer sa moyenne marginale.

Dans une équipe de basket-ball, on analyse le nombre de fautes commises ($X$) et les points marqués ($Y$) par match. Le tableau conjoint comporte un effectif inconnu $f$ :

$X \setminus Y$	5	10	15
1	2	$f$	1
2	3	4	2

Sachant que la moyenne marginale des points marqués est $\bar{y} = 9{,}5$, déterminer la valeur de l'effectif inconnu $f$.

On analyse l'autonomie de la batterie $X$ (en heures) et la taille de l'écran $Y$ (en pouces) de plusieurs modèles de tablettes :

$X \setminus Y$	7	8	10
6	2	5	1
8	4	8	3
10	1	4	6
12	0	2	4

Construire la distribution marginale de l'autonomie de la batterie ($X$) et calculer son écart type marginal.

On a relevé le nombre d'heures de travail hebdomadaires ($X$) et la note obtenue à un examen ($Y$) pour 10 élèves :

$(5 ; 6), (7 ; 8), (4 ; 5), (8 ; 9), (5 ; 5), (6 ; 7), (7 ; 7), (9 ; 10), (4 ; 6), (6 ; 8)$

Construire le tableau à double entrée des effectifs. À partir de ce tableau, déterminer la distribution marginale des notes ($Y$) et calculer le pourcentage d'élèves ayant obtenu une note supérieure à 6.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Dans un essai clinique, on relie la dose d'un médicament $X$ (en mg) au nombre de jours de guérison $Y$ :

$X \setminus Y$	3	5	7
100	6	4	0
200	2	8	2
300	0	3	5

Calculer le coefficient de variation marginal de la variable $Y$ afin d'analyser sa dispersion relative.

On relève la température moyenne $X$ (en °C) et le nombre de jours de pluie par mois $Y$ dans plusieurs villes :

$X \setminus Y$	2	4	6
15	3	5	2
20	4	7	3
25	1	4	6

Extraire les distributions marginales de $X$ et $Y$. Vérifier numériquement que la somme des effectifs marginaux de $X$ est égale à la somme des effectifs marginaux de $Y$, et que toutes deux sont égales à l'effectif total de l'échantillon $N$.

On étudie la quantité d'engrais $X$ (en kg/ha) et le rendement de la récolte $Y$ (en tonnes/ha) sur différentes parcelles :

$X \setminus Y$	2	3	4
50	5	2	1
100	3	6	2
150	0	4	7

Calculer la variance marginale de $X$ et la variance marginale de $Y$. Laquelle des deux variables présente la plus grande dispersion absolue ?

Une station météorologique de Météo-France en zone de montagne relève, pendant 40 jours d'hiver, la température minimale en °C ($X$) et la hauteur de neige accumulée en centimètres ($Y$) :

$X \setminus Y$	0	5	10
-2	1	6	8
0	5	12	3
2	4	1	0

1. a) Estimer : sans calculer encore la moyenne marginale de la température ($\bar{x}$), observer les effectifs marginaux des lignes ($f_{i\bullet}$) et expliquer si l'on s'attend à ce que $\bar{x}$ soit positif, négatif ou exactement nul. Justifier la prévision en analysant pour quelle valeur de $X$ se concentre le plus grand poids de l'échantillon.
2. b) Vérifier : construire le tableau de la distribution marginale de $X$ et calculer exactement la moyenne $\bar{x}$ et la variance marginale $\sigma_x^2$.
3. c) Évaluer : les calculs exacts confirment-ils l'estimation faite à la question a) ? Expliquer si le résultat numérique obtenu est cohérent du point de vue climatique pour un mois d'hiver en haute montagne.

Une entreprise de livraison express analyse une flotte de $N = 20$ camionnettes selon deux variables : le nombre de secteurs attribués ($X$, qui ne prend que les valeurs 10 ou 20 secteurs) et la tournée de livraison ($Y$, où 1 représente la tournée du matin et 2 celle de l'après-midi).

Les données individuelles du tableau conjoint ont été perdues, mais on connaît deux conditions marginales :

1) La moyenne marginale du nombre de secteurs attribués est $\bar{x} = 14$.

2) Le nombre total de camionnettes affectées à la tournée du matin ($Y = 1$) est exactement le triple de celui des camionnettes affectées à la tournée de l'après-midi ($Y = 2$).

1. a) Poser les équations nécessaires pour déduire les effectifs marginaux de $X$ ($f_{1\bullet}$ et $f_{2\bullet}$) et les effectifs marginaux de $Y$ ($f_{\bullet 1}$ et $f_{\bullet 2}$).
2. b) Concevoir un tableau à double entrée de taille $2 \times 2$ dont les effectifs conjoints intérieurs sont non nuls et qui respecte exactement tous les effectifs marginaux calculés.

Dans une usine, on analyse le nombre de défauts $X$ et le temps de contrôle $Y$ (en minutes) d'un lot de pièces. Le tableau des effectifs conjoints contient deux paramètres $a$ et $b$ :

$X \setminus Y$	2	4	6
0	10	5	2
1	4	$a$	3
2	1	2	$b$

On sait que l'effectif total de l'échantillon est $N = 40$ et que la moyenne marginale du nombre de défauts est $\bar{x} = 0,8$. Déterminer les valeurs des effectifs $a$ et $b$.

Lors d'une expérience de thermodynamique, on mesure la pression $X$ (en atm) et le volume $Y$ (en litres), en regroupant les données en intervalles :

$X \setminus Y$	$[1 ; 3[$	$[3 ; 5[$	$[5 ; 7[$
$[10 ; 20[$	12	8	0
$[20 ; 30[$	5	15	6
$[30 ; 40[$	0	4	10

Extraire les distributions marginales en utilisant les centres de classe. Calculer leurs écarts types marginaux et déterminer quelle variable a la plus grande dispersion relative en calculant le coefficient de variation marginal.

Une étude relie le niveau de revenus $X$ (en milliers d'euros) et l'indice de satisfaction $Y$ (de 1 à 3). Au lieu des effectifs, on fournit les fréquences conjointes $h_{ij}$ :

$X \setminus Y$	1	2	3
15	0,10	0,15	0,05
25	0,05	0,25	0,10
35	0,00	0,10	0,20

Calculer les distributions marginales des fréquences et, à partir de celles-ci, déterminer les moyennes marginales $\bar{x}$ et $\bar{y}$.

On évalue la résistance à la traction $X$ (en MPa) et le pourcentage de carbone $Y$ dans des alliages d'acier. Le tableau est incomplet, mais on connaît les totaux marginaux :

$X \setminus Y$	0,2	0,4	0,6	Total $X$
400	8	?	2	15
500	?	13	?	25
600	1	?	5	10
Total $Y$	12	22	16	$N=50$

Reconstituer le tableau à double entrée complet. Calculer ensuite la variance marginale de $Y$.

Le graphique à bulles suivant représente la distribution à deux variables du niveau de risque ($X$) et du rendement espéré ($Y$) d'un ensemble de portefeuilles d'investissement. Le nombre inscrit dans chaque bulle indique l'effectif conjoint.

À partir du graphique, extraire les distributions marginales des deux variables et calculer la moyenne marginale du rendement ($\bar{y}$).

On analyse l'âge $X$ (en intervalles) et le nombre d'enfants $Y$ d'un groupe de familles :

$X \setminus Y$	0	1	2	3
$[20 ; 30[$	15	10	2	0
$[30 ; 40[$	8	18	12	4
$[40 ; 50[$	3	7	15	6

Calculer la moyenne et la variance marginales de l'âge ($X$) en utilisant les centres de classe. Si, à la suite d'une erreur de saisie, on doit appliquer un facteur de correction en ajoutant 2 ans à chaque centre de classe, quelles seront la nouvelle moyenne et la nouvelle variance marginales de $X$ sans avoir à recalculer tout le tableau ? Justifier la réponse en s'appuyant sur les propriétés de la moyenne et de la variance.

Un magasin enregistre le prix de base $X$ (en euros) et le nombre d'unités vendues $Y$ de différents articles. La distribution marginale des prix de base $X$ obtenue à partir du tableau à double entrée est :

$x_i$	10	20	30	40
$n_i$	25	40	20	15

Sachant que le prix de vente final au public ($X'$) se calcule en appliquant une taxe fixe de 5 euros plus une augmentation de 20 % sur le prix de base (c'est-à-dire $X' = 1,20X + 5$), calculer la moyenne et l'écart type marginal des prix finaux $X'$ sans avoir à transformer chacune des valeurs individuellement.

Un écologue mesure la quantité de lumière solaire $X$ et la croissance d'une plante $Y$. Les données sont résumées dans le tableau suivant :

$X \setminus Y$	10	20
5	2	3
8	4	1

Démontrer numériquement que le calcul de la moyenne marginale de $X$ à l'aide de la formule bidimensionnelle complète $\bar{x} = \frac{1}{N} \sum_{i} \sum_{j} x_i \cdot n_{ij}$ donne exactement le même résultat que si l'on extrait d'abord la distribution marginale de $X$ puis que l'on applique la formule unidimensionnelle $\bar{x} = \frac{1}{N} \sum_{i} x_i \cdot n_{i \bullet}$. Présenter le développement étape par étape des deux méthodes.

Dans une usine de composants mécaniques, on contrôle la longueur en centimètres ($X$) d'une pièce et sa résistance à l'usure ($Y$). À partir de la distribution marginale de $X$, le service qualité a déjà obtenu que la moyenne est $\bar{x} = 12\text{ cm}$ et que son écart type est $\sigma_x = 0,4\text{ cm}$ (donc sa variance est $\sigma_x^2 = 0,16\text{ cm}^2$).

Pour adapter les plans à une norme internationale, il faut exprimer la longueur en millimètres et ajouter une marge fixe d'assemblage de 5 mm, en appliquant la transformation linéaire $X' = 10 \cdot X + 5$.

Pour déterminer la nouvelle moyenne marginale $\bar{x}'$ et la nouvelle variance marginale $\sigma_{x'}^2$, deux méthodes sont proposées :

• Méthode 1 : Transformer chaque valeur individuelle d'origine $x_i$ en calculant $x'_i = 10 \cdot x_i + 5$, refaire tout le tableau des effectifs marginaux et appliquer dès le début les formules générales avec des sommes.

• Méthode 2 : Employer directement les propriétés algébriques des changements d'origine et d'échelle sur les paramètres déjà connus : $\bar{x}' = a\bar{x} + b$ et $\sigma_{x'}^2 = a^2 \cdot \sigma_x^2$.

1. a) Appliquer la méthode 2 pour calculer numériquement $\bar{x}'$ et $\sigma_{x'}^2$.
2. b) Comparer les deux méthodes et justifier laquelle est la plus efficace lorsqu'on travaille avec des bases de données réelles de milliers d'enregistrements. Les deux chemins aboutissent-ils exactement au même résultat ?
3. c) Expliquer en détail pourquoi le terme $+5$ modifie la valeur de la moyenne, mais ne produit aucun changement dans le calcul de la variance marginale.

L'INSEE étudie sur un échantillon de 100 exploitations agricoles la surface cultivée en hectares ($X$) et le volume annuel d'eau d'irrigation utilisé en milliers de mètres cubes ($Y$) :

$X \setminus Y$	4	8	12
2	30	10	0
5	10	25	5
10	0	5	15

1. a) Déterminer séparément les distributions marginales de $X$ et de $Y$, et calculer pour chacune sa moyenne et sa variance marginale : $\bar{x}$, $\sigma_x^2$, $\bar{y}$ et $\sigma_y^2$.
2. b) Un rapport technique préliminaire conclut : « Comme la variance de l'eau d'irrigation ($\sigma_y^2$) est numériquement supérieure à la variance de la surface ($\sigma_x^2$), les exploitations sont plus hétérogènes et dispersées dans leur consommation d'eau que dans la taille de leur terrain ». Justifier pourquoi cette comparaison directe entre variances n'est pas statistiquement valable.
3. c) Calculer le coefficient de variation de chaque variable ($CV = \frac{\sigma}{\bar{x}}$) et déterminer, à l'aide de cet indicateur sans unité, laquelle des deux variables présente en réalité la plus grande dispersion relative.